函数的奇偶性知识总结及练习题.pdf

<p>【教学目标】一、知识目标1、深刻理解奇偶性的定义及图象特征；2、掌握判定和证明奇偶性的方法；3、学会利用函数的奇偶性解决问题头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头 二、能力目标培养学生的观察、分析、归纳、概括和综合分析能力，培养学生用数形结合和转化变换等思想分析数学问题。三、情感目标培养学生自主学习、积极主动探求知识的习惯和品质、合作交流的意识，改变学习方式，改善数学学习信念，帮助学生建立勇于探索创新的精神和克服困难的信心。【教学重点教学重点】1、理解奇偶性的定义；2、掌握判定方法；3、学会利用函数的奇偶性解题。【教学难点教学难点】灵活运用函数的奇偶性求解函数解析式、对称区间上函数的单调性的判断。【考点分析考点分析】1、考查判断函数的奇偶性的能力；2、利用函数奇偶性的图像解题；3、利用函数的奇偶性求解析式；4、利用函数奇偶性求单调区间。第 2 页 共 18 页【知识点梳理知识点梳理】一、函数奇偶性的概念一、函数奇偶性的概念1头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头函数的奇偶性的定义：函数的奇偶性的定义：在定义域关于原点对称的前提乐件下，在定义域关于原点对称的前提乐件下，如果对于函数的定义域内任意任意一个，都有，那么函数()f xx()()fxf x就叫做偶函数偶函数。例如：函数,等都是偶函数。()f x2()1f xx4()2f xx如果对于函数的定义域内任意任意一个，都有，那么函数()f xx()()fxf x 就叫做奇函数奇函数。例如：函数，都是奇函数。()f xxxf)(xxf1)(说明：从函数奇偶性的定义可以看出，具有奇偶性的函数：（1）其定义域关于原点对称；（2）或必有一成立。()()fxf x()()fxf x 因此，判断某一函数的奇偶性时，首先看其定义域是否关于原点对称，若对称，再计算，看是等于还是等于，然后下结论；若定义域关于原点()fx()f x()f x不对称，则函数没有奇偶性。（3）无奇偶性的函数是非奇非偶函数。（4）函数既是奇函数也是偶函数，因为其定义域关于原点对称且既满足0)(xf也满足。)()(xfxf)()(xfxf（5）一般的，奇函数的图象关于原点对称，反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数。偶函数的图象关于轴对称，反过来，如果一个函数的图y形关于轴对称，那么这个函数是偶函数。y（6）奇函数若在时有定义，则0 x(0)0f2、主要方法：(1)、判断函数的奇偶性，首先要研究函数的定义域，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响；(2)、牢记奇偶函数的图象特征，有助于判断函数的奇偶性；(3)、判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式：，()()0f xfx第 3 页 共 18 页()1()f xfx(4)、设，的定义域分别是，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，()f x()g x12,D D奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇2.函数的奇偶性的性质函数的奇偶性的性质对称性:奇（偶）函数的定义域关于原点对称；整体性:奇偶性是函数的整体性质,对定义域内任意一个都必须成立；x可逆性:偶函数；)()(xfxf)(xf 奇函数；)()(xfxf)(xf等价性:)()(xfxf0)()(xfxf)()(xfxf0)()(xfxf奇函数的图像关于原点对称,偶函数的图像关于轴对称；y可分性：根据函数奇偶性可将函数分类为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。