高中数学必修五-知识点和习题.pdf
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1、 目录编写说明.1第一章 解三角形.21.1 正弦定理和余弦定理.21.2 应用举例.9第二章 数列.132.1 数列的概念与简单表示方法.132.2 等差数列.162.3 等差数列的前 n 项和.182.4 等比数列.202.5 等比数列的前 n 项和.23第三章 不等式.273.1 不等关系与不等式.273.2 一元二次不等式及其解法.293.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题.323.4 基本不等式.35 0 编写说明编写说明本书是高中数学必修课程 5 个模块中的一个,包括解三角形、数列与不等式三章内容。“解三角形”的主要内容是介绍三角形的正、余弦定理,及其简单应用,旨在通过对
2、任意三角形边长和角度关系的探索,掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题以及能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。“数列”的主要内容是数列的概念与表示,等差数列与等比数列的通项公式与前 n 项和。数列作为一种特殊的函数,是反映自然规律的基本数学模型。要求学生在探索中掌握与等差数列、等比数列有关的一些基本数量关系,感受这两种数列模型的广泛应用,并利用它们解决一些实际问题。“不等式”一章通过大量现实世界和日常生活中的具体实例引入不等关系,帮助学生理解不等式(组)对于刻画不等关系的意义和价值,进而引导学生结合一些实际问题探索求解一元二次不等式的
3、基本方法,用二元一次不等式组表示平面区域,以及解决一些简单的二元线性规划问题的方法,最后引导学生讨论了基本不等式及其简单应用。1第一章第一章 解三角形解三角形1.1 正弦定理和余弦定理正弦定理和余弦定理正弦定理正弦定理:在中,、分别为角、的对边,为的外接圆的半径,则有CAabcACRCA2sinsinsinabcRCA正弦定理的变形公式正弦定理的变形公式:,;2 sinaRA2 sinbR2 sincRC,;sin2aRA sin2bR sin2cCR;:sin:sin:sina b cCAsinsinsinsinsinsinabcabcCCAA正弦定理的应用范围:正弦定理的应用范围:已知两角
4、和任一边,求其它两边及一角;已知两边和其中一边对角,求另一边的对角。【典型例题】1、在ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,,求 c。1,33baA,2、在ABC 中,“A=B”是“sin A=sin B”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.即不充分又不必要条件【练习】1、求 B、C、b.,32,45,6,0aAcABC中2、在中,已知,B=450.求 A、C 和 c.ABC3a2b3、已知ABC 中,求。3:2:1sin:sin:sinCBAcba:4、在中,已知下列条件解三角形;ABC(1);(2);o30,2,2Abao45,2,2Aba(3)(
5、4)10,45,60aBAooo30,4,3Aba(5)(6)o120,5,2Abao30,6,3Aba5、在中,.求角,和边.ABC3a2bo45BACc6、已知在中,,求,和。ABC10co45A030CabB7、在中,,,求角。ABCo60A34a24bB8、在中,已知210AB,求角。ABCo45A3320BCC 29、在中,若,求角 B。ABCBbAacossin 10、在中,若求 AB。ABC,1,150,31tan0BCCA11、在中,若,,,求和。ABC5b4B2tanAAsina12、在ABC 中,若a=2b sin A,求角 B。313、在中,已知内角,边。设内角,周长为.
