018年高考数列专题复习(精典版知识点大题分类选择题答案解析详解)106.pdf

WORD 格式整理文科数列专题复习一、等差数列与等比数列1.基本量的思想：常设首项、（公差）比为基本量，借助于消元思想及解方程组思想等。转化为“基本量”是解决问题的基本方法。2.等差数列与等比数列的联系1）若数列an 是等差数列，则数列 aan 是等比数列，公比为 ad，其中 a 是常数，d是 an的公差。（a0 且 a 1）；2）若数列 an是等比数列，且 an0，则数列log a an是等差数列，公差为 log a q，其中 a 是常数且 a 0,a1，q 是an的公比。3）若 an 既是等差数列又是等比数列,则 an 是非零常数数列。3.等差与等比数列的比较等差数列等比数列定义 an 为 A Pan 1and(常数）an 1 an 为GPq(常数）an通项an=a1+（n-1）d=ak+（n-k）d=dn+a1-dana1q n1ak qn k公 式求和n(a1 an)n(n 1)na1(q1)公 式snna1d22sna1(1 q n)a1an qd2d(q 1)(a1)n1qq22中项A=abG 2ab。公式2推广：2 an=anman m推广：anan manm性1质若 m+n=p+q amana paq若 m+n=p+q，则 am ana p aq 则。2若 k n 成 A.P（其中 k nN）则 akn 也若 kn 成等比数列（其中 knN），为 A.P。则 akn 成等比数列。专业资料值得拥有WORD 格式整理3 sn,s2 nsn,s3ns2 n 成等差数列。sn,s2nsn,s3 ns2 n 成等比数列。4ana1amanann mand(m n)q，q(m n)n1mna1am4、典型例题分析【题型 1】等差数列与等比数列的联系例 1（文 16）已知 a n 是公差不为零的等差数列，a11，且 a1，a3，a9 成等比数列 .（）求数列 a n 的通项;（）求数列 2 an 的前 n 项和 Sn.解：（）由题设知公差d0，113912d18d由 a 1，a，a，a成等比数列得112d解得 d1，d 0（舍去），故 a 的通项 a 1+（n 1）1 n.nn()由（）知2am =2n，由等比数列前 n 项和公式得232(12n)n+1Sm=2+2+2+2=-2.12小结与拓展：数列an是等差数列，则数列 a an 是等比数列，公比为ad，其中 a 是常数，d 是 an的公差。（a0 且 a 1）.【题型 2】与“前 n 项和 Sn 与通项 an”、常用求通项公式的结合例 2已知数列nn122n 3a 的前三项与数列 b 的前三项对应相同，且 a 2a 2 a 2 1an 8n对任意的 nN*都成立，数列 b n 1 bn 是等差数列求数列 a n 与 b n 的通项公式。2n 1*解：a 2a 2 a 2 a 8n(n N)123n1223n 2n 1*当 n2 时，a 2a 2 a 2a 8(n 1)(n N)得2n 1an8，求得 an24 n，在中令n 1，可得 a1 8 24 1，an 24 n(n N*)由题意知 b1 8，b2 4，b3 2，b2 b1 4，b3 b2 2，数列 b n 1 bn 的公差为 2(4)2，bn 1 bn 4(n 1)2 2n 6，专业资料值得拥有WORD 格式整理法一（迭代法）bn b1(b 2b1)(b 3 b2)(b n bn 1)8(4)(2)(2n 8)n2 7n14(n N*)法二（累加法）即 bnbn 1 2n 8，bn 1 bn 22n 10，b3 b2 2，b2 b1 4，b1 8，相加得 bn8(4)(2)(2n 8)8(n 1)(4 2n 8)n2 7n14(n N*)2小结与拓展：1）在数列 a n 中，前 n 项和 Sn 与通项 an 的关系为：a1S1(n 1)an.是重要考点；2）韦达定理应引起重视；3）迭代法、SnSn 1(n 2,n N)累加法及累乘法是求数列通项公式的常用方法。【题型 3】中项公式与最值（数列具有函数的性质）例 3（文）在等比数列 a 中，a 0(nN），公比 q (0,1)，且 a a+2a a+an1 535a 25，a 与 a的等比中项为2。