【典型例题典型例题】题型一 判断函数的奇偶性判断函数的奇偶性例例 1 判断下列函数的奇偶性:（1）f(x)=x4；（2）f(x)=x5；（3）f(x)=x+；x1（4）f(x)=.21x思路分析思路分析：学生思考奇偶函数的定义，利用定义来判断其奇偶性.先求函数的定义域，并判断定义域是否关于原点对称，如果定义域关于原点对称，那么再判断 f(-x)=f(x)或 f(-x)=-f(x).解答过程：解答过程：解：（1）函数的定义域是 R，对定义域内任意一个 x，都有 f(-x)=(-x)4=x4=f(x)，所以函数 f(x)=x4是偶函数.（2）函数的定义域是 R，对定义域内任意一个 x，都有 f(-x)=(-x)5=-x5=-f(x),所以函数 f(x)=x4是奇函数.第 4 页 共 18 页（3）函数的定义域是(-,0)(0,+)，对定义域内任意一个 x，都有 f(-x)=-x+=-x1(x+)=-f(x)，x1所以函数 f(x)=x+是奇函数.x1（4）函数的定义域是(-,0)(0,+)，对定义域内任意一个 x，都有 f(-x)=f(x)，)(12x21x所以函数 f(x)=是偶函数.21x点评点评：本题主要考查函数的奇偶性.函数的定义域是使函数有意义的自变量的取值范围，对定义域内任意 x，其相反数-x 也在函数的定义域内，此时称为定义域关于原点对称.小结：利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：小结：利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；确定 f(-x)与 f(x)的关系；作出相应结论：若 f(-x)=f(x)或 f(-x)-f(x)=0,则 f(x)是偶函数；若 f(-x)=-f(x)或 f(-x)+f(x)=0,则 f(x)是奇函数.变式一 设 f(x)是 R 上的任意函数,则下列叙述正确的是()A.f(x)f(-x)是奇函数 B.f(x)|f(-x)|是奇函数C.f(x)-f(-x)是偶函数 D.f(x)+f(-x)是偶函数思路分析思路分析:A 中设 F(x)=f(x)f(-x),则 F(-x)=f(-x)f(x)=F(x)，即函数 F(x)=f(x)f(-x)为偶函数；B 中设 F(x)=f(x)|f(-x)|，F(-x)=f(-x)|f(x)|，此时 F(x)与 F(-x)的关系不能确定，即函数 F(x)=f(x)|f(-x)|的奇偶性不确定；C 中设 F(x)=f(x)-f(-x),F(-x)=f(-x)-f(x)=-F(x)，即函数 F(x)=f(x)-f(-x)为奇函数；D 中设 F(x)=f(x)+f(-x)，F(-x)=f(-x)+f(x)=F(x)，即函数 F(x)=f(x)+f(-x)为偶函数.答案：D变式二 设是(，)上的奇函数，当 0 x1 时，)(xf)2(xf)(xf，则等于()(xfxx)5.7(fA0.5 B 0.5 C 1.5 D 1.5第 5 页 共 18 页解析：)5.7(f)25.5(f)5.5(f)25.3(f)5.3(f)25.1(f0.5)5.1(f)25.0(f)5.0(f)5.0(f答案：B解析：解析：这里反复利用了和，后)(xf)(xf)2(xf)(xf面的学习我们会知道这样的函数具有周期性题型二 利用函数奇偶性求函数解析式利用函数奇偶性求函数解析式例例 2 已知函数 f(x)是定义在(-,+)上的偶函数.当 x(-,0)时，f(x)=x-x4，则当 x(0,+)时，f(x)=_.思路分析：思路分析：学生思考偶函数的解析式的性质，考虑如何将在区间(0,+)上的自变量对应的函数值，转化为区间(-,0)上的自变量对应的函数值.利用偶函数的性质 f(x)=f(-x)，将在区间(0,+)上的自变量对应的函数值，转化为区间(-,0)上的自变量对应的函数值.