高中数学必修2-全册知识点.pdf

第第 1 讲讲 空间几何体空间几何体1、空间几何体空间几何体1、空间几何体 在我们周围存在着各种各样的物体，它们都占据着空间的一部分。如果我们只考虑这些物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体。2、多面体和旋转体 多面体：由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体。围成多面体的各个多边形叫做多面体的面；相邻两个面的公共边叫做多面体的棱；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。旋转体：由一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体，叫做旋转几何体。这条定直线叫做旋转体的轴。多面体旋转体 圆台 圆柱-圆锥 圆柱+圆锥 圆台+大圆锥-小圆锥二、柱、锥、台、球的结构特征二、柱、锥、台、球的结构特征1.棱柱定义图形表示分类性质有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。两个互相平行的平面叫做棱柱的底面，其余各面叫做棱柱的侧面。用平行的两底面多边形的字母表示棱柱,如：棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1。棱柱的分类一(底面）：棱柱的底面可以是三角形、四边形、五边形、我们把这样的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱、棱柱的分类二(根据侧棱与底面的关系）：斜棱柱:侧棱不垂直于底面的棱柱.直棱柱:侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱正棱柱:底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱(1)上下底面平行,且是全等的多边形。(2)侧棱相等且相互平行。(3)侧面是平行四边形。三棱柱 四棱柱 五棱柱 斜棱柱 直棱柱 正棱柱2.棱锥定义图形表示性质分类有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。用顶点及底面各顶点字母表示棱锥,如：棱锥侧面是三角形，底面是多边形。按底面多边形的边数分类可分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等等，其中三棱锥又叫四面体。特殊的棱锥正棱锥定义：如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面中心 三棱锥 四棱锥 五棱锥 直棱锥2.棱台定义图形表示分类性质用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台。棱台用表示上、下底面各顶点的字母来表示，如下图，棱台ABCD-A1B1C1D1 由三棱锥、四棱锥、五棱锥截得的棱台，分别叫做三棱台，四棱台，五棱台特殊的棱锥由正棱锥截得的棱台叫正棱台上下底面平行，其余各面是梯形，且侧棱延长后交于一点。三棱台 四棱台 正棱台3.棱柱定义图形表示性质定义：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱。用表示它的轴的字母表示，如圆柱 OO1。4.圆锥定义图形表示性质以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转而成的曲面所围成的几何体叫做圆锥。用表示它的轴的字母表示，如圆锥 SO。6.圆台定义图形表示性质用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分，这样的几何体叫做圆台。用表示它的轴的字母表示，如圆台 OO7.球的结构特征1、球的定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体，简称球。（1）半圆的半径叫做球的半径。（2）半圆的圆心叫做球心。（3）半圆的直径叫做球的直径。2、球的表示：用表示球心的字母表示，如球 O3、球的性质（1）用一个平面去截球，截面是圆面；用一个平面去截球面，截线是圆。大圆-截面过圆心，半径等于球半径；小圆-截面不过圆心。（2）球心和截面的圆心的连线垂直于截面。（3）球心到截面的距离 d 与球的半径 R 及截面的半径 r，有下面的关系：22rRd解题方法：将立体中相关问题转化为平面几何问题解题方法：将立体中相关问题转化为平面几何问题棱锥内由某些线段组成的直角三角形，在计算有关问题时很重要，它是将立体中相关问题转化为平面几何问题的根据，如图 2-7 中的AOE，AOC，ACE 及OCE这四个直角三角形中，若知道 AE、AC、AO、OE、OC 及CE 这六条线段中的若干条时，则可以通过这些直角三角形间的关系求出其他线段总结三、空间几何体的三视图和直观图三、空间几何体的三视图和直观图1、中心投影与平行投影2、三视图正视图从正面看到的图侧视图从左面看到的图俯视图从上面看到的图画物体的三视图时，要符合如下原则:位置：正视图 侧视图 俯视图 大小：长对正，高平齐，宽相等.3、直观图-斜二测画法重点：用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，步骤如下：在已知图形中取互相垂直的 x 轴和 y 轴，两轴相交于点 O.