（1）求数列 a 的通项公式；（2）设 b loga，2 83snn2nS1S2Sn数列 bn 的前 n 项和为 Sn 当最大时，求 n 的值。12n解：（1）因为 a1a5+2a 3a5+a2a8 25，所以，a32 +2a 3a5+a52 25又 a o，a a 5又 a 与 a的等比中项为2，所以，a a 4n3535351而 q（0,1），所以，a3 a5，所以，a3 4，a5 1，q，a1 16，所以，2n 1an16125n2（2）bn log 2a n 5 n，所以，bn 1 bn 1，专业资料值得拥有WORD 格式整理n(9 n)Sn 9n所以，b 是以 4 为首项，1为公差的等差数列。所以，Sn,n2n2所以，当 n 8 时，Sn 0，当 n 9 时，Sn 0，n 9 时，Sn 0，nnn当 n 8 或 9 时，S1S2Sn 最大。12n小结与拓展：1）利用配方法、单调性法求数列的最值；2）等差中项与等比中项。二、数列的前 n 项和1.前 n 项和公式 Sn 的定义：Sn=a1+a2+an。2.数列求和的方法（1）（1）公式法：1）等差数列求和公式；2）等比数列求和公式；3）可转化为等差、等比数列的数列；4）常用公式 :n1k1 23nn(n1)；k12nk 2122232n21n(n1)(2n 1)；k16nk 3132333n3 n(n 1)2；k12n(2 k1)1 3 5.(2n-1)n 2。k1（2）分组求和法：把数列的每一项分成多个项或把数列的项重新组合，使其转化成等差数列或等比数列，然后由等差、等比数列求和公式求解。（3）倒序相加法：如果一个数列 a，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于n同一常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法。如：等差数列的前n 项和即是用此法推导的。（4）裂项相消法：即把每一项都拆成正负两项，使其正负抵消，只余有限几项，可求和。c适用于其中 an 是各项不为0 的等差数列，c 为常数；部分无理数列、含an an 111阶乘的数列等。如：1）和（其中 an 等差）可裂项为：an an 1an 111(11)；2）11(aa)。（根式在分母上时可an an 1d anan 1anan 1d专业资料值得拥有WORD 格式整理考虑利用分母有理化，因式相消求和）常见裂项公式：111（1）；n(n1)nn1（2）11(11)；n(nk)knnk（3）（4）1111；n(n1)(n 1)2n(n 1)(n 1)(n 2)n11(n 1)!n!(n1)!212（5）常见放缩公式：2(n 1 n)2(nn 1).n 1nnnn 13.典型例题分析【题型 1】公式法例 1等比数列 的前项和 p，则2222anS2a1a2a3an_.解：1）当 n=1 时，a12-p；2）当 n2 时，anSn -Sn-1(2n -p)-(2 n-1-p)2n-1。因为数列 an 为等比数列，所以a12-p21-11 p1从而等比数列 an 为首项为 1，公比为 2 的等比数列。故等比数列an2为首项为1，公比为 q 24 的等比数列。22221(1-4n)1(4n-1)a1a2a3an1-43小结与拓展：1）等差数列求和公式；2）等比数列求和公式；3）可转化为等差、等比数列的数列；4）常用公式:（见知识点部分）。5）等比数列的性质：若数列 an 为等比数列，则数列an2 及1也为等比数列，首项分别为a12、1，公比分别ana1为 q2、1。q专业资料值得拥有WORD 格式整理【题型 2】分组求和法例 2（文 18）数列 an 中，a11，且点(an,an 1)(n N)在函数 f(x)x2的图象上.求数列 an 的通项公式解：点(a,a)在函数 f(x)x2 的图象上，aa 2。nn 1n 1n an 1 an2，即数列 an 是以 a11为首项，2 为公差的等差数列，an 1 (n 1)2 2n 1。【题型 3】裂项相消法例 3（文 19改编）已知数列an的前 n 项和为 Sn，a11，Sn 1 4an1，设bnan 12an（）证明数列 bn是等比数列；（）数列 cn满足 cn1(nN*)，求 Tncc12 cc23 cc34cc 1nn。