解答过程解答过程:当 x(0,+)时，则-x0 时，f(x)=x2+，求 f(x).3x解：当 x=0 时，f(-0)=-f(0)，则 f(0)=0；当 x0，由于函数 f(x)是奇函数，则f(x)=-f(-x)=-(-x)2+=-x2+，3x3x综上所得，f(x)=.0,0,0,0,3232xxxxxxx第 6 页 共 18 页例例 3已知二次函数，若是偶函数，则实数的值为()2()4f xxax(1)f xaA.1 B.1 C.2 D.2解析：f(x)x2ax4，f(x1)(x1)2a(x1)4x22x1axa4x2(2a)x5a，f(1x)(1x)2a(1x)4x22x1aax4x2(a2)x5a.f(x1)是偶函数，f(x1)f(x1)，a22a，即 a2.题型三题型三 函数的奇偶性与单调性综合函数的奇偶性与单调性综合例例 4已知函数在定义域上是奇函数，又是减函数。()yf x 1,1(1)证明：对任意的有：,x x 1211()()()f xf xxx12120(2)若求实数的取值范围。()()fafa2110a解答过程：解答过程：解：(1)证明：若，显然不等式成立；xx120若，则xx120 xx 1211在上是奇函数又是减函数，()f xQ,11()()()()f xfxf xf x 1212()()f xf x120原不等式成立同理可证当时原不等式也成立。xx120(2)解：由得()()fafa2110，()()fafa 211即()()faf a211由函数在上是单调减函数，故有,11aaaaaaa 2221 110211 1021121a 01所以，所求的取值范围是。a0,1)点评：点评：(1)函数的单调性广泛应用于比较大小，解不等式，求参数的范围，最值问题中，第 7 页 共 18 页应引起足够的重视。变式一：变式一：已知偶函数在区间单调增加,则满足的取值()f x0,)(21)fx1()3fx范围是（）A.B.C.D.1 2(,)3 31 2,)3 31 2(,)2 31 2,)2 3解析：解析：由于是偶函数,故得，()f x()f x(|)fx1(|21|)()3fxf再根据的单调性，得|21|解得.()f xx1313x23变式二：变式二：已知奇函数在区间3,7上是增函数,且最小值为 5,那么函数()f x()f x在区间7，3上是()A.增函数且最小值为5 B.增函数且最大值为5C.减函数且最小值为5 D.减函数且最大值为5解析解析：f(x)为奇函数，f(x)的图象关于原点对称f(x)在3,7上是增函数，f(x)在7，3上也是增函数f(x)在3,7上的最小值为 5，由图可知函数 f(x)在7，3上有最大值5.题型四题型四 图形、单调性综合利用图形、单调性综合利用例题 5。（2004 年上海卷）设奇函数 f（x）的定义域是-5，5。当时，f（x）x05，的图象如图，则不等式 f（x）0 的解是_。()(2025，第 8 页 共 18 页 例题 6、定义在2，2上的偶函数 g（x），当 x0 时，g（x）单调递减，若 g（1m）g（m），求 m 的取值范围.解：由 g（1m）g（m）及 g（x）为偶函数，可得 g（|1m|）g（|m|）.又 g（x）在（0，+）上单调递减，|1m|m|，且|1m|2，|m|2，解得1m.21题型五题型五 抽象函数的奇偶性抽象函数的奇偶性例例 7.函数的定义域为，且满足对于任意，有)(xfD0 xRxDxx21,1212()()()f xxf xf x （1）求的值；（2）判断函数的奇偶性，并证明；(1)f)(xf解：（1）令，得；121xx 10f （2）令，得，令，得121xx 10f 121,xxx 1fxff x ，即为偶函数 fxf x)(xf点评：点评：赋值法是解决抽象函数问题的切入点常赋值有 0，1，1，2，2，等等例例 8 已知函数在(1，1)上有定义，1，当且仅当 0 x1 时)(xf)21(f0，且对任意 x、y(1，1)都有，试证明：)(xf)(xf)(yf)1(xyyxf(1)为奇函数；(2)在(1，1)上单调递减)(xf)(xf解答过程：解答过程：证明：(1)由，令 xy0，得0，)(xf)(yf)1(xyyxf)0(f第 9 页 共 18 页令 yx，得0，)(xf)(xf)1(2xxxf)0(f)(xf)(xf 