画直观图时，把它们画对应的 x轴与 y轴，两轴交于点 O，且使xOy 45（或 135），它们确定的平面表示水平面.已知图形中平行于 x 轴或 y 轴的线段，在直观图中分别画成平行于 x轴或 y轴的线段；已知图形中平行于 x 轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于 y 轴的线段，长度为原来的一半例 1 用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图.说明：1.保持平行关系不变 2.水平长度保持不变；纵向长度取其一半例 3 用斜二测画法画长、宽、高分别是 4cm、3cm、2cm 的长方体 ABCD-ABCD的直观图.四、四、空间几何体的表面积与体积空间几何体的表面积与体积（一）空间几何体的表面积1 棱柱、棱锥的表面积：各个面面积之和2 圆柱的表面积 3 圆锥的表面积2Srlr4 圆台的表面积 22SrlrRlR5 球的表面积24SR6 扇形的面积公式（其中 表示弧长，表示半径）213602n RSlr扇形lr（二）空间几何体的体积1 柱体的体积 VSh底2 锥体的体积 13VSh底3 台体的体积 1)3VSS SSh下下上上（4 球体的体积 343VR222rrlS第第 2 讲讲 空间点、直线、平面之间的位置关系空间点、直线、平面之间的位置关系1、平面平面1、平面及其表示 2、平面的基本性质公理 1：公理 2：不共线的三点确定一个平面公理 3：AlBllAB PlPlP则2、点与面、直线位置关系点与面、直线位置关系1、点与平面有 2 种位置关系2、点与直线有 2 种位置关系3、空间中直线与直线之间的位置关系空间中直线与直线之间的位置关系1、异面直线2、直线与直线的位置关系相交共面平行异面3、公理 4 和定理公理 4：定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。12AB、12AlBl、131223llllllPPP4、求异面直线所成角的步骤：作：作平行线得到相交直线；证：证明作出的角即为所求的异面直线所成的角；构造三角形求出该角。提示：1、作平行线常见方法有：直接平移，中位线，平行四边形。2、异面直线所的角的范围是 。4、空间中直线与平面之间的位置关系空间中直线与平面之间的位置关系位置关系公共点有无数个公共点有且只有一个公共点没有公共点符号表示图形表示5、空间中平面与平面之间的位置关系空间中平面与平面之间的位置关系位置关系两个平面平行两个平面相交公共点没有公共点有一条公共直线符号表示PaI图形表示000,90 a直线与平面平行a直线与平面相交a直线在平面内aaPaAI第第 3 讲讲 直线、平面平行的判定及其性质直线、平面平行的判定及其性质1、线面平行线面平行1、判定：（线线平行，则线面平行）2、性质：（线面平行，则线线平行）2、面面平行面面平行1、判定：（线面平行，则面面平行）2、性质 1：（面面平行，则线面平行）babb aPPaaa bbPPababPabPPPaa bbPIPI性质 2：mmPP（面面平行，则线面平行）说明（1）判定直线与平面平行的方法：利用定义：证明直线与平面无公共点。利用判定定理：从直线与直线平行等到直线与平面平行。利用面面平行的性质：两个平面平行，则其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。（2）证明面面平行的常用方法 利用面面平行的定义：此法一般与反证法结合。利用判定定理。证明两个平面垂直于同一个平面。证明两个平面同时平行于第三个平面。第第 4 讲讲 直线与平面垂直的判定及其性质直线与平面垂直的判定及其性质1、直线与平面所成的角直线与平面所成的角00-0,180l二、二面角3、线面垂直线面垂直1、判定：2、性质 1：000,90,POAOPAlQ证明过程为在平面上的投影，为直线与平面所成的角。,-BOl AOlBOAlQ证明过程是二面角的平面角。ababAllalb aa bbP3、性质 2：4、面面垂直面面垂直1、判定：文字表达：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。2、性质：说明：（1）判定直线与平面垂直的方法：利用定义（可用反证法）。利用判定定理。利用性质定理。结合平行关系：（2）判定平面与平面垂直的方法：利用定义判断（证）二面角的平面角是直角。利用平面与平面垂直的判定定理。