高中数学-必修一知识点.pdf

高中数学高中数学1.1.课程内容：课程内容：必修课程必修课程由 5 个模块组成：必修必修 1 1：集合、函数概念与基本初等函数（指、对、幂函数）：集合、函数概念与基本初等函数（指、对、幂函数）必修必修 2 2：立体几何初步、平面解析几何初步。：立体几何初步、平面解析几何初步。必修必修 3 3：算法初步、统计、概率。：算法初步、统计、概率。必修必修 4 4：基本初等函数（三角函数）：基本初等函数（三角函数）、平面向量、三角恒等变换。、平面向量、三角恒等变换。必修必修 5 5：解三角形、数列、不等式。：解三角形、数列、不等式。以上是每一个高中学生所必须学习的。上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分，其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打好基础的同时，进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用，而不在技巧与难度上做过高的要求。此外，基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。选修课程选修课程有 4 个系列：系列 1：由 2 个模块组成。选修 11：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用。选修 12：统计案例、推理与证明、数系的扩充与复数、框图系列 2：由 3 个模块组成。选修选修 2 21 1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、空间向量与立体几何。空间向量与立体几何。选修选修 2 22 2：导数及其应用，推理与证明、数系的扩充与复数：导数及其应用，推理与证明、数系的扩充与复数选修选修 2 23 3：计数原理、随机变量及其分布列，统计案例。：计数原理、随机变量及其分布列，统计案例。系列 3：由 6 个专题组成。选修 31：数学史选讲。选修 32：信息安全与密码。选修 33：球面上的几何。选修 34：对称与群。选修 35：欧拉公式与闭曲面分类。选修 36：三等分角与数域扩充。系列 4：由 10 个专题组成。选修选修 4 41 1：几何证明选讲。：几何证明选讲。选修 42：矩阵与变换。选修 43：数列与差分。选修选修 4 44 4：坐标系与参数方程。：坐标系与参数方程。选修选修 4 45 5：不等式选讲。：不等式选讲。选修 46：初等数论初步。选修 47：优选法与试验设计初步。选修 48：统筹法与图论初步。选修 49：风险与决策。选修 410：开关电路与布尔代数。2 2重难点及考点：重难点及考点：重点：重点：函数，数列，三角函数，平面向量，圆锥曲线，立体几何，导数难点：难点：函数、圆锥曲线高考相关考点：高考相关考点：集合与简易逻辑:集合的概念与运算、简易逻辑、充要条件函数：映射与函数、函数解析式与定义域、值域与最值、反函数、三大性质、函数图象、指数与指数函数、对数与对数函数、函数的应用数列：数列的有关概念、等差数列、等比数列、数列求和、数列的应用三角函数：有关概念、同角关系与诱导公式、和、差、倍、半公式、求值、化简、证明、三角函数的图象与性质、三角函数的应用平面向量：有关概念与初等运算、坐标运算、数量积及其应用不等式：概念与性质、均值不等式、不等式的证明、不等式的解法、绝对值不等式、不等式的应用直线和圆的方程：直线的方程、两直线的位置关系、线性规划、圆、直线与圆的位置关系圆锥曲线方程：椭圆、双曲线、抛物线、直线与圆锥曲线的位置关系、轨迹问题、圆锥曲线的应用直线、平面、简单几何体：空间直线、直线与平面、平面与平面、棱柱、棱锥、球、空间向量排列、组合和概率：排列、组合应用题、二项式定理及其应用概率与统计：概率、分布列、期望、方差、抽样、正态分布导数：导数的概念、求导、导数的应用复数：复数的概念与运算高中数学高中数学 必修必修 1 1 知识点知识点 第一章第一章 集合与函数概念集合与函数概念1.11.1集合集合【1.1.1】【1.1.1】集合的含义与表示集合的含义与表示 （1）集合的概念 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性.（2）常用数集及其记法表示自然数集，或表示正整数集，表示整数集，表示有理数集，表NNNZQR示实数集.（3）集合与元素间的关系对象与集合的关系是，或者，两者必居其一.aMaMaM（4）集合的表示法 自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合.描述法：|具有的性质，其中为集合的代表元素.xxx图示法：用数轴或韦恩图来表示集合.（5）集合的分类含有有限个元素的集合叫做有限集.含有无限个元素的集合叫做无限集.不含有任何元素的集合叫做空集().