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一次函数、反比例函数和二次函数

　　一、重要考点：

　　1.会画一次函数、二次函数、反比例函数的图象；
　　2.掌握一次函数、二次函数、反比例函数的性质；
　　3.能根据条件确定函数的解析式；
　　4.能用函数解决实际问题。
　　二.重点提示：

　　1．一次函数
定义
　　如果y=kx+b(k，b为常数，k≠0) 那么y叫做x的一次函数
　　当b=0时，一次函数y=kx+b变为y=kx(k≠0)，y叫x的正比例函数
图象
k>0
k<0
k>0，b=0
k<0，b=0

　　经过点(0，b)， (-，0)两点的一条直线
　　经过(0，0)、(1，k)两点的直线
性质
　　y随x增大而增大
　　y随x增大而减小
　　图象在一、三象限内y随x增大而增大
　　图象在二、四象限内y随x增大而减小
b决定直线与y轴交点的位置
　　2．二次函数
　　抛物线y=ax2+bx+c (a≠0)位置由a、b、c决定

　　（1）a决定抛物线的开口方向：

　　（2）c决定抛物线与y轴交点的位置
　　（3）a、b决定抛物线对称轴的位置，对称轴x=-
　　 ①a、b同号对称轴在y轴左侧
　　 ②b=0对称轴是y轴
　　 ③a、b异号对称轴在y轴右侧
　　（4）顶点(-，)
　　（5）Δ=b2-4ac决定抛物线与x轴交点情况
　　 ①Δ>0抛物线与x轴有两个不同交点
　　 ②Δ=0抛物线与x轴有一个公共点（相切）
　　 ③Δ<0抛物线与x轴无公共点
　　（6）二次函数的最大最小值由a决定：
　　当a>0时，函数在x=-时，有最小值，y最小=。
　　当a<0时，函数在x=-时，有最大值，y最大=。
　　3.反比例函数

　　（1）反比例函数的图象是双曲线，反比例函数图象的两个分支关于原点对称．
　　（2）当k>0时，反比例函数图象的两个分支分别在第一、三象限内．且在每个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，图象的两个分支分别在第二、四象限内，且在每个象限内，y随x的增大而增大．
　　注意：不能说成“当k＞0时，反比例函数y随x的增大而减小，当k＜0时，反比例函数y随x的增大而增大。”因为，当x由负数经过0变为正数时，上述说法不成立。
　　(3) 反比例函数解析式的确定：反比例函数的解析式y=(k≠0)中只有一个待定系数k，因而只要有一组x、y的对应值或函数图象上一点的坐标，代入函数解析式求得k的值，就可得到反比例函数解析式。
　　二、考题精选
　　1．(南京)如图，E、F分别是边长为4的正方形ABCD的边BC、CD上的点，CE=1，CF=，直线FE交AB的延长线于G。过线段FG上的一个动点H作HM⊥AG，HN⊥AD，垂足分别为M、N。设HM=x，矩形AMHN的面积为y。
　　（1）求y与x之间的函数关系式；
　　（2）求x为何值时，矩形AMHN的面积最大，最大面积是多少？
　　解：（1）∵正方形ABCD的边长为4，CE=1，CF=，∴CF//AG，BE=3，
　　∴ ， ∴BG=4，
　　∵ HM⊥AG，CB⊥AG，∴HM//BE，∴ ， ∴MG=x。
　　∴ y=x(4+4-x)=-x2+8x。
　　(2)∵y=-x2+8x=-(x-3)2+12。
　　∴当x=3时，y最大，最大面积是12。
　　解题点拨：
　　（1）．要写出y关于x的函数关系式，就要在图形中寻找对应关系，把对应关系中的量分别用y、x或已知量来替换，就可以找到y与x的关系式。
　　（2）．这类题目，注意自变量x的取值范围。
　　2．（ 北京东城区）已知：如图一次函数的图象经过第一、二、三象限，且与反比例函数的图象交于A、B两点，与y轴交于点C，与x轴交于点D。OB=，tan∠DOB=。
　　（1）求反比例函数的解析式；
　　（2）设点A的横坐标为m，△ABO的面积为S，求S与m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；
　　（3）当△OCD的面积等于时，试判断过A、B两点的抛物线在x轴上截得的线段长能否等于3。如果能，求此时抛物线的解析式；如果不能，请说明理由。
　　解：（1）过点B作BH⊥x轴于点H。
　　在Rt△OHB中，
　　∵tan∠HOB=，
　　∴HO=3BH。
　　由勾股定理，得BH2+HO2=OB2。
　　又∵OB=，

