数学培优竞赛新方法(九年级)-第5讲-明快简捷--构造方程的妙用.pdf
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1、 24第五讲 明快简捷构造方程的妙用知识纵横有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关,但是如果我们能构造一元二次方程,那么就能运用一元二次方程丰富的知识与方法辅助解题,构造一元二次方程的常用方法是:1利用根的定义构造来源:学&科&网 Z&X&X&K 当已知等式具有相同的结构,就可把某两个变元看成是关于某个字母的一元二次方程的两根 2利用韦达定理逆定理构造 若问题中有形如,的关系式时,则、可看作方程的两实根来源:学,科,网 Z,X,X,Kayxbxy xy02bazz 3确定主元构造 对于含有多个变元的等式,可以将等式整理为关于某个字母的一元二次方程成功的构造是建立在敏锐的观察、恰当的变形、广泛的
2、联想的基础之上的;成功的构造能收到明快简捷、出奇制胜的效果注:许多数学问题表面上看难以求解,但如果我们创造性地运用已知条件,以已知条件为素材,以所求结论为方向,有效地运用数学知识,构造出一种辅助问题及其数学形式,就能使问题在新的形式下获得简解,这就是解题中的“构造”策略,构造图形,构造方程、构造函数、构造反例是常用构造方法例题求解【例 1】若实数 x 满足._,16545,1634333332222yxyxyx则(全国初中数学联赛题)思路点拨 直接解方程组难度较大,变更主元,将看做某一个一元二次方程的两根,构造方程解。3353、25【例 2】设的值为()则代数式且,31,3122babbaa2
3、211ba A5 B7 C9 D11 (全国初中数学联赛题)思路点拨 这两个方程具有相同的结构,从利用构造方程入手。【例 3】已知实数、满足,且,求 的取值范围ab122baba22baabtt (“TI 杯”全国初中数学竞赛题)思路点拨 由两个等式可求出、的表达式,这样既可以从配方法入手,又能从构造方程的角度ba ab去探索,有较大的思维空间【例 4】已知实数、满足,abc2cba4abc (1)求、中最大者的最小值;abc(2)求的最小值3cba(“TRULY 信利杯”全国初中数学竞赛题)思路点拨 不妨设 ab,ac,由条件得,构造以 b、c 为实根的一元二次方程,acb2abc4通过0
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