【1.1.2】【1.1.2】集合间的基本关系集合间的基本关系（6）子集、真子集、集合相等名称记号意义性质示意图子集BA（或)AB A 中的任一元素都属于 B(1)AA(2)A(3)若且，则BA BCAC(4)若且，则BA BAABA(B)或BA真子集AB（或BA），且 B 中BA 至少有一元素不属于 A（1）（A 为非空子集）A(2)若且，则ABBCACBA集合相等ABA 中的任一元素都属于 B，B 中的任一元素都属于 A(1)AB(2)BAA(B)（7）已知集合有个元素，则它有个子集，它有个真子集，它有个A(1)n n 2n21n21n非空子集，它有非空真子集.22n【1.1.3】【1.1.3】集合的基本运算集合的基本运算（8）交集、并集、补集名称记号意义性质示意图交集ABI且|,x xAxB（1）AAAI（2）A I（3）ABAI ABBIBA并集ABU或|,x xAxB（1）AAAU（2）AA U（3）ABAU ABBUBA补集UA|,x xUxA且1 ()UAA I2()UAAUU A【补充知识补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法（1）含绝对值的不等式的解法不等式解集|(0)xa a|xaxa|(0)xa a或|x xa xa|,|(0)axbc axbc c把看成一个整体，化成，axb|xa型不等式来求解|(0)xa a（2）一元二次不等式的解法()()()UUUABABIU()()()UUUABABUI判别式24bac 0 0 0 二次函数2(0)yaxbxc a的图象O=OLO一元二次方程20(0)axbxca的根21,242bbacxa（其中12)xx122bxxa 无实根20(0)axbxca的解集或1|x xx2xx|x2bxa R20(0)axbxca的解集12|x xxx1.21.2函数及其表示函数及其表示【1.2.1】【1.2.1】函数的概念函数的概念（1）函数的概念设、是两个非空的数集，如果按照某种对应法则，对于集合中任何一个数ABfA，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么这样的对应（包括集合，xB()f xA以及到的对应法则）叫做集合到的一个函数，记作BABfAB:fAB函数的三要素:定义域、值域和对应法则只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数（2）区间的概念及表示法设是两个实数，且，满足的实数的集合叫做闭区间，记做,a babaxbx；满足的实数的集合叫做开区间，记做；满足，或,a baxbx(,)a baxb的实数的集合叫做半开半闭区间，分别记做，；满足axbx,)a b(,a b的实数的集合分别记做,xa xa xb xbx,),(,),(,(,)aabb注意：注意：对于集合与区间，前者可以大于或等于，而后者必须|x axb(,)a bab，（前者可以不成立，为空集；而后者必须成立）ab（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：是整式时，定义域是全体实数()f x是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数()f x是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合()f x对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于 1中，tanyx()2xkkZ零（负）指数幂的底数不能为零若是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各()f x基本初等函数的定义域的交集对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知的定义域为，其复合()f x,a b函数的定义域应由不等式解出()f g x()ag xb对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义（4）求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同求函数值域与最值的常用方法：观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值范围确定函数的值域或最值判别式法：若函数可以化成一个系数含有的关于的二次方程()yf xyx，则在时，由于为实数，故必须有2()()()0a y xb y xc y()0a y,x y，从而确定函数的值域或最值2()4()()0bya yc y 不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值函数的单调性法【1.2.2】【1.2.2】函数的表示法函数的表示法（5）函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种 