　　∴BH2+(3BH)2=()2。
　　∵BH＞0，
　　∴BH=1，HO=3。
　　点B（-3，-1）。
　　设反比例函数的解析式为 y=（k1≠0）。
　　∵点B在反比例函数的图象上，
　　∴k1=3。
　　∴反比例函数的解析式为：y=。
　　（2）设直线AB的解析式为y=k2x+b（k2≠0）。
　　由点A在第一象限，得m＞0。
　　又由点A在函数y=的图象上，可求得点A的纵坐标为。
　　∵点B（-3，-1），点A（m，），
　　∴ 　解关于k2、b的方程组，得
　　∴直线AB的解析式为y=。
　　令y=0，求得点D的横坐标为x=m-3。
　　过点D的横坐标为x=m-3。　过点A作AC⊥x轴于点G。
　　S=S△BDO+ S△ADO
　　 =DO·BH+DO·GA
　　 =DO（BH+GA）
　　 =|m-3|（1+||）。
　　由已知，直线经过第一、二、三象限，
　　∴b＞0，即＞0。
　　∵m＞0，∴3-m＞0。
　　由此得：0＜m＜3。
　　∴S=(3-m)(1+)。
　　即S=（0＜m＜3）。
　　（3）过A、B两点的抛物线在x轴上截得的线段长不能等于3。
　　证明如下：
　　S△OCD=DO·OC=|m-3|·||=。

　　由S△OCD=，得=·。

　　解得m1=1，m2=3。
　　经检验，m1=1，m2=3都是这个方程的根。
　　∵0＜m＜3，
　　∴m=3不合题意，舍去。
　　∴点A（1，3）。
　　设过A（1，3）、B（-1，-3）两点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0）。
　　∴　由此得
　　即y=ax2+（1+2a）x+2-3a。
　　设抛物线与x轴两交点的横坐标为x1、x2。
　　则x1+x2=-　x1·x2=
　　令|x1-x2|=3。
　　则(x1+x2)2-4x1x2=9。
　　即 (-)2-4·=9。
　　整理，得　7a2-4a+1=0。
　　∵△=(-4)2-4×7×1=-12＜0，
　　∴方程7a2-4a+1=0无实根。
　　因此过A、B两点的抛物线在x轴上截得的线段长不能等于3。
　　3、（北京西城区）（本题9分）
　　已知：抛物线y=ax2+bx+c过点A（-1，4），其顶点的横坐标是，与x轴分别交于B（x1，0），C（x2，0）两点(其中x1＜x2)，且x12+x22=13。
　　（1）求此抛物线的解析式及其顶点E的坐标；
　　（2）设此抛物线与y轴交于点D，点M是抛物线上的点，若△MBO的面积为△DOC面积的倍，求点M的坐标。
　　解：（１）∵抛物线y=ax2+bx+c过点A（-1，4），
　　∴a-b+c=4，即c=4-a+b。 ①

　　∵抛物线顶点的横坐标是
　　∴ 　即b=-a。 ②
　　∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴分别交于B（x1，0），C(x2，0)两点（其中x1<x2），
　　∴x1，x2是方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的两个实根。

　　∵x1+x2=，x1x2=
　　由已知x12+x22=13，
　　∵（x1+x2)2-2x1x2=x12+x22
　　∴()2-=13。　　 ③
　　由①②③解得