为奇函数)(xf(2)先证在(0，1)上单调递减)(xf令 0 x1x21，则 f(x2)f(x1)f(x2)f(x1)f()21121xxxx0 x1x21，x2x10，1x1x20，0，21121xxxx又(x2x1)(1x2x1)(x21)(x1+1)0 x2x11x2x1，01，由题意知 f()0，21121xxxx21121xxxx即 f(x2)f(x1)在(0，1)上为减函数，又为奇函数且 f(0)0)(xf)(xf在(1，1)上为减函数)(xf点评：点评：这种抽象函数问题，往往需要赋值后求特殊的函数值，如等等，一般的求解最为常见赋值技巧常为令或(0),(1),(2)fff(0)f0 yx等。本例中第一问求解特殊函数值的过程中就采用了这两个技巧；对于(2)，判定yx的范围是解题的焦点21121xxxx变式练习 1.已知函数对一切，都有，求证：()f x,x yR()()()f xyf xf y是奇函数；()f x解：（1）显然的定义域是，它关于原点对称在中，()f xR()()()f xyf xf y令，得，令，得，yx(0)()()ff xfx0 xy(0)(0)(0)fff，即，是奇函数(0)0f()()0f xfx()()fxf x()f x题型四题型四利用函数奇偶性求值利用函数奇偶性求值第 10 页 共 18 页例例 9.已知且,那么_.8)(35bxaxxxf10)2(f)2(f解解：设，则为奇函数，于是有，8)()(xfxFbxaxxxF35)()()(xFxF从而有 即：8)(8)(xfxF16)()(xfxf令，得，又，故2x16)2()2(ff10)2(f261016)2(f【巩固练习巩固练习】1.函数 xxxf1)(1)(xxf1)(24xxxf 10,10,1)(2xxxf0)(xf2)1(3)1()(23xxxfxxxxf11)1()(上述函数中为奇函数的是（）A.B.C.D.2.（2011 年安徽理科卷）设是定义在上的奇函数，当时，f x0 x，则（）22f xxx 1f3 1 1 33.如果奇函数在区间3，7上是增函数且最小值是5，那么在区间)(xf)(xf7，3上（）A.是增函数且最小值为5 B.是增函数且最大值是5C.是减函数且最小值为5 D.是减函数且最大值是54.已知函数=x5a x3b x8，且0，则等于（）)(xf)2(f)2(fA.16 B.18 C.10 D.105.若在5，5上是奇函数，且，则（）)(xf)3(f)1(fA.B.)1(f)1(f)0(f)1(f C.D.)1(f)3(f)3(f)5(f第 11 页 共 18 页6.已知函数，0f xxaxa a 111xg xxx，则 的奇偶性依次为（）2200 xxxh xxxx ,f xg xh xA奇函数，偶函数，奇函数 B非奇非偶函数，奇函数，偶函数 C奇函数，奇函数，奇函数 D奇函数，非奇非偶函数，奇函数7.（2011 年广东理科卷）设函数 f x和 g x分别是上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是 f xg x是偶函数 f xg x是奇函数 f xg x是偶函数 f xg x是奇函数8.（2009 年陕西文科卷）定义在 R 上的偶函数()f x满足：对任意的1212,0,)()x xxx，有2121()()0f xf xxx则（）A(3)(2)(1)fff (1)(2)(3)fff (2)(1)(3)fff (3)(1)(2)fff 9.（2009 年四川文科卷）已知函数)(xf是定义在实数集 R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有)()1()1(xfxxxf，则)25(f的值是()A.0 B.21 C.1 D.2510.