高中数学必修五第一章解三角形知识点总结及练习题.pdf

1第一章第一章 解三角形解三角形1 1、正弦定理：、正弦定理：在中，、分别为角、的对边，为的外接圆的半径，则CAabcACRCA有：2sinsinsinabcRCA2 2、正弦定理的变形公式：、正弦定理的变形公式：，；2 sinaRA2 sinbR2 sincRC，；sin2aRA sin2bR sin2cCR；:sin:sin:sina b cCAsinsinsinsinsinsinabcabcCCAA注意：注意：正弦定理主要用来解决两类问题：1、已知两边和其中一边所对的角，求其余的量。2、已知两角和一边，求其余的量。对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况。（一解、两解、无解三中情况）如：在三角形 ABC 中，已知 a、b、A（A 为锐角）求 B。具体的做法是：数形结合思想数形结合思想画出图：法一：把 a 扰着 C 点旋转，看所得轨迹以 AD 有无交点：当无交点则 B 无解、当有一个交点则 B 有一解、当有两个交点则 B 有两个解。法二：是算出 CD=bsinA,看 a 的情况：当 absinA，则 B 无解当 bsinAb 时，B 有一解注：当 A 为钝角或是直角时以此类推既可。3 3、三角形面积公式：、三角形面积公式：111sinsinsin222CSbcabCacAA 4 4、余弦定理：、余弦定理：在中，有，CA2222cosabcbcA2222cosbacac2222coscababC5 5、余弦定理的推论：、余弦定理的推论：，222cos2bcabcA，222cos2acbac 222cos2abcCab(余弦定理主要解决的问题：1、已知两边和夹角，求其余的量。2、已知三边求角)DbsinAAbaC26 6、如何判断三角形的形状：、如何判断三角形的形状：设、是的角、的对边，则：abcCAAC若，则；222abc90C o若，则；222abc90C o若，则222abc90C o7 7、正余弦定理的综合应用、正余弦定理的综合应用：如图所示：隔河看两目标 A、B,但不能到达，在岸边选取相距千米的 C、D 两点，3并测得ACB=75O,BCD=45O,ADC=30O,ADB=45O(A、B、C、D 在同一平面内)，求两目标 A、B 之间的距离。附：三角形的五个“心”；重心：三角形三条中线交点.外心：三角形三边垂直平分线相交于一点.内心：三角形三内角的平分线相交于一点.垂心：三角形三边上的高相交于一点.练习题练习题一、选择题一、选择题1、在ABC 中，10，B=60,C=45,则等于（B ）acABCD 310131013 3102、三角形的两边分别为 5 和 3，它们夹角的余弦是方程25760 xx的根，则三角形的另一边长为 A52B2 13 C16D43、在ABC 中，若，则（C ）)()(cbbcacaAA头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头 B头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头 C头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头 D头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头 090060012001504、在ABC 中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是（D）Ab=10，A=45，B=70 Ba=60，c=48，B=100Ca=7，b=5，A=80 Da=14，b=16，A=455、已知ABC中，abc12，则ABC等于(A)3A123B231C 1：3：2 D3：1：26、若ABC 的周长等于 20，面积是，A60，则 BC 边的长是（C ）310A 5 B6C7D8 CABD3二、填空题（每题二、填空题（每题 5 5 分分,共共 2525 分）分）7、在中，已知，则_ABC4:5:6sin:sin:sinCBAcosA 8、在ABC中，A=60,b=1,面积为，则=3sinsinsinabcABC9、在ABC 中，已知 AB=4，AC=7，BC 边的中线，那么 BC=27AD10、在ABC中，已知角A、B、C所对的边分别是a、b、c，边72c，且，又60CABC的面积为3 32，则_ab三解答题（三解答题（2 2 小题，共小题，共 4040 分）分）13、在ABC 中，sin()1CA,sinB=13.