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七中嘉祥高二下零诊模拟数学理(理科)七中嘉祥高二下零诊模拟数学试卷（理科）（时间120分钟 满分150分） 命题人：郑江 审题人：龚永红 一、选择题：（每小题5分，共60分）1、已知集合若则的子集个数为（）A5 B4 C3 D22、若某市8所中学参加中学生合唱比赛的得分用茎叶图表示（如图），其中茎为十位数，叶为个位数，则这组数据的中位数和平均数分别是（）A91；91.5 B91；92 C91.5 ； 91.5 D91.5；923、设等差数列的前项和为已知当取得最小值时，（）A5 B6 C7 D84、已知函数则函数的大致图象为（） A B C D5、已知双曲线的左、右焦点与虚轴的一个端点构成一个角为的三角形，则双曲线的离心率为（）A B C D6、已知函数在上是减函数，恒成立，则是的（）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件7、已知两条不同的直线和两个不同的平面，以下四个命题：若且，则若且，则若且，则若且，则其中正确命题的个数是（）A4 B3 C2 D18、执行如图所示的程序框图，若输出的则输入的整数的最大值是（）A18 B50 C78 D3069、函数的的图象可由的图象作如下哪种变换得到（ ）A向左平移个单位 B向右平移个单位 C向左平移个单位 D向右平移个单位10、设是的重心，分别是角A、B、C的对边，若则角（）A B C D 11、设关于的不等式组表示的平面区域内存在点满足则实数的取值范围是（）A B C D 12、已知且则的取值范围（）A B C D二、填空题：（每小题5分，共20分）13、对于一个底边在轴上的正三角形ABC，边长AB=2，采用斜二测画法作出其直观图，则直观图的面积为 14、在三棱锥内任取一点，使得的概率是 15、若则 16、定义一个对应法则现有点与点是线段上一动点，按定义的对应法则当点在线段上从点开始运动到点结束时，点的对应点所经过的路线长度为 三、解答题（17、18、19、20、21各12分，22题10分）17、成都市为增强市民的环保意识，面向全市征召义务宣传志愿者.现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示.（1）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参广场的宣传活动，应从第3，4， 5组各抽取多少名志愿者？（2）在（1）的条件下，决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率.18、已知数列的各项均为正数,为其前项的和,且对于任意的,都有（1）求证:数列为等差数列;（2）若对于任意的恒成立,求实数的最大值.19、在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为A1D1和CC1的中点（1）求异面直线EF与AB所成的角的余弦值；（2）求经过点A,D,E,F的球的表面积；（3）在棱BB1上是否存在一点P，使得二面角PACB的大小为30？若存在，求出BP的长；若不存在，请说明理由20、已知抛物线的顶点为原点，其焦点到直线的距离为.（1）求抛物线的方程；（2）已知是抛物线上的两点，过两点分别作抛物线的切线，两条切线的交点为，设线段的中点为，证明：存在，使得（3）在（2）的条件下，若抛物线的切线与轴交于点，直线两点的连线过点，试求面积的最小值.21、已知函数是奇函数，的定义域为当时，这里，e为自然对数的底数(1)若函数在区间上存在极值点，求实数的取值范围；(2)如果当x1时，不等式恒成立，求实数的取值范围；(3)试判断 与的大小关系，这里,并加以证明22、在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（为参数），直线l经过点P（1，1），倾斜角，（1）写出直线l的参数方程；（2）设l与圆圆C相交与两点A，B，求点P到A，B两点的距离之积七中嘉祥高二下零诊模拟数学试卷答案一、选择题：（每小题5分，共60分）1、已知集合若则的子集个数为（）A5 B4 C3 D2【解答】解：P=2，3，4，5，6，Q=3，5，7，M=PQ=3，5，则M的子集个数为22=4故选：B2、若某市8所中学参加中学生合唱比赛的得分用茎叶图表示（如图），其中茎为十位数，叶为个位数，则这组数据的中位数和平均数分别是（）A91；91.5 B91；92 C91.5 ； 91.5 D91.5；92【解答】解：把茎叶图中的数据按大小顺序排列，如下；87、88、90、91、92、93、94、97；这组数据的中位数为=91.5，平均数是（87+88+90+91+92+93+94+97）=91.5故选：C3、设等差数列的前项和为已知当取得最小值时，（）A5 