设与的定义域是，是偶函数，是奇函数，()f x()g x|,1x xRx 且()f x()g x且，求与 的解析式1()()1f xg xx()f x()g x【课后作业课后作业】一、选择题一、选择题1已知函数已知函数 f（x）ax2bxc（a0）是偶函数，那么）是偶函数，那么 g（x）ax3bx2cx（）A奇函数奇函数B偶函数偶函数C既奇又偶函数既奇又偶函数D非奇非偶函非奇非偶函数数2已知函数已知函数 f（x）ax2bx3ab 是偶函数，且其定义域为是偶函数，且其定义域为a1，2a，则（，则（）第 12 页 共 18 页A，b0Ba1，b0 Ca1，b0Da3，b031a3已知已知 f（x）是定义在）是定义在 R 上的奇函数，当上的奇函数，当 x0 时，时，f（x）x22x，则，则 f（x）在）在 R 上的上的表达式是（表达式是（）Ax（x2）By x（x1）Cy x（x2）y Dyx（x2）4已知已知 f（x）x5ax3bx8，且，且 f（2）10，那么，那么 f（2）等于（）等于（）A26B18C10D105函数函数是（是（）1111)(22xxxxxfA偶函数偶函数B奇函数奇函数C非奇非偶函数非奇非偶函数D既是奇函数又是偶函数既是奇函数又是偶函数6若若 f(x)，g（x）都是奇函数，）都是奇函数，F(x)=af(x)+bg(x)+2在（在（0，）上有最大值）上有最大值 5，则则 F（x）在（）在（，0）上有（）上有（）A最小值最小值5B最大值最大值5C最小值最小值1D最大值最大值3二、填空题二、填空题7函数函数的奇偶性为的奇偶性为_（填奇函数或偶函数）（填奇函数或偶函数）2122)(xxxf8若若 y（m1）x22mx3 是偶函数，则是偶函数，则 m_9已知已知 f（x）是偶函数，）是偶函数，g（x）是奇函数，若）是奇函数，若，则，则 f（x）的解析式）的解析式11)()(xxgxf为为_10已知函数已知函数 f（x）为偶函数，且其图象与）为偶函数，且其图象与 x 轴有四个交点，则方程轴有四个交点，则方程 f（x）0 的所有实的所有实根之和为根之和为_三、解答题三、解答题11设定义在设定义在2，2上的偶函数上的偶函数 f（x）在区间）在区间0，2上单调递减，若上单调递减，若 f（1m）f（m），求实数，求实数 m 的取值范围的取值范围第 13 页 共 18 页12已知函数已知函数 f（x）满足）满足 f（xy）f（xy）2f（x）f（y）（xR，yR），且，且f（0）0，试证，试证 f（x）是偶函数）是偶函数13.已知函数已知函数 f（x）是奇函数，且当）是奇函数，且当 x0 时，时，f（x）x32x21，求，求 f（x）在）在 R 上的表上的表达式达式14.f（x）是定义在（）是定义在（，55，）上的奇函数，且）上的奇函数，且 f（x）在）在5，）上）上U单调递减，试判断单调递减，试判断 f（x）在（）在（，5上的单调性，并用定义给予证明上的单调性，并用定义给予证明15.设函数设函数 yf（x）（xR 且且 x0）对任意非零实数）对任意非零实数 x1、x2满足满足 f（x1x2）f（x1）f（x2），求证求证 f（x）是偶函数）是偶函数第 14 页 共 18 页【拓展训练拓展训练】1.已知且,那么_.8)(35bxaxxxf10)2(f)2(f2.若 f(x)a 是奇函数，则 a_.12x13.已知函数 f(x)a，若 f(x)为奇函数，则 a_.12x14.设是定义在上的奇函数，且当时,f xR0 x 23xf x 则_.(2)f 5.若函数是奇函数，则的值为 -3 )(xfy 3)1(f)1(f6.已知分段函数是奇函数，当时的解析式为，)(xf),0 x2xy 则这个函数在区间上的解析式为)0,(2xy7.设函数)(xfy 是奇函数.若3)2()1(3)1()2(ffff则)2()1(ff-3 .8.已知函数()f x为R上的奇函数，当0 x 时，()(1)f xx x.若()2f a ，则实数a -1 .第 15 页 共 18 页【巩固练习巩固练习】答案答案1.B 2.A 3.B 4.A 5.C6.D 7.A 8.A 9.