2007年重庆高考数学(理科)试题答案.pdf

绝密启用前 解密时间：2008 年 6 月 7 日 17：00【考试时间：6 月 7 日 15：0017：00】2007 年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷)数学试题卷（理工农医类）一、选择题：（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）（1）若等差数列的前三项和且，则等于（）na93S11a2a A3 B.4 C.5 D.6（2）命题“若，则”的逆否命题是（）12x11xA若，则或 B.若，则12x1x1x11x12xC.若或，则 D.若或，则1x1x12x1x1x12x（3）若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成（）A5 部分 B.6 部分 C.7 部分 D.8 部分（4）若展开式的二项式系数之和为 64，则展开式的常数项为（）nxx)1(A.10 B.20 C.30 D.120（5）在中，则 BC=（）ABC,75,45,300CAABA.B.C.2 D.33233（6）从 5 张 100 元，3 张 200 元，2 张 300 元的奥运预赛门票中任取 3 张，则所 取 3 张中至少有 2 张价格相同的概率为（）A B C D4112079432423（7）若 a 是 1+2b 与 1-2b 的等比中项，则的最大值为（）|2|2baabA.B.C.D.1552425522（8）设正数 a,b 满足,则（）4)(22limbaxxxnnnnnbaaba2111limA0 B C D14121DDC CB BA A（9）已知定义域为 R 的函数 f(x)在上为减函数，且函数 y=f(x+8)函数),8(为偶函数，则（）A.f(6)f(7)B.f(6)f(9)C.f(7)f(9)D.f(7)f(10)（10）如图，在四边形 ABCD 中，|4,0,ABBDDCAB BDBD DC，则的值为（4|DCBDBDABACDCAB)(）A.2 B.C.4 D.2224二、填空题：本大题共 6 小题，共 24 分，把答案填写在答题卡相应位置上（11）复数的虚部为_.322ii（12）已知 x,y 满足，则函数 z=x+3y 的最大值是_.1421xyxyx（13）若函数 f(x)=的定义域为 R，则的取值范围为_.2221xax aa（14）设为公比 q1 的等比数列，若和是方程的两na2004a2005a24830 xx根，则_.20072006aa（15）某校要求每位学生从 7 门课程中选修 4 门，其中甲、乙两门课程不能都选，则不同的选课方案有_种。（以数字作答）（16）过双曲线的右焦点 F 作倾斜角为的直线，交双曲线于422 yx0105P、Q 两点，则|FP|FQ|的值为_.三、解答题：本大题共小题，共 76 分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17）(本小题满分 13 分)设 f(x)=xx2sin3cos62（1）求 f(x)的最大值及最小正周期；(9 分)（2）若锐角满足，求 tan的值。(4 分)323)(f54（18）(本小题满分 13 分)某单位有三辆汽车参加某种事故保险，单位年初向保险公司缴纳每辆 900 元的保险金.对在一年内发生此种事故的每辆汽车，单位获 9000 元的赔偿（假设每辆车最多只赔偿一次）。设这三辆车在一年内发生此种事故的概率分别为且各车是否发生事故相互独立,111,9 10 11求一年内该单位在此保险中：（1）获赔的概率；(4 分)（2）获赔金额的分别列与期望。(9 分)（19）(本小题满分 13 分)如图，在直三棱柱 ABC中，AB=1,111CBA12,AA；点 D、E 分别在上，且，四棱锥090ABCD、ABB11DAEB11与直三棱柱的体积之比为 3：5。1ABDAC（1）求异面直线 DE 与的距离；(8 分)11CB（2）若 BC=，求二面角的平面角的正切值。(5 分)2111BDCA，（20）(本小题满分 13 分)已知函数(x0)在 x=1 处取得极值3-a，其中 a,bcbxxaxxf44ln)(A B C D E 1A 1C 1B 为常数。（1）试确定 a,b 的值；(6 分)（2）讨论函数 f(x)的单调区间；(4 分)（3）若对任意 x0，不等式恒成立，求 c 的取值范围。(3 分)22)(cxf(21)(本小题满分 12 分)已知各项均为正数的数列的前 n 项和满足，na11S 且*),2)(1(6NnaaSnnn（1）求的通项公式；(5 分)na（2）设数列满足，并记为的前 n 项和，求证：nb1)12(nbnanTnb.(7 分)*2),3(log13NnaTnn(22)(本小题满分 12 分)如图，中心在原点 O 的椭圆的右焦点为 F（3，0），右准线 l 的方程为：x=12。（1）求椭圆的方程；(4 分)（2）在椭圆上任取三个不同点，使，321,PPP133221FPPFPPFPP 证明:为定值，并求此定值。