B6 C7 D8【解答】解：等差数列an中，a1=9，a2+a8=2a1+8d=18+8d=2，解得d=2，所以，Sn=9n+=n210n=（n5）225，故当n=5时，Sn取得最小值，故选：A4、已知函数则函数的大致图象为（） A B C D【解答】解：f（x）=x2+2=f（x），g（x）=log2|x|=g（x），F（x）=f（x）g（x）=f（x）g（x）=F（x），函数F（x）为偶函数，其图象关于y轴对称，当x+时，f（x），g（x）+，当x+时，F（x），故选：B5、已知双曲线的左、右焦点与虚轴的一个端点构成一个角为的三角形，则双曲线的离心率为（）A B C D【解答】解：双曲线，可得虚轴的一个端点M（0，b），F1（c，0），F2（c，0），设F1MF2=120，得c=b，平方得c2=3b2=3（c2a2），可得3a2=2c2，即c=a，得离心率e=故选：B6、已知函数在上是减函数，恒成立，则是的（）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件【解答】解：p：函数f（x）=（xa）2在（，1）上是减函数，1a，p：a1q：x0，=x+=2，当且仅当x=1时取等号，a2则p是q的充分不必要条件故选：A7、已知两条不同的直线和两个不同的平面，以下四个命题：若且，则若且，则若且，则若且，则其中正确命题的个数是（）A4 B3 C2 D1【解答】解：由两条不同的直线m，n和两个不同的平面，知：在中，若m，n，且，则m与n平行或异面，故错误；在中，若m，n，且，则由直线与平面垂直的性质得mn，故正确；在中，若m，n，且，则m与n相交、平行或异面，故错误；在中，若m，n，且，则由面面垂直和线面垂直的性质得mn，故正确故选：C8、执行如图所示的程序框图，若输出的则输入的整数的最大值是（）A18 B50 C78 D306【解答】解：模拟执行程序，可得n=1，S=0S=2，n=2不满足条件SK，S=6，n=3不满足条件SK，S=2，n=4不满足条件SK，S=18，n=5不满足条件SK，S=14，n=6不满足条件SK，S=78，n=7由题意，此时满足条件78K，退出循环，输出n的值为7则输入的整数K的最大值是78故选：C9、函数的最小正周期是（ ）A B C D 【答案】B10、设是的重心，分别是角A、B、C的对边，若则角（）A B C D 【解答】解：G是ABC的重心，可得又，移项化简，得由平面向量基本定理，得，可得a=b=c，设c=，可得a=b=1，由余弦定理得cosA=，A为三角形的内角，得0A180，A=30故选：D11、设关于的不等式组表示的平面区域内存在点满足则实数的取值范围是（）A B C D 【解答】解：作出不等式组对应的平面如图：交点B坐标为（m，m），（m0）直线x2y=2的斜率为，斜截式方程为，由|3x4y12|=5得=1，设d=，则d的几何意义是区域内的点到直线3x4y12=0的距离等于1，设到直线3x4y12=0的距离等于1的直线为3x4y+c=0，则=1，得c=7或c=17要使平面区域内存在点P（x0，y0）满足|3x4y12|=5，则点B（m，m）必在直线3x4y7=0的下方，即3m+4m70，解得m1故m的取值范围是：1，+）故选：A12、已知且则的取值范围（）A B C D【解答】解：由a+2b=1得，；b1；a1；将带入得：；设，整理成关于a的方程为：（2+m）a2（1+m）a+1=0，该方程在（，1）上有解；若m=2，a=1，不符合a1；m2；方程为关于a的一元二次方程，在（，1）上有解；设f（a）=（2+m）a2（1+m）a+1，则a应满足：f（1）=2m+40（1），或（2），或（3）；解（1）得，m2，解（2）得，或，解（3）得，；又m0；m；由a+2b=1得，；a1，b1；一定有成立，及m3；m一定满足；即；只有选项A正确故选：A二、填空题：（每小题5分，共20分）13、对于一个底边在轴上的正三角形ABC，边长AB=2，采用斜二测画法作出其直观图，则其直观的面积为 14、在三棱锥内任取一点，使得的概率是【解答】解：作出S在底面ABC的射影为O，若VPABC=VSABC，则高OP=SO，即此时P在三棱锥VSABC的中垂面DEF上，则VPABCVSABC的点P位于小三棱锥VSEDF内，则对应的概率P=（）3=，故答案为：15、若则【解答】解：=由二倍角的余弦可得，=故答案为：16、定义一个对应法则现有点与点是线段上一动点，按定义的对应法则当点在线段上从点开始运动到点结束时，点的对应点所经过的路线长度为【解答】解：由题意知AB的方程为：x+y=8，设M（x，y），则M（x2，y2），从而有x2+y2=8，易知 A（2，6）A（），B（6，2）B（），不难得出AOX=，BOX=，则AOB=，点M的对应点M所经过的路线长度为；故答案为三、解答题17、18、成都市为增强市民的环保意识，面向全市征召义务宣传志愿者.