高一数学平面向量知识点和典型例题解析.pdf
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1、.高一数学高一数学 第八章第八章 平面向量平面向量第一第一讲讲 向量的概念与向量的概念与线线性运算性运算一【要点精讲】1向量的概念向量:既有大小又有方向的量。几何表示法ABuuu r,ar;坐标表示法),(yxjyi xar。向量的模(长度),记作|ABuuu r|.即向量的大小,记作ar|。向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小.零向量:长度为 0 的向量,记为0r,其方向是任意的,规定0r平行于任何向量。(与 0 的区别)单位向量 0ar1。平行向量(共线向量)方向相同或相反的非零向量,记作arbr相等向量记为barr。大小相等,方向相同),(),(2211yxyx2121yyxx2向量
2、的运算(1)向量加法:求两个向量和的运算叫做向量的加法.如图,已知向量 a,b,奎 奎奎 奎 奎奎 奎在平面内任取一点,作a,b,则向量叫做 a 与 b 的和,AAB uuu rBC uuu rAC记作 a+b,即 a+bABBCACuuu ruuu ruuu r特殊情况:ababa+bbaa+b(1)三 三 三 三 三 三 三三 三 三 三 三CBDCBAAaabbba ba AABBCC)2()3(向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加:ABBCCDPQQRARuuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu rL,但这时必须“首尾相连”。.向量减法:同一个图中画出 ab abr
3、r rr、要点:向量加法的“三角形法则”与“平行四边形法则”(1)用平行四边形法则时,两个已知向量是要共始点的,和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线,而差向量是另一条对角线,方向是从减向量指向被减向量。(2)三角形法则的特点是“首尾相接”,由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和;差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点.(3)实数与向量的积3两个向量共线定理:向量br与非零向量ar共线有且只有一个实数,使得br=ar。二【典例解析】题题型一:型一:向量及与向量相关的基本概念概念向量及与向量相关的基本概念概念例 1 判断下列各命题是否正确(1)零向量没有方向
4、 (2)若baba则,(3)单位向量都相等 (4)向量就是有向线段(5)两相等向量若共起点,则终点也相同 (6)若,则;barrcbrrcarr(7)若,则 (8)的充要条件是且;barr/cbrr/carr/barr|barrbarr/(9)若四边形 ABCD 是平行四边形,则DABCCDB,A练习.(四川省成都市一诊)在四边形 ABCD 中,“”是“四边形 ABCD 为梯形”的AB 2DC A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充要条件 D、既不充分也不必要条件题题型二型二:考考查查加法、减法运算及相关运算律加法、减法运算及相关运算律例 2 化简=)()(BDACCDAB练习 1.下列命
5、题中正确的是 A BOAOBABuu u ruuu ruuu r0ABBAuuu ruu u rC D00ABr uuu rrABBCCDADuuu ruuu ruuu ruuu r2.化简得 AC uuu rBDuuu rCDuuu rABuuu rA B C DABuuu rDABC0r3如图,D、E、F 分别是ABC 的边 AB、BC、CA 的中点,则().A.0 B.0AD BE CF BD CF DF C.0 D.0AD CE CF BD BE FC 题题型三型三:结结合合图图型考型考查查向量加、减法向量加、减法例 3 在所在的平面上有一点,满足,则与的面ABCPPAPBPCABuu
6、 u ruu u ruuu ruuu rPBCABC积之比是()A B C D13122334例 4 重心、垂心、外心性质练习:1如图,在 ABC 中,D、E 为边 AB 的两个三等分点,=3a,CA=2b,求,CB CD CE 2 已知求证ababrrrr=abrr3 若为的内心,且满足,则的形状为(OABC()(2)0OBOCOBOCOAuuu ruuu ruuu ruuu ruu u rABC)A.等腰三角形 B.正三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形4已知 O、A、B 是平面上的三个点,直线 AB 上有一点 C,满足 20,则()AC CB OC A2 B2 C.DOA OB OA
7、OB 23OA 13OB 13OA 23OB 5已知平面上不共线的四点 O,A,B,C.若320,则等于_OA OB OC|AB|BC|6已知平面内有一点 P 及一个ABC,若,则()PA PB PC AB A点 P 在ABC 外部 B点 P 在线段 AB 上 C点 P 在线段 BC 上 D点 P 在线段 AC 上ABCDE.7在ABC 中,已知 D 是 AB 边上一点,若2,则 等于()AD DB CD 13CA CB A.B.C D23131323题题型四型四:三点共三点共线问题线问题例 4 设是不共线的向量,已知向量,若21,ee2121212,3,2eeCDeeCBekeABA,B,D