(8 分)|1|1|1321FPFPFP X O F Y 2P 1P 3P l c cb ba a2007 年普通高等学校招生考试（重庆卷）数学参考答案（理工科）1A【分析】：由可得3133339Sadd2.d 213.aad2D【分析】：其逆否命题是：若或，则。1x1x12x3C【分析】：可用三线表示三个平面，如图，将空间分成 7 个部,a b c分。4B【分析】：66 21662646.nrrrrrrnTC xxC x (3 题解题图)346620320.rrTC5A【分析】：由正弦定理得：003,45,75,ABACQ 3,sinsinsin45sin75624acBCABACoo33.BC6C.【分析】：可从对立面考虑，即三张价格均不相同，11153231031.4C C CPC 7.B【分析】：a 是 1+2b 与 1-2b 的等比中项，则22221 4414|.ababab 1|.4ab2224(|2|)4|1.abababQ 2222|4()|2|14|14|14|abababababababab 2244411()(2)4|ababab11|4,4|ababQ 242max.|2|324ababDDC CB BA A8B.【分析】：221()44242.2limxaxaxbababb Q 11111()()122.11 124()2()22limlimlimnnnnnnnnnnnaaaaaabbbaaba ba9D.【分析】：y=f(x+8)为偶函数，即关于直(8)(8).f xfx()yf x线对称。又 f(x)在上为减函数，故在上为增函数，检验知8x),8(,8)选 D。10 C【分析】：2()()()(|).ABDCACABDCABBDDCABDCuuu ruuu ruuu ruuu ruuu r|4,|2.|(|)4,ABBDDCABDCBDABDCuuu ruuu rQ ()4.ABDCAC11.【分析】：453222(2)2424.225555iiiiiiii 12.7【分析】：画出可行域，当直线过点（1，2）时，max1 67.z 13【分析】：恒成立，10，220212xax a 恒成立，220 xaxa2(2)40(1)010.aaa aa 14.18【分析】：和是方程的两根，故有：2004aQ2005a24830 xx 或（舍）。200420051232aa200420053212aa3.q （12 题解题222006200720053()(33)18.2aaaqq图）15 25【分析】：所有的选法数为，两门都选的方法为。47C2225C C 故共有选法数为42272535 1025.CC C16【分析】：8 33(2 2,0),FQ0tan105(23).k :(23)(2 2).lyx 代入得：422 yx2(64 3)4 2(74 3)6032 30.xx 设112212124 2(74 3)6032 3(,),(,).,.64 364 3P x yQ xyxxxx 又2212|1|2 2|,|1|2 2|,FPkxFQkx 21212|(1)|2 2()8|6032 316(74 3)(84 3)|8|64 364 3(84 3)(4)8 3.364 3FPFQkx xxx三、解答题：17、解：（）xxxf2sin322cos16)(32sin32cos3xx3)2sin212cos23(32xx3)62cos(32x故的最大值为；最小正周期.)(xf33222T（）由得，故323)(f3233)62cos(32.又由得，故，解1)62cos(20662662得.125从而.33tan54tan18、解：设表示第辆车在一年内发生此种事故，.kAk3,2,1k 由题意知独立，且.321,AAA111)(,101)(,91)(321APAPAP（）该单位一年内获赔的概率为 .1131110109981)()()(1)(1321321APAPAPAAAP（）的所有可能值为.27000,18000,9000,0,118111010998)()()()()0(321321APAPAPAAAPP)()()()9000(321321321AAAPAAAPAAAPP )()()()()()()()()(321321321APAPAPAPAPAPAPAPAP ，111109981110101981110109914511990242)()()()18000(321321321AAAPAAAPAAAPP)()()()()()()()()(321321321APAPAPAPAPAPAPAPAP，1111019811110991111010191110399027.)()()()()27000(321321APAPAPAAAPP990111110191综上知，的分布列为090001800027000P118451111039901求的期望有两种解法：解法一：由的分布列得（元）99012700011031800045119000118018.27181129900解法二：设表示第辆车一年内的获赔金额，kk3,2,1k则有分布列1109000P9891故.10009190001同理得.18.8181119000,900101900032综上有（元）.18.271818.8189001000321B1FCEDA1C1CBA19、解法一：（）因，且，故面 A1ABB1，从而1111BACB111BBCB11CBB1C1B1E，又 B1EDE，故 B1E 是异面直线 B1C1与 DE 的公垂线.