log 2 bn3证明：（）由于 S4a1，n 1n当 n2 时，Sn4an 1 1 得an 14an4an 1 所以an 12an2(an2an 1)又 bnan 12an，所以 bn 2bn 1因为 a11，且 a1a24a11，所以 a23a11 4 所以 b1a22a12故数列bn 是首项为 2，公比为2 的等比数列解：（）由（）可知bn2n，则 cn11（nN*）log 2 bn3n 31 111Tncc12c2 c3 c3 c4cncn 1455667(n 3)(n 4)专业资料值得拥有WORD 格式整理11n4n 44(n 4)小结与拓展：裂项相消法是把每一项都拆成正负两项，使其正负抵消，只余有限几项，c可求和。它适用于其中 an 是各项不为0 的等差数列，c 为常数；部分无an an 1理数列、含阶乘的数列等。4.数列求和的方法（2）（5）错位相减法：适用于差比数列（如果an 等差，bn 等比，那么 anbn叫做差比数列）即把每一项都乘以bn 的公比 q，向后错一项，再对应同次项相减，转化为等比数列求和。如：等比数列的前n 项和就是用此法推导的.（6）累加（乘）法（7）并项求和法：一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.形如 an(1)nf(n)类型，可采用两项合并求。5.典型例题分析【题型 4】错位相减法2462n例 4求数列2,22,23,2n,前 n 项的和.解：由题可知 2n 的通项是等差数列2n的通项与等比数列 1 的通项之积2n2 n2462n设 Sn23n22221 S2462n（设制错位）2n2 223242n 1得 (11)S222222n（错位相减）n22 2 223242n2n 112n22n 12n 1n2Sn42n 1专业资料值得拥有WORD 格式整理【题型 5】并项求和法例 5 求 S100 1002 992 982 972 22 12解：S100 1002 992 982 972 22 12(100 99)(98 97)(2 1)5050.6.归纳与总结以上一个 8 种方法虽然各有其特点，但总的原则是要善于改变原数列的形式结构，使其能进行消项处理或能使用等差数列或等比数列的求和公式以及其它已知的基本求和公式来解决，只要很好地把握这一规律，就能使数列求和化难为易，迎刃而解。三、数列的通项公式1.数列的通项公式一个数列 a n 的与之间的函数关系，如果可用一个公式an f(n)来表示，我们就把这个公式叫做这个数列的通项公式2.通项公式的求法（1）（1）定义法与观察法（合情推理：不完全归纳法）：直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目；有的数列可以根据前几项观察出通项公式。（2）公式法：在数列 a n 中，前 n 项和 Sn 与通项 an 的关系为：a1S1(n 1)an(数 列 an的 前 n项的和为SnSn 1(n 2,n N)sn a1a2an).（3）周期数列由递推式计算出前几项，寻找周期。（4）由递推式求数列通项()类型 1递推公式为an 1anf n解法：把原递推公式转化为an 1anf(n)，利用 累加法(逐差相加法 )求解。类型 2（1）递推公式为 an 1f(n)an专业资料值得拥有WORD 格式整理an 1解法：把原递推公式转化为f(n)an，利用 累乘法(逐商相乘法 )求解。（2）由 an 1f(n)an 和 a1 确定的递推数列an的通项可如下求得：由已知递推式有anf(n1)an1，an 1f(n2)an 2，a2f(1)a1 依次向前代入，得 anf(n 1)f(n2)f(1)a1，这就是 叠（迭）代法 的基本模式。类型 3递推公式为 an 1panq（其中 p，q 均为常数，(pq(p 1)0)）。q解法：把原递推公式转化为：an 1 tp(ant)，其中 t，再利用 换元法 转1p化为等比数列求解。3.典型例题分析【题型 1】周期数列12an,(0an)26例 1若数列 an满足 an 1，若 a1，则 a20=_。172an 1,(an1)2答案：5。7小结与拓展：由递推式计算出前几项，寻找周期。