高中数学必修4平面向量知识点与典型例题总结(生).pdf

1/24高中数学必修高中数学必修 4 4 平面向量知识点与典型例题总结平面向量知识点与典型例题总结(生生)1 数学必会基础题型平面向量【基本概念与公式】【任何时候写向量时都要带箭头】1.向量既有大小又有方向的量。记作AB 或a。2.向量的模向量的大小或长度记作|AB 或|a。3.单位向量长度为 1 的向量。若 e 是单位向量则|1e。4.零向量长度为 0 的向量。记作0。【0 方向是任意的且与任意向量平行】5.平行向量共线向量方向相同或相反的向量。6.相等向量长度和方向都相同的向量。7.相反向量长度相等方向相反的向量。AB BA。8.三角形法则 AB BC AC2/24 AB BC CD DE AE AB AC CB 指向被减数 9.平行四边形法则 以,a b 为临边的平行四边形的两条对角线分别为 a ba b。10.共线定理/a b a b。当 0 时a b 与同向当 0 时a b 与反向。11.基底任意不共线的两个向量称为一组基底。12.向量的模若(,)a x y则 2 2|a x y 22|a a2|()a b a b 13.数量积与夹角公式|cosa b a b cos|3/24a ba b 14.平行与垂直1 2 2 1/a b a b x y x y 1 2 1 20 0a b a b x x y y 题型 1.基本概念判断正误 1共线向量就是在同一条直线上的向量。2若两个向量不相等则它们的终点不可能是同一点。3与已知向量共线的单位向量是唯一的。4四边形 ABCD 是平行四边形的条件是 AB CD。5若 AB CD则 A、B、C、D 四点构成平行四边形。6因为向量就是有向线段所以数轴是向量。4/247若a 与 b 共线 b 与 c 共线则 a 与 c 共线。8若 ma mb则 a b。2 9若 ma na则 m n。10若a 与 b 不共线则 a 与 b 都不是零向量。11若|a b a b 则/a b。12若|a b a b 则 a b。题型 2.向量的加减运算 1.设a 表示“向东走 8km”,b 表示“向北走 6km”,则|a b 5/24。2.化简()()AB MB BO BC OM 。3.已知|5OA,|3OB,则|AB 的最大值和最小值分别为 、。4.已知 AC AB AD为 与的和向量且,AC a BD b 则 AB AD 。5.已知点 C 在线段 AB 上且 35AC AB,则 AC BCAB BC。题型 3.向量的数乘运算 1.计算13()2()a b a b 22(2 5 3)3(2 3 2)6/24a b c a b c 2.已知(1,4),(3,8)a b 则 132a b 。题型 4.作图法球向量的和 已知向量,a b如下图请做出向量 132a b和 322a b。7/24a b 题型 5.根据图形由已知向量求未知向量 1.已知在 ABC中D 是 BC 的中点请用向量 ABAC表示 AD。2.在平行四边形 ABCD 中已知,AC a BD b 求 AB AD和。题型 6.向量的坐标运算 1.已知(4,5)AB(2,3)A则点 B 的坐标是 。2.已知(3,5)PQ (3,7)P则点 Q 的坐标是 。3.若物体受三个力 18/24(1,2)F,2(2,3)F,3(1,4)F ,则合力的坐标为 。3 4.已知(3,4)a(5,2)b求 a ba b3 2a b。5.已知(1,2),(3,2)A B,向量(2,3 2)a x x y 与 AB 相等求,x y 的值。6.已知(2,3)AB(,)BC m n(1,4)CD 则 DA 。7.已知 O 是坐标原点(2,1),(4,8)A B 且 3 0AB BC 求 OC 的坐标。题型 7.判断两个向量能否作为一组基底 9/241.已知 1 2,e e 是平面内的一组基底判断下列每组向量是否能构成一组基底 A.1 2 1 2e e e e 和 B.1 2 2 13 2 6e e e e 和 4 C.1 2 2 13 3e e e e 和 D.2 2 1e e e和 2.已知(3,4)a能与 a 构成基底的是 A.3 4(,)5 5 B.4 3(,)5 5 C.3 4(,)5 5 D.410/24(1,)3 题型 8.结合三角函数求向量坐标 1.已知 O 是坐标原点点 A 在第二象限|2OA150 xOA 求 OA 的坐标。2.已知 O 是原点点 A 在第一象限|4 3OA60 xOA 求 OA 的坐标。题型 9.求数量积 1.已知|3,|4a b 且 a 与 b 的夹角为 60求1a b11/242()a a b 31()2a b b 4(2)(3)a b a b 。2.已知(2,6),(8,10)a b 求1|,|a b2a b3(2)a a b 4(2)(3)a b a b 。