解析：若x0，则有)(1)1(xfxxxf，取21x，则有：)21()21()21(21211)121()21(fffff)(xf是偶函数，则)21()21(ff 由此得0)21(f于是，0)21(5)21(2121135)121(35)23(35)23(23231)123()25(fffffff故选 A10.解析：是偶函数，是奇函数，)(xf)(xg由，有)(xf)(xg 11 x )(xf)(xg11 x又 1()()1f xg xx由得，)(xf21111xx112x )(xg21111xx12xx第 16 页 共 18 页【课后作业课后作业】答案答案1解析：f（x）ax2bxc 为偶函数，为奇函数，xx)(g（x）ax3bx2cxf（x）满足奇函数的条件答案：A)(x2解析：由 f（x）ax2bx3ab 为偶函数，得 b0又定义域为a1，2a，a12a，故选 A31a3解析：由 x0 时，f（x）x22x，f（x）为奇函数，当 x0 时，f（x）f（x）（x22x）x22xx（x2）即 f（x）x（|x|2）,)0()0()2()2()(xxxxxxxf答案：D4解析：f（x）8x5ax3bx 为奇函数，f（2）818，f（2）818，f（2）26答案：A5解析：此题直接证明较烦，可用等价形式 f（x）f（x）0答案：B6解析：、g（x）为奇函数，为奇函数)(x)()(2)(xbgxaxf又 f（x）在（0，）上有最大值 5，f（x）2 有最大值 3、f（x）2 在（，0）上有最小值3，f（x）在（，0）上有最小值1答案：C7答案：奇函数8答案：0 解析：因为函数 y（m1）x22mx3 为偶函数，f（x）f（x），即（m1）（x）22m（x）3（m1）x22mx3，整理，得 m09解析：由 f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，可得，联立，11)()(xxgxf11)()(xxgxf答案：11)1111(21)(2xxxxf11)(2xxf10答案：0 11答案：21m第 17 页 共 18 页12证明：令 xy0，有 f（0）f（0）2f（0）f（0），又 f（0）0，可证f（0）1令 x0，f（y）f（y）2f（0）f（y）f（y）f（y），故 f（x）为偶函数13解析：本题主要是培养学生理解概念的能力f（x）x32x21因 f（x）为奇函数，f（0）0当 x0 时，x0，f（x）（x）32（x）21x32x21，f（x）x32x21因此，.)0()0()0(12012)(,2323xxxxxxxxf点评：本题主要考查学生对奇函数概念的理解及应用能力14解析：任取 x1x25，则x1x25因 f（x）在5，上单调递减，所以 f（x1）f（x2）f（x1）f（x2）f（x1）f（x2），即单调减函数点评：此题要注意灵活运用函数奇偶性和单调性，并及时转化15解析：由 x1，x2R 且不为 0 的任意性，令 x1x21 代入可证，f（1）2f（1），f（1）0又令 x1x21，f1（1）2f（1）0，f（1）0又令 x11，x2x，f（x）f（1）f（x）0f（x）f（x），即 f（x）为偶函数点评：抽象函数要注意变量的赋值，特别要注意一些特殊值，如，x1x21，x1x21 或 x1x20 等，然后再结合具体题目要求构造出适合结论特征的式子即可 （2）x-1【拓展训练拓展训练】答案答案1 解：设，则为奇函数，于是有，8)()(xfxFbxaxxxF35)()()(xFxF从而有 即：8)(8)(xfxF16)()(xfxf令，得，又，故2x16)2()2(ff10)2(f261016)2(f2 解：f(x)aa，f(x)f(x)a12x12x12x2x12x(12x1a)2a1，故 a.112x2x12x12第 18 页 共 18 页3 解析：解法一：f(x)为奇函数，定义域为 R，f(0)0a0a.120112经检验，当 a 时，f(x)为奇函数12解法二：f(x)为奇函数，f(x)f(x)，即 a.12x1(a12x1)2a1，a.12x12x12x124 解析：设 x0，则x0，f(x)2x3f(x)，故 f(x)32x，所以 f(2)3221.</p>