6、ABC3A32BCxB y(1)求函数的解析式和定义域;(2)求的最大值。xfy y余弦定理余弦定理在中,有,CA2222cosabcbcA2222cosbacac2222coscababC余弦定理的变形公式:余弦定理的变形公式:,222cos2bcabcA 222cos2acbac 222cos2abcCab余弦定理的应用范围:余弦定理的应用范围:已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边;已知三角形的三条边就可以求出其它角。【典型例题】1、在ABC 中,已知,求 b 及 A。2 3a62c060B2、如图,在中,ABC2AC 1BC 43cosC(1)求的值;AB(2)求的值.CA2
7、sin【练习】1 1、在ABC 中,若,则角 A=_。222abcbc2 2、ABC 中,a3,b,c2,则角 B=_。73 3、在ABC 中,若,则最大角的余弦值为_。1413cos,8,7Cba4、已知在中,则角=_、角=_、=_。ABC03,3 3,30bcBACa5、已知在中,则角=_、角=_、边=_。ABC03,2 3,30bcABCa6、,则 .4,3,60abCoc 7、,则B=.2,4,3abc 38、在中,已知,则=_.ABC222abbccA9、在中,边长是方程的两实根,则边=_.ABC60A o,b c2327320 xxBC10、在中,则 A=_,B=_,C=_。ABC
8、:2:6:(31)a b c 11、已知在中,则边上的高为_ABC3,13,4ABBCACAC12、已知是的三边,那么的值_abc、ABC060B 222aaccbA.大于 0 B.小于 0 C.等于 0 D.不确定13、在中,若为钝角,下列结论成立的是 _ABCCA.B.C.D.222abc222abc222abccos0C14、在中,且,则_ABC222abc3sin2C C15、在中,已知,则角=_ABC0260,BbacA16、在中,角的对边分别为,若,且,则=_.ABC,A B C,a b c2bac2cacosB17、在中,,边上的中线长,则=,=.ABC4,3bcBC372Aa1
9、8、在中,则边上的高为_.ABC3,13,4ABBCACAC19、在中,角的对边分别为,若,且,则=_ABC,A B C,a b c2bac2cacosB20、在中,若,则最大角的余弦值是_ABC137,8,cos14abC21、已知三角形的三边长分别是且,这个三角形的最大角为2323322mmmmm,0m_。22、在中,且最大边长和最小边长是方程的两个根,第三边的长ABCo60Axx27110_。23、在中,已知,给出以下四个论断:ABCCBAsin2tan 1tantanBA2sinsin0BA 1cossin22BACBA222sincoscos其中正确的是_ 24、在中,角的对边分别为
10、。若,则角 B 的值为ABCCBA,abc、222()tan3acbBac 4_ 25、的内角的对边分别为。若成等差数列,且。则=ABCCBA,abc、abc、ac2Bcos26、在中,若,则的值为_ABC4:2:3sin:sin:sinCBACcos27、在中,已知,求。ABC3sin,sincos0,3 5,55AAAabc解三角形的进一步讨论解三角形的进一步讨论利用正弦定理或余弦定理将已知条件转化为只含边的式子或只含角的三角函数式,然后化简并考察边或角的关系,从而确定三角形的形状。特别是有些条件既可用正弦定理也可用余弦定理甚至可以两者混用。(1)在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形
11、时,有两解或一解或无解等情形;(2)三角形各种类型的判定方法;(3)三角形面积定理的应用。已知两边和其中一边的对角,解三角形时,注意解的情况如已知a,b,A,则A为锐角A为钝角或直角图形关系式absin Aabsin Absin Aabababab解的个数无解一解两解一解一解无解三角形面积公式:三角形面积公式:AbcSBacSCabSsin21;sin21;sin21【典型例题典型例题】1、在ABC 中,已知,讨论三角形解的情况。,a b A分析:先由可进一步求出 B;则,从而si nsi nbABa0180()CABsi naCcA1当 A 为钝角或直角时,必须才能有且只有一解;否则无解。a
12、b2当 A 为锐角时,如果,那么只有一解;ab如果,那么可以分下面三种情况来讨论:ab(1)若,则有两解;(2)若,则只有一解;(3)若,则无解。si nabAsi nabAsi nabA评述:注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时,只有当 A 为锐角且时,si nbAab有两解;其它情况时则只有一解或无解。2、根据所给条件,判断的形状.ABC1)在ABC 中,已知,。2)3)7a5b3c;coscosBbAaCcBbAacoscoscos 53、在中,若,求的面积。ABC120Ao5AB 7BC ABC4、在ABC 中,证明:2222112cos2cosbabBaA5、设的内角所对