　　经检验，a、b、c的值使△＞0，符合题意。
　　∴抛物线的解析式为y=-x2+x+6。
　　∵当x=时，y=，
　　∴抛物线y=-x2+x+6的顶点E的坐标为（）。
　　(2)由(1)得y=-x2+x+6，（如图，画草图帮自己分析）
　　令x=0， ∴y=6，得D（0，6）。
　　令y=0， ∴-x2+x+6=0，
　　解得：x1=-2， x2=3。
　　∴B(-2，0)， C(3，0)。
　　设点M的坐标为（x，y），则点M到x轴的距离为│yM│。
　　∵Ｓ△MBO=S△DOC，
　　∴ ·BO·│yM│=×·OC·OD
　　∴
　　得│yM│=6，
　　∴yM=±6。
　　因为抛物线y=-x2+x+6开口向下，顶点Ｅ的坐标为（），对称轴是直线x=
　　若yM=6， 因为6<，有-x2+x+6=6，
　　解得x1=0， x2=1。
　　∴点M的坐标是（0，6）或（1，6）。
　　若yM=-6，　则-x2+x+6=-6，
　　解得x3=-3，x4=4。
　　∴点M的坐标是（－3，－6）或（4，－6）。
　　答：所求点M的坐标分别是（0，6），（1，6）（-3，-6），（4，-6）。
　　四.实战练习
　　1．（山西）在函数y=中，自变量x的取值范围是___________。
　　答案：x≥-1且x≠2
　　2．（天津）抛物线y=x2-6x+4的顶点坐标为____________。
　　答案： (3，-5)
　　3．（天津）若点A(m，n)在第二象限，则点B(|m|，-n)在：
　　A、第一象限　　　B、第二象限　　　C、第三象限　　　D、第四象限
　　答案：D
　　4．（天津）函数y=的自变量x的取值范围是：
　　A、全体实数　　　B、x≠0　　　C、x>0　　　D、x≥0
　　答案：B
　　5．（山西）将二次函数y=x2+x-1化成y=a(x+m)2+n的形式是（　　 ）
　　A、y=(x+2)2-2　　　B、y=(x+2)2+2
　　C、y=(x-2)2-2　　　D、y=(x-2)2+2
　　答案：A
　　6．平面直角坐标系中，反比例函数y=的图象只可能是（ 　）

　　答案：B
　　7．图象经过点（0，-1）、点（2，3）的一次函数解析式是（　 ）
　　A、y=-2x+1　　 B、y=-2x-1　　 C、y=x-1　　 D、y=2x-1

　　答案：D
　　8．（天津）（本题8分）
　　已知：在RtΔABC中，∠B=90°，BC=4cm， AB=8cm，D、E、F分别为AB、AC、BC边上的中点。若P为AB边上的一个动点，PQ//BC，且交AC于点Q，以PQ为一边，在点A的异侧作正方形PQMN，记正方形PQMN与矩形EDBF的公共部分的面积为y。
　　（1）如图，当AP=3cm时，求y的值；
　　（2）设AP=xcm， 试用含x的代数式表示y(cm2)；
　　（3）当y=2cm2时，试确定点P的位置。
　　答案：本题满分8分
　　解（1）∵ PQ//BC，　∴ =，
　　∵BC=4，AB=8，AP=3，
　　∴ PQ= 　　　　1分
　　∵ D为AB的中点，
　　∴ AD=AB=4，PD=AD-AP=1
　　∵ PQMN为正方形，DN=PN-PD=PQ-PD=，
　　∴ y=MN·DN=×=(cm2)。　　　2分
　　（2）∵AP=x， 由=得：PQ=x=PN

　　∴ AN=AP+PN=x。
　　当AN<AD时，有0≤x<时，y=0；

　　当AP<AD<AN时，有≤x<4时，y=(x-4)=x2-2x；

　　当AD≤AP且AN<AB时，有4≤x<时，y=2×x=x；

　　当AP≤AB<AN时，有≤x≤8时，y=2(8-x)=-2x+16。　　　6分
　　（3）将y=2代入y=-2x+16(≤x≤8)时，得x=7，
　　即P点距A点7cm；

　　将y=2代入y=x2-2x(≤x<4)时，得x=，

　　即P点距A点cm。