专题一------第2讲函数.doc
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1、专题一-第2讲函数专题一第2讲函数、基本初等函数的图象与性质【高考考情解读】1.高考对函数的三要素,函数的表示方法等内容的考查以基础知识为主,难度中等偏下.2.函数图象和性质是历年高考的重要内容,也是热点内容,对图象的考查主要有两个方面:一是识图,二是用图,即利用函数的图象,通过数形结合的思想解决问题;对函数性质的考查,则主要是将单调性、奇偶性、周期性等综合一起考查,既有具体函数也有抽象函数常以填空题的形式考查,且常与新定义问题相结合,难度较大1 函数的概念及其表示两个函数只有当它们的三要素完全相同时才表示同一函数,定义域和对应关系相同的两个函数是同一函数2 函数的性质(1)单调性:单调性是函
2、数在其定义域上的局部性质利用定义证明函数的单调性时,规范步骤为取值、作差、判断符号、下结论复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则(2)奇偶性:奇偶性是函数在定义域上的整体性质偶函数的图象关于y轴对称,在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相反的单调性;奇函数的图象关于坐标原点对称,在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相同的单调性(3)周期性:周期性是函数在定义域上的整体性质若函数满足f(ax)f(x)(a不等于0),则其一个周期T|a|.3 指数函数、对数函数和幂函数的图象和性质(1)指数函数yax(a0,a1)与对数函数ylogax(a0,a1)的图象和性质,分0a1两种情况,着重关注两函数图
3、象中的两种情况的公共性质(2)幂函数yx的图象和性质,分幂指数0,0且a1,b0且b1,M0,N0)提醒:logaMlogaNloga(MN),logaMlogaNloga(MN)5 与周期函数有关的结论(1)若f(xa)f(xb)(ab),则f(x)是周期函数,其中一个周期是T|ab|.(2)若f(xa)f(x),则f(x)是周期函数,其中一个周期是T2a.(3)若f(xa)或f(xa),则f(x)是周期函数,其中一个周期是T2a.提醒:若f(xa)f(xb)(ab),则函数f(x)关于直线x对称.考点一函数及其表示例1(1)若函数yf(x)的定义域是0,2,则函数g(x)的定义域是_答案(
4、0,1)解析由函数yf(x)的定义域是0,2得,函数g(x)有意义的条件为02x2且x0,x1,故x(0,1)(2)设函数yf(x)在R上有定义,对于给定的正数M,定义函数fM(x)则称函数fM(x)为f(x)的“孪生函数”若给定函数f(x)2x2,M1,则fM(fM(0)的值为_答案1解析由题意,令f(x)2x21,得x1,因此当x1或x1时,fM(x)2x2;当1xf(2x)的x的取值范围是_答案(1)24(2)(1,1)解析(1)f(log23)f(log233)f(log224)2log22424.(2)当x0时,f(x)x21是增函数;当xf(2x)得,或解之得1x0或0x1.故所求
5、实数x的取值范围是(1,1)考点二函数的性质例2(1)已知函数f(x)x3x,对任意的m2,2,f(mx2)f(x)0,f(x)为增函数又f(x)为奇函数,由f(mx2)f(x)0知,f(mx2)f(x)mx2x,即mxx20,令g(m)mxx2,由m2,2知g(m)0恒成立,即,2x0时,f(x)exa,若f(x)在R上是单调函数,则实数a的最小值是_答案(1)(2)1解析(1)由题意知a0,又logalog2a1log2a.f(x)是R上的偶函数,f(log2a)f(log2a)f(loga)f(log2a)f(loga)2f(1),2f(log2a)2f(1),即f(log2a)f(1)
6、又因f(x)在0,)上递增|log2a|1,1log2a1,a.(2)依题意得f(0)0.当x0时,f(x)e0aa1.若函数f(x)在R上是单调函数,则有a10,a1,因此实数a的最小值是1.考点三函数的图象例3形如y(a0,b0)的函数,因其图象类似于汉字中的“囧”字,故我们把它称为“囧函数”若当a1,b1时的“囧函数”与函数ylg|x|图象的交点个数为n,则n_.答案4解析由题意知,当a1,b1时,y在同一坐标系中画出“囧函数”与函数ylg|x|的图象如图所示,易知它们有4个交点 (1)作图:常用描点法和图象变换法图象变换法常用的有平移变换、伸缩变换和对称变换尤其注意yf(x)与yf(x
7、)、yf(x)、yf(x)、yf(|x|)、y|f(x)|及yaf(x)b的相互关系(2)识图:从图象与轴的交点及左、右、上、下分布范围、变化趋势、对称性等方面找准解析式与图象的对应关系(3)用图:图象形象地显示了函数的性质,因此,函数性质的确定与应用及一些方程、不等式的求解常与图象数形结合研究 (2013课标全国)已知函数f(x)若|f(x)|ax,则a的取值范围是_答案2,0解析函数y|f(x)|的图象如图当a0时,|f(x)|ax显然成立当a0时,只需在x0时,ln(x1)ax成立比较对数函数与一次函数yax的增长速度显然不存在a0使ln(x1)ax在x0上恒成立当a0时,只需在xf(a
8、),则实数a的取值范围是_(2)已知a,b,c,则a、b、c大小关系为_答案(1)(1,0)(1,)(2)acb解析(1)方法一由题意作出yf(x)的图象如图显然当a1或1af(a)方法二对a分类讨论:当a0时,log2aloga,即log2a0,a1.当alog2(a),即log2(a)0,1a0,故1a1.(2)a,b,c5log33,根据yax且a5,知y是增函数又log23.4log331,0log43.6()log30.35log43.6,即acb. (1)指数函数、对数函数、幂函数是中学阶段所学的基本初等函数,是高考的必考内容之一,重点考查图象、性质及其应用,同时考查分类讨论、等价
9、转化等数学思想方法及其运算能力(2)比较指数函数值、对数函数值、幂函数值大小有三种方法:一是根据同类函数的单调性进行比较;二是采用中间值0或1等进行比较;三是将对数式转化为指数式,或将指数式转化为对数式,通过转化进行比较 (1)(2012天津)已知a21.2,b0.8,c2log52,则a,b,c的大小关系为_(2)使log2(x)x1成立的x的取值范围是_答案(1)cba(2)(1,0)解析(1)利用中间值判断大小b0.820.821.2a,c2log52log522log55120.8b,故cba.(2)作出函数ylog2(x)及yx1的图象其中ylog2(x)及ylog2x的图象关于y轴
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