13、的边长分别为,且,。ABCCBA,abc、54cosB2b(1)当时,求的值;(2)当的面积为时,求的值o30AaABC3ca6、在中,已知。ABC2,3BCAB()若,求的值;()求角的取值范围63cosBCsinC【练习练习】1、在ABC 中,已知,试判断此三角形的解的情况。80a100b045A 2、在ABC 中,若,则符合题意的 b 的值有_个。1a12c040C3、在ABC 中,如果利用正弦定理解三角形有两解,求 x 的取值范围。axcm2bcm045B4、在ABC 中,已知,判断ABC 的类型。si n:si n:si n1:2:3ABC5、在ABC 中,判断ABC 的形状。060
14、A1a2bc6、中,判断该三角形的形状。ABC2222cosbabcA7、中,,判断该三角形的形状。ABCACBCAsinsinlgsinlg2sinsinlg8、在中,若,判断的形状。ABCsin AsinBcos AcosBABC9、在中,若,判断的形状。ABC060,2BbacABC10、在中,已知,判断该三角形的形状。ABCbaCcaBsincos,11、在中,已知,且,试确定的形状。ABC()()3abc abcab2cossinsinABCABC12、中,如果,并且为锐角,试判断此三角形的形状。ABC2lgsinlglglgBcaB13、中,(分别为角所对的边),判断此三角形的形状
15、。ABC2cos22Abccabc、CBA,14、根据所给条件,判断的形状.ABC();()BbAacoscosCcBbAacoscoscos15、在ABC中,abc、分别为内角ABC、的对边,且2 sin(2)sin(2)sinaAbcBcbC()求A的大小;()若sinsin1BC,试判断ABC的形状.16、在ABC 中,,A30,求ABC 面积。3AB1AC 617、在ABC 中,面积为,求的值060A1b32si nsi nsi nabcABC18、在ABC 中,若,且此三角形的面积,求角 C55a16b220 3S19、在ABC 中,其三边分别为 a、b、c,且三角形的面积,求角 C
16、2224abcS20、已知在ABC 中,B=30,b=6,c=6,求 a 及ABC 的面积321、在中,O 为坐标原点,则当的面积达最大值时,OAB2,0(),1,(sin),cos,1(BAOABABCD643222、已知为的三个内角,其所对的边分别为,且。CBA,ABCabc、0cos2cos22AA(1)求角的值;A(2)若,求的面积4,32cbaABC23、内接于半径为的圆,且,求的面积的最大值。ABCRBbaCARsin2sinsin222ABC24、三角形的某两边长分别为,其夹角的余弦值是方程的根,求此三角形的面cmcm 5,306752 xx积。在ABC 中,求证:(1);sin
17、sinsin222222CBAcba(2).)coscoscos(2222CabBcaAbccba25、已知在中,则边上的高为()ABC3,13,4ABBCACACA.B.C.D.322332323 326、在中,已知比长 2,比长 2,且最大角的正弦值为,则的面积等于(ABCabbc32ABC)A.B.C.D.15341542134353427、在中,已知,且,则的值为 ()ABC030A 3312abcA.4 B.8 C.4 或 8D.无解28、在中,且的面积,则边的长为()ABC060,2AABABC23ABCSBC 7A.B.3C.D.73729、在中,若,则=()ABCAbasin2
18、3 BA B C 或 D 或 o30o60o60o120o30o15030、中,则等于()ABCsinsinsinsinsin222ABBCCA A.135B.120C.45D.6031、在中,角所对的边分别为。若,则=ABCCBA,abc、(3)coscosbcAaCcos A_32、已知在中,则三个内角的度数依次是ABC22sin:sin2:1,2ABcbbcCBA,_33、在中,已知,给出下列结论:ABC():():()4:5:6bccaab 由已知条件,这个三角形被唯一确定;ABC 一定是钝角三角形;若,则的面积是。sin:sin:sin7:5:3ABC 8bcABC15 32其中正确
19、结论的序号是_34、中,已知,且,则的面积等于_。ABC2220bbcc76,cos8aAABC35、在锐角中,,则的值等于 ,的取值范围是 ABC1BCAB2AACcosAC36、如图,在中,已知,是边上的一点,ABC045B DBC_ABDCACAD则,3,7,537、在中,内角所对边的边分别为。已知。ABCCBA,abc、2,3cC(1)若的面积等于,求;(2)若,求的面积。ABC3,a bsin2sinBAABC38、在中,内角对边的边长分别是,已知.ABCCBA,abc、3,2Cc(1)若的面积等于,求;ABC3ba,(2)若,求的面积AABC2sin2sinsinABCABDC 8