（I）求 sinA 的值；(II)设 AC=6，求ABC 的面积.知识点巩固练习（一）知识点巩固练习（一）一、选择题1在ABC 中，若，则等于（）0030,6,90BaCbc A B C D1132322若为ABC 的内角，则下列函数中一定取正值的是（）AA B C DAsinAcosAtanAtan13在ABC 中，角均为锐角，且,A B,sincosBA 则ABC 的形状是（）A直角三角形 B锐角三角形 C钝角三角形 D等腰三角形 4等腰三角形一腰上的高是，这条高与底边的夹角为，3060则底边长为（）A B C D2233325在中，若，则等于（）ABCBabsin2AA B C D 006030 或006045 或0060120 或0015030 或46边长为的三角形的最大角与最小角的和是（）5,7,8 A B C D 090012001350150二、填空题1在ABC 中，则的最大值是_。Rt090C BAsinsin2在ABC 中，若_。Acbcba则,2223在ABC 中，若_。aCBb则,135,30,2004在ABC 中，若，则_。sin Asin BsinC 7813C 三、解答题1 在ABC 中，若则ABC 的形状是什么？,coscoscosCcBbAa2在ABC 中，求证：)coscos(aAbBcabba3在锐角ABC 中，求证：。CBACBAcoscoscossinsinsin5 知识点巩固练习（二）知识点巩固练习（二）一、选择题1在ABC 中，则等于（）:1:2:3A B C:a b cA B C D 1:2:33:2:11:3:22:3:12在ABC 中，若角为钝角，则的值（）BsinsinBAA大于零 B小于零 C等于零 D不能确定 3在ABC 中，若，则等于（）BA2aA B C D Absin2Abcos2Bbsin2Bbcos24在ABC 中，若，则ABC 的形状是（）2lgsinlgcoslgsinlgCBAA直角三角形 B等边三角形 C不能确定 D等腰三角形 5在ABC 中，若则(),3)(bcacbcbaA A B C D 090060013501506在ABC 中，若，则最大角的余弦是（）1413cos,8,7CbaA B C D 51617181二、填空题1若在ABC 中，则=_。060,1,3,ABCAbSCBAcbasinsinsin2若是锐角三角形的两内角，则_（填或1；不存在C28、解：（1）C12021coscoscosBABAC （2）由题设：322baab 120cos2cos222222abbaCBCACBCACAB 102322222abbaabba29、证明：222222222222sinsin211sin21sin212cos2cosbBaAbabBaAbBaA 由正弦定理得：2222sinsinbBaA 2222112cos2cosbabBaA30、解：02322 xxQ21,221xx 又是方程的一个根 CcosQ02322 xx21cosC 由余弦定理可得：abbaabbac2222212 则：7551010022aaac 当时，c 最小且 此时5a3575 c3510cba ABC 周长的最小值为351031、解：（1）由BACBAcoscossinsinsin 可得 即 C9012sin22C0cosC ABC 是以 C 为直角顶点得直角三角形 （2）内切圆半径 cbar211sinsin21BA212214sin22A20 内切圆半径的取值范围是212,01常见三角不等式（1）若，则.(0,)2xsintanxxx(2)若，则.(0,)2x1sincos2xx(3).|sin|cos|1xx2.同角三角函数的基本关系式，=，.22sincos1tancossintan1cot3.正弦、余弦的诱导公式212(1)sin,sin()2(1)s,nnnco 212(1)s,s()2(1)sin,nnconco4.和角与差角公式 ;sin()sincoscossin;cos()coscossinsinm.tantantan()1tantanm(平方正弦公式);22sin()sin()sinsin.22cos()cos()cossin=(辅助角所在象限由点的象限决定,sincosab22sin()ab(,)a b).tanba45.二倍角公式 .sin2sincos.2222cos2cossin2cos11 2sin (n 为偶数)(n 为奇数)(n 为偶数)(n 为奇数)21.22tantan21tan