解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系（6）映射的概念设、是两个集合，如果按照某种对应法则，对于集合中任何一个元素，在ABfA集合中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合，以及到的BABAB对应法则）叫做集合到的映射，记作fAB:fAB给定一个集合到集合的映射，且如果元素和元素对应，那么AB,aA bBab我们把元素叫做元素的象，元素叫做元素的原象baab1.31.3函数的基本性质函数的基本性质【1.3.1】【1.3.1】单调性与最大（小）值单调性与最大（小）值（1）函数的单调性定义及判定方法函数的性 质定义图象判定方法如果对于属于定义域 I内某个区间上的任意两个自变量的值 x1、x2,当x x1 1 x x2 2时，都有 f(xf(x1 1)f(xf(x2 2)，那么就说 f(x)在这个区间上是增函增函数数x1x2y=f(X)xyf(x)1f(x)2o（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图 象上升为增）（4）利用复合函数函数的单调性如果对于属于定义域 I内某个区间上的任意两个自变量的值 x1、x2，当 x x1 1)f(xf(x2 2)，那么就说 f(x)在这个区间上是减函数减函数y=f(X)yxoxx2f(x)f(x)211（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图象下降为减）（4）利用复合函数在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数对于复合函数对于复合函数，令，令，若，若为增，为增，为增，则为增，则()yf g x()ug x()yf u()ug x为增；若为增；若为减，为减，为减，则为减，则为增；若为增；若()yf g x()yf u()ug x()yf g x为增，为增，为减，则为减，则为减；若为减；若为减，为减，()yf u()ug x()yf g x()yf u为增，则为增，则为减为减()ug x()yf g x（2）打“”函数的图象与性质()(0)af xxax分别在、上为增函数，分别在、上为减()f x(,a,)a,0)a(0,a函数（3）最大（小）值定义 一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：（1）对于任意的()yf xIM，都有；xI()f xM （2）存在，使得那么，我们称是函数的最大值，记作0 xI0()f xMM()f xmax()fxM一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：（1）对于任意的()yf xIm，都有；（2）存在，使得那么，我们称是函xI()f xm0 xI0()f xmm数的最小值，记作()f xmax()fxm【1.3.2】【1.3.2】奇偶性奇偶性（4）函数的奇偶性定义及判定方法函数的定义图象判定方法性 质如果对于函数 f(x)定义域内任意一个 x，都有f(x)=f(x)f(x),那么函数f(x)叫做奇函数奇函数（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于原点对称）函数的奇偶性如果对于函数 f(x)定义域内任意一个 x，都有f(x)=f(x)f(x),那么函数f(x)叫做偶函数偶函数（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于 y 轴对称）若函数为奇函数，且在处有定义，则()f x0 x(0)0f奇函数在轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在轴两侧相对称的区间增减yy性相反在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数补充知识补充知识函数的图象函数的图象（1）作图利用描点法作图：确定函数的定义域；化解函数解析式；讨论函数的性质（奇偶性、单调性）；画出函数的图象利用基本函数图象的变换作图：要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象平移变换0,0,|()()hhhhyf xyf xh 左移个单位右移|个单位0,0,|()()kkkkyf xyf xk 上移个单位下移|个单位伸缩变换 01,1,()()yf xyfx 伸缩01,1,()()AAyf xyAf x 缩伸对称变换 ()()xyf xyf x 轴()()yyf xyfx 轴 ()()yf xyfx 原点1()()y xyf xyfx 直线()(|)yyyyf xyfx 去掉轴左边图象保留轴右边图象，并作其关于轴对称图象()|()|xxyf xyf x 保留轴上方图象将轴下方图象翻折上去（2）识图对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系（3）用图 