20、39、的内角的对边分别为.己知ABCABC、abc、sincsin2 sinsin,aACaCbB ()求;()若B75,2,.Aba co求,40、在中,的对边分别是,已知,求的值。ABCCBA,cba,CbBcAacoscoscos3Acos41、在ABC中,cba,为角CBA,所对的三边,已知22()abcbc,求角A42、在ABC中,abc、分别是角ABC、的对边,且.cabCB2coscos(1)求角的大小;B(2)若,求ABC的面积13b4ca43、在中,内角,的对边分别是,设为的面积,满足ABCACB,cba,SABC22243cbaS(1)求角 C 的大小;(2)求的最大值。B
21、Asinsin44、已知,满足。(1)将表示为的函数,并yxnxxm,cos,1,sin32cos20nmyx xf求的最小正周期。(2)已知内角,的对边分别是,若,且,xfABCACB,cba,32 Af2a求的取值范围cb1.2 应用举例应用举例解决实际测量问题的过程一般要充分认真理解题意,正确做出图形,把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角,通过建立数学模型来求解。1用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等2实际问题中的常用角(1)仰角和俯角在视线和水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫仰角,在水平线
22、下方的角叫俯角(如图(1)(2)方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角,如B点的方位角为(如图(2)(3)方向角:相对于某正方向的水平角,如南偏东 30,北偏西 45,西偏东 60等(4)坡度:坡面与水平面所成的二面角的度数距离测量问题距离测量问题 9【典型例题典型例题】1、如图,设 A、B 两点在河的两岸,要测量两点之间的距离,测量者在 A 的同侧,在所在的河岸边选定一点 C,测出 AC 的距离是 55m,BAC=,ACB=。求 A、B 两点的距离(精确到 0.1m)5175【练习练习】1、两灯塔 A、B 与海洋观察站 C 的距离都等于 a km,灯塔 A 在观察站 C 的北偏东 3
23、0,灯塔 B 在观察站 C南偏东 60,则 A、B 之间的距离为多少?2、如图所示,为了测量河对岸两点间的距离,在这岸定一基线,现已测出和BA,CDaCD,试求的长o60ACDo30BCDo105BDCo60ADCAB3、如图,都在同一个与水平面垂直的平面内DCBA,为两岛上的两座灯塔的塔顶,测量船于水面处测得点和点DB,ABD的仰角分别为,于水面处测得点和点的仰角均为,o75o30CBDo60.试探究图中、间距离与另外哪两点间距离相等,然后kmAC1.0BD求,的距离BD高度测量问题高度测量问题【典型例题典型例题】1、AB 是底部 B 不可到达的一个建筑物,A 为建筑物的最高点,设计一种测量
24、建筑物高度 AB 的方法。分析:求 AB 长的关键是先求 AE,在ACE 中,如能求出 C点到建筑物顶部 A 的距离 CA,再测出由 C 点观察 A 的仰角,就可 10以计算出 AE 的长。【练习练习】1、如图,在山顶铁塔上 B 处测得地面上一点 A 的俯角=54,在塔底 C 处测得 A 处的俯角04=50。已知铁塔 BC 部分的高为 27.3 m,求出山高 CD(精确到 1 m)12、如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶,到 A 处时测得公路南侧远处一山顶 D 在东偏南 15的方向上,行驶 5km 后到达 B 处,测得此山顶在东偏南 25的方向上,仰角为 8,求此山的高度 CD.3、如
25、图,山脚下有一小塔,在塔底测得山顶的仰角为,在山顶测得塔顶的俯角为,ABBCo60CAo45已知塔高,求山高.mAB20CD4、如图所示,测量河对岸的塔高时,可以选与塔底在同一水平面内的两个测点与,现测得ABBCD,并在点测得塔顶的仰角为,求塔高.BCDBDCsCD CAAB 11角度测量问题角度测量问题【典型例题典型例题】如图,一艘海轮从 A 出发,沿北偏东 75的方向航行 67.5 n mile 后到达海岛 B,然后从 B 出发,沿北偏东 32的方向航行 54.0 n mile 后达到海岛 C.如果下次航行直接从 A 出发到达 C,此船应该沿怎样的方向航行,需要航行多少距离?(角度精确到
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