12/24 题型 10.求向量的夹角 1.已知|8,|3a b 12a b 求 a 与 b 的夹角。2.已知(3,1),(2 3,2)a b 求 a 与 b 的夹角。3.已知(1,0)A(0,1)B(2,5)C求 cosBAC。4 题型 11.求向量的模 1.已知|3,|4a b 且 a 与 b 的夹角为 60求1|a b2|2 3|a b。2.已知(2,6),(8,10)a b 求113/24|,|a b5|a b61|2a b。3.已知|1|2a b|3 2|3a b 求|3|a b。题型 12.求单位向量 【与a 平行的单位向量|14/24aea】1.与(12,5)a平行的单位向量是 。2.与 1(1,)2m 平行的单位向量是 。题型 13.向量的平行与垂直 1.已知(6,2)a(3,)b m 当 m 为何值时1/a b2a b 15/24 2.已知(1,2)a(3,2)b 1k 为何值时向量 ka b与 3a b垂直 2k 为何值时向量 ka b与 3a b平行 3.已知a 是非零向量a b a c 且 b c求证()a b c。题型 14.三点共线问题 1.已知(0,2)16/24A(2,2)B(3,4)C求证,A B C 三点共线。2.设 2(5),2 8,3()2AB a b BC a b CD a b 求证A B D、三点共线。5 3.已知 2,5 6,7 2AB a b BC a b CD a b 则一定共线的三点是 。4.已知(1,3)A(8,1)B若点(2 1,2)C a a 在直线 AB 上求 a 的值。5.已知四个点的坐标(0,0)O(3,4)A(1,2)B(1,1)C是否存在常数 t使 OA tOB OC 17/24成立 题型 15.判断多边形的形状 1.若 3AB e5CD e且|AD BC,则四边形的形状是 。2.已知(1,0)A(4,3)B(2,4)C(0,2)D证明四边形 ABCD 是梯形。3.已知(2,1)A(6,3)B(0,5)C求证ABC是直角三角形。18/244.在平面直角坐标系内(1,8),(4,1),(1,3)OA OB OC ,求证ABC是等腰直角三角形。题型 16.平面向量的综合应用 1.已知(1,0)a(2,1)b当k 为何值时向量 ka b与 3a b平行 2.已知(3,5)a且 a b|2b求 b 的坐标。3.已知 a b与同向(1,2)b则 1019/24a b 求 a 的坐标。3.已知(1,2)a(3,1)b(5,4)c则 c a b。4.已知(5,10)a(3,4)b (5,0)c请将用向量,a b 表示向量 c。5.已知(,3)a m(2,1)b 1若a 与 b 的夹角为钝角求 m 的范围 2若20/24a 与 b 的夹角为锐角求 m 的范围。6.已知(6,2)a(3,)b m 当 m 为何值时1a 与 b 的夹角为钝角2a 与 b 的夹角为锐角 7.已知梯形 ABCD 的顶点坐标分别为(1,2)A(3,4)B(2,1)D且/AB DC2AB CD求点 C 的坐标。6 8.已知平行四边形 ABCD 的三个顶点的坐标分别为(2,1)A(1,3)B(3,4)C求第四个顶点 D 的坐标。9.一航船以 5km/h 的速度向垂直于对岸方向行驶航船实际航行方向与水流方向成 30 角求水流速度与船的实际速度。10.已知 ABC三个顶点的坐标分别为(3,4)A(0,0)B(,0)C c 21/241若 0AB AC 求 c 的值2若 5c求 sinA 的值。【备用】1.已知|3,|4,|5a b a b 求|a b和向量,a b 的夹角。2.已知 x a b 2y a b 且|1a b a b求,x y 的夹角的余弦。1.已知(1,3),(2,1)a b 则22/24(3 2)(2 5)a b a b 。4.已知两向量(3,4),(2,1)a b 求当 a xb a b 与垂直时的 x 的值。5.已知两向量(1,3),(2,)a b a b 与的夹角为锐角求的范围。变式若(,2),(3,5)a b a b与的夹角为钝角求的取值范围。选择、填空题的特殊方法 1.特例法 例全品P274。因为 M,N 在 AB,AC 上的任意位置都成立所以取特殊情况即 M,N 与 B,C重合时可以得到 1m n 2m n 。2.代入验证法 23/24例已知向量(1,1),(1,1),(1,2)a b c 则 c A.1 32 2a b B.1 32 2a b C.3 12 2a b D.3 12 2a b 变式已知(1,2),(1,3),(1,2)a b c 请用,a b 表示 c。3.排除法 例已知 M 是 ABC的重心则下列向量与 AB 共线的是 24/24A.AM MB BC B.3AM AC C.AB BC AC D.AM BM CM