现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示.（）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参广场的宣传活动，应从第3，4， 5组各抽取多少名志愿者？（）在（）的条件下，决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率.解：(1) 第3组的人数为0.3100=30, 第4组的人数为0.2100=20, 第5组的人数为0.1100=10. 3分因为第3,4,5组共有60名志愿者,所以利用分层抽样的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者,每组抽取的人数分别为:第3组:6=3; 第4组:6=2; 第5组:6=1.所以应从第3,4,5组中分别抽取3人,2人,1人. 6分(2)记第3组的3名志愿者为A1,A2,A3,第4组的2名志愿者为B1,B2,第5组的1名志愿者为C1.则从6名志愿者中抽取2名志愿者有:(A1,A2),(A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A1,C1),(A2,A3),(A2,B1),( A2,B2),(A2,C1),(A3,B1),(A3,B2),(A3,C1),(B1,B2),(B1,C1),(B2,C1),共有15种. 8分其中第4组的2名志愿者B1,B2至少有一名志愿者被抽中的有:(A1,B1), (A1,B2), (A2,B1), (A2,B2), (A3,B1), (A3, B2), (B1,B2), (B1,C1), (B2,C1),共有9种,10分所以第4组至少有一名志愿者被抽中的概率为12分19、在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为A1D1和CC1的中点（1）求异面直线EF与AB所成的角的余弦值；（2）求经过点A,D,E,F的球的表面积；（3）在棱BB1上是否存在一点P，使得二面角PACB的大小为30？若存在，求出BP的长；若不存在，请说明理由解：如图分别以DA、DC、DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Dxyz，由已知得D（0，0，0）、A（2，0，0）、B（2，2，0）、C（0，2，0）、B1（2，2，2）、D1（0，0，2）、E（1，0，2）、F（0，2，1）（1）=（0，2，0）又=（1，2，1）=异面直线所成角的余弦值为：（2）由题意知：经过点A,D,E,F的球的半径为球的表面积为（3）假设满足条件的点P存在，可设点P（2，2，t），（0t2），=（0，2，t），=（2，2，0）平面ACP的一个法向量为则取=（1，1，），易知平面ABC的一个法向量=（0，0，2）依题意知|cos|=解得t=（0，2）在棱BB1上存在一点P，当BP的长为时，二面角PACB的大小为3020、在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（为参数），直线l经过点P（1，1），倾斜角，（1）写出直线l的参数方程；（2）设l与圆圆C相交与两点A，B，求点P到A，B两点的距离之积解答：解：（1）直线l的参数方程为 ，即 （5分）（2）圆C的参数方程化为普通方程为x2+y2=4，把直线代入 x2+y2=4，可得 ，t1t2=2，则点P到A，B 两点的距离之积为2 （10分）21、（1）由题，抛物线的方程为，则，解得，所以抛物线的方程为（2）设，由，则，得直线，两式做差得：又因为都在抛物线上，故，代入上式得：，即的横坐标为，又的横坐标为，所以轴，故与共线.所以存在，使得（3）设，则切线的方程为，可得.直线，由令，则，令得，当时，当时，所以当时，单调递减；当时，单调递增.故故面积的最小值为22、已知函数是奇函数，的定义域为当时，这里，e为自然对数的底数(1)若函数在区间上存在极值点，求实数的取值范围；(2)如果当x1时，不等式恒成立，求实数的取值范围；(3)试判断 与的大小关系，这里,并加以证明解：x0时， 2分（1）当x0时，有；所以在（0，1）上单调递增，在上单调递减，函数在处取得唯一的极值由题意，且，解得所求实数的取值范围为 4分（2）当时， 令，由题意，在上恒成立 令，则，当且仅当时取等号 所以在上单调递增，6分 因此， 在上单调递增， 所以所求实数的取值范围为 8分（3）(方法一)由（2），当时，即，即 从而.10分令，得 ， 将以上不等式两端分别相加，得 14分（方法二）时， 猜想对一切成立。欲证对一切成立，只需证明 而，