设 BD 的长度为，则四棱椎的体积为x1ABDAC 1V.BCxBCABAADBBCSVABDA)2(61)(6131111而直三棱柱的体积为 111CBAABC 2V.BCAABCABAASVABC11221由已知条件，故，解得.5:3:21VV53)2(61x58x从而 B1D.又直角三角形中，525821DBBBDBA11又因.529)52(12212111DBBADADBBAEBDASDBA11111212111故.2929211111DADBBAEB（）如右图，过 B1作 B1FC1D，垂足为 F，连接 A1F.因A1B1B1C1，A1B1B1D，故 A1B1面 B1DC1，由三垂线定理知 C1DA1F，故A1FB1为所求二面角的平面角.在直角中，DBC11563)52(22212111DBCBDC又因，故，DBCBFBDCSDBC1111121211193211111DCDBCBFB所以.233tan11111FBBAFBA20、解：（）由题意知，因此，从而.又对cf3)1(ccb33b求导得.)(xf)4ln4(41ln4)(3343/baxaxbxxaxxaxxf由题意，因此，解得.0)1(/f04 ba12a（）由（）知.令，解得.)0(ln48)(3/xxxxf0)(/xf1x 当时，此时为减函数；当时，此时10 x0)(/xf)(xf1x0)(xf为增函数.因此的单调递减区间为，而的单调递增区间为)(xf)(xf)1,0()(xf.),1(（）由（）知，在处取得极小值，此极小值也是最)(xf1xcf3)1(小值.要使恒成立，只需.)0(2)(2xcxf223cc即，从而.解得或.0322cc0)1)(32(cc23c1c所以 的取值范围为c),23 1,(U21、（）解：由，解得或.由假设)2)(1(611111aaSa11a21a，因此.111 Sa21a又由，得)2)(1(61)2)(1(611111nnnnnnnaaaaSSa，即或.0)3)(11nnnnaaaa031nnaannaa1因，故不成立，舍去.因此，0nannaa131nnaa从而是公差为 3，首项为 2 的等差数列，故的通项为.nana13 nan（）证法一：由可解得1)12(nbna133log)11(log22nnabnn从而.)1335623(log2215nnbbbTnnLL因此.232)1335623(log)3(log13322nnnaTnnL令，则232)1335623()(3nnnnfL .233)23)(53()33()2333(5323)()1(nnnnnnnnfnf因，故.079)23)(53()33(23nnnn)()1(nfnf特别地，从而，12027)1()(fnf0)(log)3(log1322nfaTnn即.)3(log132nnaT证法二：同证法一求得及.由二项式定理知，当时，不等式nbnT0cAQ1yxlOFP3P2P1成立.由此不等式有cc31)1(33332)1311()511()211(2log13nTnL.)3(log)23(log)132358252(log)1311()531)(231(2log2222nannnnLL证法三：同证法一求得及.nbnT 令.13237845,3136734,1335623nnCnnBnnAnnnLLL因，因此.1323313133nnnnnn2233nCBAAnnnn从而 )3(log)23(log2log2log)1335623(2log132223232nnnnnnanCBAAnnTL 证法四：同证法一求得及.nbnT下面用数学归纳法证明：.)3(log132nnaT当时，因此，结论成1n5log)3(log,427log1321221aT)3(log132nnaT立.假设结论当时成立，即，则当时，kn)3(log132kkaT1 kn)3(log313)3(log13121121kkkkkabTaT2321122)23)(53()33(log3)3(log)3(logkkkbaakkk因，故.079)23)(53()33(23kkkk0)23)(53()33(log232kkk从而.这就是说当时结论也成立.)3(log13121knaT1 kn综上对任何成立.)3(log132nnaT Nn22、解：（）设椭圆方程为.因焦点为，故半焦距.又12222byax)0,3(F3c右准线l的方程为，从而由已知cax2，因此.36,1222aca3327,622caba故所求椭圆方程为.1273622yx（）记椭圆的右顶点为 A，并设，不失一般性，假设)3,2,1(iAFPii，且.320134,321312又设在l上的射影为，因椭圆的离心率，iPiQ21ace从而有.)3,2,1()cos|9(21)cos|(|2iFPeFPccaeQPFPiiiiiii解得.因此)3,2,1()cos211(92|1iFPii，)34cos()32cos(cos21392|1|1|1111321FPFPFP而，0cos23cos21cos23cos21cos)34cos()32cos(cos11111111故为定值.32|1|1|1321FPFPFP