8、 三点共线,求 k 的值例 5 已知 A、B、C、P 为平面内四点,A、B、C 三点在一条直线上 =m+n,求证:PC PA PB m+n=1练习:1已知:,则下列关系一定成立的是2121212CD ,BC ),(3eeeeeeAB()A、A,B,C 三点共线 B、A,B,D 三点共线C、C,A,D 三点共线 D、B,C,D 三点共线2(原创题)设 a,b 是两个不共线的向量,若2akb,ab,2ab,且 A,B,DAB CB CD 三点共线,则实数 k 的值等于_第第 2 讲讲 平面向量的基本定理与坐平面向量的基本定理与坐标标表示表示一一【要点精要点精讲讲】1平面向量的基本定理如果21,ee
9、rr是一个平面内的两个不共线向量,那么对这一平面内的任一向量ar,有且只有一对实数21,使:2211eearrr其中不共线的向量21,eerr叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.2平面向量的坐标表示 如图,在直角坐标系内,我们分别取与轴、轴方向相同的_单位xy向量_、作为基底奎 奎奎 奎 奎奎 奎任作一个向量,有且只有一对实数、,使得irjrarxy,把叫做向量的(直角)坐标,记作axiyjr 1),(yxar.BCAOMD 其中叫做在轴上的坐标,叫做在轴上的坐标,式叫做向量向量(,)ax yr 2xarxyary 2的坐的坐标标表示表示奎 奎奎 奎 奎奎 奎与与相等的向量的坐相等的向量的坐
10、标标也也为为奎 奎奎 奎 奎奎 奎特别地,奎 奎奎 奎 奎奎 奎ar),(yx(1,0)i r(0,1)j r0(0,0)r特特别别提醒:提醒:设,则向量的坐标就是点的坐标;反过来,点的坐标yjxiOAOA),(yxAA也就是向量的坐标奎 奎奎 奎 奎奎 奎因此,在平面直角坐标系内,每一个平面向量都是可以用一对实),(yxOA数唯一表示奎 奎奎 奎 奎奎 奎3平面向量的坐标运算(1)若,则=,=11(,)ax yr22(,)bxyrabrr1212(,)xxyyabrr1212(,)xxyy(2)若,则 (3)若和实数,则),(11yxA),(22yxBAB uuu r(,)ax yrar(,
11、)xy4向量平行的充要条件的坐标表示:设=(x1,y1),=(x2,y2)其中arbrbrar()的充要条件是arbrbr012210 x yx y二二【典例解析典例解析】题题型一型一.利用一利用一组组基底表示平面内的任一向量基底表示平面内的任一向量例 1 在OAB 中,AD 与 BC 交于点 M,OBODOAOC21,41设=,=,用,表示.OAarOBbrarbrOM练习:1若已知、是平面上的一组基底,则下列各组向量中不能作为基底的一组是()1e2e A与 B3与 2 C与 D与 21e2e1e2e1e2e1e2e1e1e2在平行四边形 ABCD 中,E 和 F 分别是边 CD 和 BC
12、的中点,若,其中AC AE AF、R,则 _.题题型二型二:向量加、减、数乘的坐向量加、减、数乘的坐标标运算运算 例 3 已知 A(2,4)、B(3,1)、C(3,4)且,CACM3,求点 M、N 的坐标及向量的坐标.CBCN2MN.练习:1.(2008 年高考辽宁卷)已知四边形 ABCD 的三个顶点 A(0,2),B(1,2),C(3,1),且2,则顶点 D 的坐标为()BC AD A(2,)B(2,)C(3,2)D(1,3)7212 2若 M(3,-2)N(-5,-1)且,求 P 点的坐标;12MP uuu rMN 3若 M(3,-2)N(-5,-1),点 P 在 MN 的延长线上,且,1
13、2MPMNuuu ruuu u r 求 P 点的坐标;4.(2009 年广东卷文)已知平面向量 a=,1x(),b=2,x x(),则向量ab()A 平行于x轴 B.平行于第一、三象限的角平分线 C.平行于y轴 D.平行于第二、四象限的角平分线 5在三角形 ABC 中,已知 A(2,3),B(8,4),点 G(2,1)在中线 AD 上,且2,AG GD 则点 C 的坐标是()A(4,2)B(4,2)C(4,2)D(4,2)6设向量 a(1,3),b(2,4),c(1,2),若表示向量 4a、4b2c、2(ac)、d 的有向线段首尾相接能构成四边形,则向量 d 为()A(2,6)B(2,6)C(
14、2,6)D(2,6)7已知 A(7,1)、B(1,4),直线 y ax 与线段 AB 交于 C,且2,则实数 a 等于()12AC CB A2 B1 C.D.4553题题型三型三:平行、共平行、共线问题线问题 例 4 已知向量,若,则锐角等于()(1 sin,1)a1(,1 sin)2bab A B C D30456075.例 5(2009 北京卷文)已知向量(1,0),(0,1),(),abckab kR dab,如果/cd那么()A1k 且c与d同向 B1k 且c与d反向 C1k 且c与d同向 D1k 且c与d反向 练习:1若向量=(-1,x)与=(-x,2)共线且方向相同,求 xarbr
15、 2已知点 O(0,0),A(1,2),B(4,5)及,ABtOAOP 求(1)t 为何值时,P 在 x 轴上?P 在 y 轴上?P 在第二象限。(2)四边形 OABP 能否构成为平行四边形?若能,求出相应的 t 值;若不能,请说明理由。3已知向量 a(1,2),b(0,1),设 uakb,v2ab,若 uv,则实数 k 的值为()A1 B C.D11212 4已知向量 a(2,3),b(1,2),若 manb 与 a2b 共线,则 等于()mnA B2 C.D212125已知向量(1,3),(2,1),(m1,m2),若点 A、B、C 能构成三角形,则OA OB OC 实数 m 应满足的条件
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