llABABABCD,a b abPaabb第第 5 讲讲 直线与方程直线与方程1、倾斜角倾斜角 1、定义：000=.0,180.lx说明：(1)当直线与轴平行或重合时，0(2)的范围是2、斜率斜率2、定义：01212tan(90,=kyyxx即当时斜率不存在)特殊角的正弦值表格:00030045060090012001350150tan03313无意义-3-13-3lAk三、分析直线绕点旋转一周的过程中倾斜角与斜率的变化.xl轴正方向与直线向上的方向之间所成的角k倾斜角的正切值,用来表示.20,ybkbyykxb、斜截式：与轴交点（），斜率为，叫做轴上的截距.4、两条直线平行与垂直的判定两条直线平行与垂直的判定1、两条直线都有斜率且不重合，则2、两条直线都有斜率，则5、直线的方程直线的方程00001.()xykyyk xx、点斜式：过定点（,）,斜率为 （适用于 )（适用于 ）11223x yxy、两点式：直线过两点（,）和（,）.112121yyxxyyxx （适用于 ）42,0 xyab、截距式：直线与、轴的个交点分别为（）（0,）.1(0,0)xyabab （适用于 ）500AxByCAB、一般式：（、不同时为）.适用于所有直线.0.ACACyxBBBBB 可化为斜截式()，则斜率为纵截距为说明：斜截式是点斜式的特殊情况，截距式是两点式的特殊情况。结果只能用斜截式或者一般式来表示。1212llkkP12121llk k 11122212121222121212(,),(,).1222()().x yxyxxyyPPxxyy六、中点坐标公式、两点距离公式：设PP、点P与P的中点为P（,）.、1212112222121212.:0,:0.0,0lAxByClAxByCAxB yCx yllA xB yCllllll七、两条直线的交点坐标及两点间的距离设直线(1)方程组的解（）即为与的交点坐标.(2)方程组的解与直线的位置关系与相交唯一解无穷多个解与重合无实数解与平行（代数问题）（几何问题）00002212112222,0.00.xByCxyxByCdABCClxByClxByCdAB八、点到直线的距离、两条平行直线间的距离公式A1、点P()到直线A的距离2、两平行线:A与:A间的距离第第 6 讲讲 圆与方程圆与方程1、圆的标准方程圆的标准方程22200222002220022200,xyxaybrxaybrxaybrxaybr点M()与圆()+()=的关系的判断方法：(1)()+()点在圆外.(2)()+()=点在圆上.(3)()+()点在圆内.2、圆的一般方程圆的一般方程22222210.0(40)2xyxyDxEyFDEFxy、和的系数相同，不为其中、没有这样的项.22224224DEDEFxy配方圆的一般方程标准方程：()+()=224,222DEDEFr可知圆心为(-),半径3、直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系22100000AxByCxyDxEyF、代数法相交一元二次方程相切相离2dr、几何法相交圆心到直线的距离半径相切相离说明：几何法比代数法更简便。222xaybr()()222xyr特殊：4、圆的切线圆的切线00001(,);(),opoplllOP xylkkkkyyk xx、求过圆上一点的切线的方法：步骤：1、求2、由=-1,求出3、用点斜式:得出切线方程.00002(,)1(),2,.OP xyyyk xxdrk、求过圆外一点的圆的切线方程的方法：步骤：、设直线为、由列出方程，解出从而得到切线方程5、圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系121212121212121212,.5OOr r OOddrrdrrrrdrrdrrdrr设圆与圆的半径分别为则圆与圆有以下种位置关系：（1）相离：（2）外切：（3）相交：（4）内切：（5）内含：说明：判断圆与圆的位置关系有代数法和几何法，几何法运算量小，是常用方法。6、求弦长求弦长1、几何法22=2ABrd2、代数法222121212212121222=11()411=11()4ABkxxkxxx xAByyyyy ykk弦长公式或第第 7 讲讲 空间直角坐标系空间直角坐标系1、空间直角坐标系(1)点 M 对应着唯一确定的有序实数组，、分别是 P、Q、R 在、轴上的坐标),(zyxxyzxyz(2)有序实数组，对应着空间直角坐标系中的一点),(zyx(3)空间中任意点 M 的坐标都可以用有序实数组来表示，该数组叫做点 M 在此空间直角坐标系中的坐标，),(zyx记 M，叫做点 M 的横坐标，叫做点 M 的纵坐标，叫做点 M 的竖坐标。),(zyxxyz2、空间两点间的距离公式(1)空间中任意一点到点之间的距离公式),(1111zyxP),(2222zyxP22122122121)()()(zzyyxxPP特别地，任意一点 与原点间距离3、空间两点中点公式 ，则 AB 中点为 OyxMMRPQ(,)P x y z222POxyz121212,222xxyyzz111(,)A x y z222(,)B xyz