函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具要重视数形结合解题的思想方法第二章第二章 基本初等函数基本初等函数()()2.12.1指数函数指数函数【2.1.1】【2.1.1】指数与指数幂的运算指数与指数幂的运算（1）根式的概念如果，且，那么叫做的次方根当是,1nxa aR xR nnNxann奇数时，的次方根用符号表示；当是偶数时，正数的正的次方根用符号annanan表示，负的次方根用符号表示；0 的次方根是 0；负数没有次方根nannanan式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数当为奇数时，为nanana任意实数；当为偶数时，n0a 根式的性质：；当为奇数时，；当为偶数时，()nnaannnaan (0)|(0)nnaaaaaa（2）分数指数幂的概念正数的正分数指数幂的意义是：且0 的正(0,mnmnaaam nN1)n 分数指数幂等于 0正数的负分数指数幂的意义是：且 11()()(0,mmmnnnaam nNaa0 的负分数指数幂没有意义 注意口诀：注意口诀：底数取倒数，指数取相反数1)n（3）分数指数幂的运算性质 (0,)rsr saaaar sR()(0,)rsrsaaar sR()(0,0,)rrraba b abrR【2.1.2】【2.1.2】指数函数及其性质指数函数及其性质（4）指数函数函数名称指数函数定义函数且叫做指数函数(0 xyaa1)a 1a 01a图象定义域R值域(0,)过定点图象过定点，即当时，(0,1)0 x 1y 奇偶性非奇非偶单调性在上是增函数R在上是减函数R函数值的变化情况1(0)1(0)1(0)xxxaxaxax1(0)1(0)1(0)xxxaxaxax变化对图象的影响a在第一象限内，越大图象越高；在第二象限内，越大图象越低aa2.22.2对数函数对数函数【2.2.1】【2.2.1】对数与对数运算对数与对数运算（1）对数的定义 若，则叫做以为底的对数，记作，其中(0,1)xaN aa且xaNlogaxN叫做底数，叫做真数aN负数和零没有对数对数式与指数式的互化：log(0,1,0)xaxNaN aaN（2）几个重要的对数恒等式，log 10alog1aa logbaab（3）常用对数与自然对数常用对数：，即；自然对数：，即（其中）lg N10logNln NlogeN2.71828e（4）对数的运算性质 如果，那么0,1,0,0aaMN加法：减法：logloglog()aaaMNMNlogloglogaaaMMNN数乘：loglog()naanMMnRlogaNaN 换底公式：loglog(0,)bnaanMM bnRbloglog(0,1)logbabNNbba且【2.2.2】【2.2.2】对数函数及其性质对数函数及其性质（5）对数函数函数对数函数名称定义函数且叫做对数函数log(0ayx a1)a 1a 01a图象定义域(0,)值域R过定点图象过定点，即当时，(1,0)1x 0y 奇偶性非奇非偶单调性在上是增函数(0,)在上是减函数(0,)函数值的变化情况log0(1)log0(1)log0(01)aaaxxxxxxlog0(1)log0(1)log0(01)aaaxxxxxx变化对图象的影响a在第一象限内，越大图象越靠低；在第四象限内，越大图象越靠高aa(6)反函数的概念设函数的定义域为，值域为，从式子中解出，得式子()yf xAC()yf xx如果对于在中的任何一个值，通过式子，在中都有唯一()xyyC()xyxA确定的值和它对应，那么式子表示是的函数，函数叫做函数()xyxy()xy的反函数，记作，习惯上改写成()yf x1()xfy1()yfx（7）反函数的求法确定反函数的定义域，即原函数的值域；从原函数式中反解出；()yf x1()xfy将改写成，并注明反函数的定义域1()xfy1()yfx（8）反函数的性质 原函数与反函数的图象关于直线对称()yf x1()yfxyx函数的定义域、值域分别是其反函数的值域、定义域()yf x1()yfx若在原函数的图象上，则在反函数的图象(,)P a b()yf x(,)P b a1()yfx上一般地，函数要有反函数则它必须为单调函数()yf x2.32.3幂函数幂函数（1）幂函数的定义 一般地，函数叫做幂函数，其中为自变量，是常数yxx（2）幂函数的图象（3）幂函数的性质图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图y象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限 过定点：所有的幂函数在都有定义，并且图象都通过点(0,)(1,1)单调性：如果，则幂函数的图象过原点，并且在上为增函数如果，00,)0则幂函数的图象在上为减函数，在第一象限内，图象无限接近轴与轴(0,)xy奇偶性：当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶函数当（其中互质，和），若为奇数为奇数时，则是奇函数，若qp,p