【题型 2】递推公式为()，求通项an1anf n11例 2 已知数列 an满足 a1，an 1an22n111解：由条件知：an 1an2nn(n1)nn 1分别令 n 1,2,3,(n 1)，代入上式得(n1)个等式累加之，即(a2a1)(a3a2)(a4a3)(anan 1)专业资料值得拥有WORD 格式整理(11)(1 1)(11)(11)22 334n 1n1所以 ana11n1113 1a1，an122n2 n小结与拓展：在运用累加法时,要特别注意项数,计算时项数容易出错.【题型 3】递推公式为 an 1f(n)an，求通项例 3已知数列an 满足 a12，an1nan，求 an。31解：由条件知 an1n，分别令 n1,2,3,(n1)，代入上式得 (n1)个等式ann 1a2a3a4an1 2 3n 1an1累乘之，即a1a2a3an 12 3 4na1n22又 a1，an33n小结与拓展：在运用累乘法时 ,还是要特别注意项数,计算时项数容易出错 .【题型 4】递推公 式 为 an 1panq（其中 p，q 均 为常 数，(pq(p1)0)），求通项例 4在数列 an 中，a11，当 n2时，有 an3an 1 2，求 an 的通项公式。解法 1：设 anm3(an 1m)，即有 an3an12m，对比 an3an 1 2，得 m 1，于是得 an 13(an 11)，数列 an1 是以 a1 12 为首项，以 3 为公比的等比数列，所以有 an2 3n 11。解法 2：由已知递推式，得an 1 3an2,an3an 12,(n2)，上述两式相减，得an 1 an 3(an an1)，因此，数列 an 1an 是以 a2 a14 为首项，以3 为公比的等比数列。所以 aa4 3n 1，即 3a2 a4 3 n 1，所以 a23n 11。n1nn小结与拓展：此类数列解决的办法是将其构造成一个新的等比数列，再利用等比数列的性质进行求解，构造的办法有两种，一是待定系数法构造，设 an 1 mp(anm)，专业资料值得拥有WORD 格式整理展开整理 an 1panm，比较系数有 pmmb，所以 m，所以1bban是等比数列，公比为p，首项为 a1。二是用做差法直接构造，p1p1an 1panq，anpan1q，两式相减有 an1anp(an an 1)，所以 an 1 an是公比为 p 的等比数列。也可用“归纳猜想证明”法来求，这也是近年高考考得很多的一种题型.4.通项公式的求法（2）（5）构造法构造法就是在解决某些数学问题的过程中，通过对条件与结论的充分剖析，有时会联想出一种适当的辅助模型，如某种数量关系，某个直观图形，或者某一反例，以此促成命题转换，产生新的解题方法，这种思维方法的特点就是“构造”.若已知条件给的是数列的递推公式要求出该数列的通项公式，此类题通常较难，但使用构造法往往给人耳目一新的感觉.1）构造等差数列或等比数列由于等差数列与等比数列的通项公式显然，对于一些递推数列问题，若能构造等差数列或等比数列，无疑是一种行之有效的构造方法.2）构造差式与和式解题的基本思路就是构造出某个数列的相邻两项之差，然后采用迭加的方法就可求得这一数列的通项公式.3）构造商式与积式构造数列相邻两项的商式，然后连乘也是求数列通项公式的一种简单方法.4）构造对数式或倒数式有些数列若通过取对数，取倒数代数变形方法，可由复杂变为简单，使问题得以解决.四、典型例题分析【题型 5】构造法：1）构造等差数列或等比数列例5设各项均为正数的数列an 的前 n 项和为 Sn，对于任意正整数 n，都有等式：an22an4Sn 成立，求 an 的通项 an.2解：an22an4Snan 12an 1 4Sn 1 an2an2 12an2an 14(Sn Sn 1)4an(an an 1)(anan 12)0，an an 1 0，an an 12.即 an 是以 2 为专业资料值得拥有WORD 格式整理公差的等差数列，且a122a14a1a12.an22(n1)2n小结与拓展：由于等差数列与等比数列的通项公式显然，对于一些递推数列问题，若能构造等差数列或等比数列，无疑是一种行之有效的构造方法.【题型 6】构造法：2）构造差式与和式解题的基本思路就是构造出某个数列的相邻两项之差，然后采用迭加的方法就可求得这一数列的通项公式。例 6设 an是首项为1 的正项数列，且 an2an21 nannan 1 0，（n N*），求数列的通项公式an.解：由题设得()()0.ananan 1n an0，an 10，anan 10.anan 1 nn(n 1)ana1 (a2a1)(a3a2)(anan 1)1 2 32【题型 7】构造法：3）构造商式与积式构造数列相邻两项的商式，然后连乘也是求数列通项公式的一种简单方法.例 7数列 an中，a11，前 n 项的和 Snn2 an，求 an 1.2解：aSSn2 a(n 1)2 a(n21)a (n1)2 annn1nn1n 1ann1，an 1n1 ananan 1a2 a1n 1 n 2 1 11an 1 an 2a1n 1 n3 2 n(n 1)1 an 1(n1)(n2)【题型 8】构造法：4）构造对数式或倒数式有些数列若通过取对数，取倒数代数变形方法，可由复杂变为简单，使问题得以解决.例 8设正项数列 an 满足 a11，an 2an21（n 2）.求数列 an 的通项公式 .解：两边取对数得：log2a n12log 2an 1，log 2a n 1 2(log 2an 1 1)，设 bn log 2an1，则bn 2bn 1bn 是以 2 为公比的等比数列，b1log1211.专业资料值得拥有WORD 格式整理bn 1 2n 12n 1，log 2an 12n 1，log 2an2n 1 1，an 22 n 1 1数 列 选 填 题（高考题）1、(2014 年高考重庆卷文 2)在等差数列 an 中，a12，a3a510，则 a7）A.5B.8C.10D.141、解：数列 an 是等差，a3a510，a45，a72a4a18，选 B.2、(2014 年高考天津卷文 5)设 an是首项为 a1，公差为1的等差数列，Sn 为其前 n 项和，若S1，S2，S4 成等比数列，则 a1（）11A.2B.2C.D.222、解：an是首项为 a1，公差为1的等差数列，Sn 为其前 n 项和，又 S1，S2，S4 成等比数列，(a1a2)2 a1(a1 a2a3a4)，即(2a11)2 a1(4a1 6)，1解得 a1，选 D23、(2014 年高考新课标2卷文5)等差数列的公差为2，若，成等比数列，则ana2a4a8an的前 n 项 Sn（nn1nn1A.n n 1B.n n 1C.D.223、解：等差数列an的公差为2，且 a2，a4，a8 成等比数列，a42 a2 a8，即(a1 6)2(a12)(a14)，解得 a12，则 an2n，选 A14、(2014 年高考全国卷 文 8).设等比数列 an 的前 n 项和为 Sn，若 S23，S415，则 S6（）A31B32C63D64专业资料值得拥有WORD 格式整理4、解：由等比数列 an 的前 n 项和 Sn 的性质得：S2，S4 S2，S6 S4 成等比数列，2即 3，12，S6 15 成等比数列，12 3(S6 15)，解得：S6 63，选 C5、(2014 年高考辽宁卷文 9).设等差数列 an 的公差为 d，若数列 2 a1an 为递减数列，则（D）Ad 0 B d 0CDa1d 06、(2014 年高考江苏卷文 7)在各项均为正数的等比数列 an 中,a 2 1,a8a 62a4,则 a6 的值是.7、(2014 年高考江西卷文 13)在等差数列an中，a1 7，公差为 d，前 n 项和为 Sn，当且仅当 n8时 Sn 取最大值，则 d 的取值范围 _.7、解：因为 a170，当且仅当 n8 时 Sn 取最大值，可知 d0 且同时满足a877d077a80,a90，解得1 d，答案 1 da978d0888、(2014 年高考广东卷文 13).等比数列an的各项均为正数，且 a1a54，则log 2 a1+log 2 a2+log 2 a3+log 2 a4+log 2 a5=_.答案:5山水是一部书，枝枝叶叶的文字间，声声鸟鸣是抑扬顿挫的标点，在茂密纵提示:设 Slogalogalogalogaloga,2122232425则 Slogalogalogalogaloga,25242322215log 2(a1a5)5log 2 410,5.深间，一条曲径，是整部书最芬芳的禅意。春风翻一页，桃花面，杏花眼，柳腰春细；夏阳读一页，蔷花满架，木槿锦绣、合欢幽香、蜀葵闲澹，一派峥嵘；秋风传一页，海棠妆欢，野菊淡姿，高远深邃；冬雪润一页，水仙临水一舞，腊梅素心磬口，向爱唱晚。专业资料值得拥有WORD 格式整理专业资料值得拥有