qpqZpqqpyx为奇数为偶数时，则是偶函数，若为偶数为奇数时，则是非奇非pqqpyxpqqpyx偶函数图象特征：幂函数，当时，若，其图象在直线,(0,)yxx101x下方，若，其图象在直线上方，当时，若，其图象在直yx1x yx101x线上方，若，其图象在直线下方yx1x yx补充知识补充知识二次函数二次函数（1）二次函数解析式的三种形式一般式：顶点式：两根式：2()(0)f xaxbxc a2()()(0)f xa xhk a（2）求二次函数解析式的方法12()()()(0)f xa xxxxa已知三个点坐标时，宜用一般式已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式若已知抛物线与轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求更方x()f x便（3）二次函数图象的性质二次函数的图象是一条抛物线，对称轴方程为顶2()(0)f xaxbxc a,2bxa 点坐标是24(,)24bacbaa当时，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增，当0a(,2ba,)2ba时，；当时，抛物线开口向下，函数在上2bxa 2min4()4acbfxa0a(,2ba 递增，在上递减，当时，,)2ba2bxa 2max4()4acbfxa二次函数当时，图象与轴有两个交点2()(0)f xaxbxc a240bac x11221212(,0),(,0),|M xMxM Mxxa（4）一元二次方程根的分布20(0)axbxca一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布 设一元二次方程的两实根为，且令20(0)axbxca12,x x12xx，从以下四个方面来分析此类问题：开口方向：对称轴位2()f xaxbxca置：判别式：端点函数值符号 2bxa kx1x2 xy1x2x0aOabx20)(kfkxy1x2xOabx2k0a0)(kfx1x2k xy1x2x0aOabx2k0)(kfxy1x2xOabx2k0a0)(kfx1kx2 af(k)0 0)(kfxy1x2x0aOkxy1x2xOk0a0)(kfk1x1x2k2 xy1x2x0aO1k2k0)(1kf0)(2kfabx2xy1x2xO0a1k2k0)(1kf0)(2kfabx2有且仅有一个根 x1（或 x2）满足 k1x1（或 x2）k2 f(k1)f(k2)0，并同时考虑 f(k1)=0 或 f(k2)=0 这两种情况是否也符合 xy1x2x0aO1k2k0)(1kf0)(2kfxy1x2xO0a1k2k0)(1kf0)(2kf k1x1k2p1x2p2 此结论可直接由推出（5）二次函数在闭区间上的最值2()(0)f xaxbxc a,p q 设在区间上的最大值为最大值为，最小值为，最小值为，令()f x,p qMm01()2xpq（）当时（开口向上）0a 若，则 若，则 若，2bpa()mf p2bpqa()2bmfa2bqa则()mf q若，则 ，则02bxa()Mf q02bxa()Mf p0 x()当时(开口向下)0a 若，则 若，则 若，2bpa()Mf p2bpqa()2bMfa2bqa则()Mf q若，则 ，则02bxa()mf q02bxa()mf pg0 x第三章第三章 函数的应用函数的应用一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数，把使成立的实数叫)(Dxxfy0)(xfx做函数的零点。)(Dxxfy2、函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数)(xfy 0)(xf的图象与轴交点的横坐标。即：)(xfy x方程有实数根函数的图象与轴有交点函数0)(xf)(xfy x有零点)(xfy 3、函数零点的求法：求函数的零点：)(xfy （代数法）求方程的实数根；10)(xf（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联2)(xfy 系起来，并利用函数的性质找出零点4、二次函数的零点：二次函数)0(2acbxaxy），方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个02cbxaxx交点，二次函数有两个零点），方程有两相等实根（二重根），二次函数的图象与02cbxax轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点x），方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次02cbxaxx函数无零点