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一次函数知识点及典型例题

哈尔滨市萧红中学 罗威
一次函数知识点
一次函数
一元一次方程
一元一次不等式
二元一次方程
再认识
变化的世界
函数
建立数学模型
图象
性质
应用
一次函数知识网络图

考点一：变量、常量及函数定义
1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。
常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。
2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为是x的函数。

※判断A是否为B的函数，只要看B取值确定的时候，A是否有唯一确定的值与之对应
典型例题：
1、下列函数关系式中不是函数关系式的是（ ）
A. B. C. D.
2、下列各图中表示y是x的函数图像的是 （ ）
x
y
O
A
x
y
O
B
x
y
O
D
x
y
O
C

考点二、自变量取值范围：一般的，一个函数的自变量允许取值的范围。
确定函数自变量取值范围的方法：
（1）必须使关系式成立。
①当关系式为整式时，自变量取值范围为全体实数；
②当关系式含有分式时，自变量取值范围要使分式的分母的值不等于零；
③关系式含有二次根式时，自变量取值范围必须使被开方的式子不小于零；
④当关系式中含有指数为零或负数的式子时，自变量取值范围要使底数不等于零；
（2）当函数关系表示实际问题时，自变量的取值范围还要符合实际情况，使之有意义。
（3）当函数关系表示一个图形的变化关系时，自变量的取值范围必须使图形存在。
典型例题：
1、函数的自变量x的取值范围是
2、函数的自变量x的取值范围是
3、函数的自变量x的取值范围是
4、小强在劳动技术课中要制作一个周长为10cm的等腰三角形．请你写出底边长y（cm）与一腰长x（cm）的函数关系式，并写出自变量的取值范围．

考点三、函数的图像与解析式的关系
1、函数的表示方法
（1）列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律。
（2）解析式法：简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示。
（3）图象法：形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。
函数的三种表示方法各有优、缺点，有时可以相互转化。
2、分段函数的解析式及图像
注意把握：（1）始点、终点、拐点的坐标及实际意义
（2）每条线段（射线）的解析式、取值范围、实际意义
（3）每个解析式中K的实际意义
典型例题:
1、 如图反映的过程是：晓明从家跑步到体育馆，在那里锻炼了一阵后又走到新华书店去买书，然后散步走回家。其中表示时间（分钟），表示晓明离家的距离（千米），那么晓明在体育馆锻炼和在新华书店买书共用去时间是_______________分钟．你还能分析出什么？

2、如图，已知蚂蚁以均匀的速度沿台阶A→B→C→D→E爬行，那么蚂蚁爬行的高度h随时间t变化的图像大致是（ ）
第10题图

3、如图，平面直角坐标系中，在边长为1的正方形的边
上有一动点沿运动一周，则的纵坐标
与点走过的路程之间的函数关系用图象表示大致是（ ）
1
2
3
4
1
2
y
s
O
1
2
3
4
1
2
y
s
O
s
1
2
3
4
1
2
y
s
O
1
2
3
4
1
2
y
O
A.
B.
C.
D.

4、小强骑自行车去郊游，右图表示他离家的距离y（千米）与所用的时间x（小时）之间关系的函数图象，小强9点离开家，15点回家，根据这个图象，请你回答下列问题：
（1）小强到离家最远的地方需要几小时？此时离家多远？
（2）若第一次只休息半小时，则第一次休息前的平均速度是多少？
(3）返回时平均速度是多少？

5、某学校组织团员举行宣传活动，从学校骑车出发，先上坡到达A地后，宣传8分钟；然后下坡到B地宣传8分钟返回，行程情况如图．若返回时，上、下坡速度仍保持不变，在A地仍要宣传8分钟，那么他们从B地返回学校用的时间是（ ）
A.45.2分钟 B.48分钟 C.46分钟 D.33分钟

6、如图表示，一艘轮船和一艘快艇沿相同路线从甲港出发到乙港行驶过程中路程随时间变化的图象（分别是正比例函数图象和一次函数图象）根据图象解答下列问题：
（1）请分别求出表示轮船和快艇行驶过程的函数解析式（写出自变量的取值范围）；
（2）轮船和快艇的行驶速度分别是多少？
（3）问快艇出发多长时间赶上轮船？

考点四、一次函数和正比例函数的定义
1、 正比例函数定义：
一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数.
注：正比例函数一般形式 y=kx ① k≠0 ② x的指数为1
2、 一次函数定义：
一般地，形如y=kx＋b(k,b是常数，k≠0)，那么y叫做x的一次函数.当b=0时，y=kx＋b即y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.
注：一次函数一般形式 y=kx+b ① k≠0 ②x指数为1 ③ b取任意实数

典型例题
1、 函数是一次函数，则k值为_______________
2、 函数是正比例函数，则m值为_______________
3、函数是正比例函数，则k值为_______________

考点五、待定系数法——求函数解析式
基本思路（1）根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式；
　　 （2）将x、y的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程；
　　 （3）解方程得出未知系数的值；
　　 （4）将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式.
特殊的：（1）已知直线过和则 k=_____________
（2）直线与x轴的交点A坐标为__________与y轴交点B坐标为_________
（3）已知直线过点(M,0)(0,N) 则函数解析式为__________________
典型例题
1、已知一次函数的图象过（3，-3）点，并且与直线相交于x轴上一点，求此一次函数的解析式。

2.声音在空气中传播的速度（m/s）是气温（℃）的一次函数，下表列出了一组不同气温的音速：
气温（℃）
0
5
10
15
20
音速（m/s）
331
334
337
340
343
（1）请求与之间的函数关系式；
（2）当气温℃时，某人看到烟花燃放2s后才听到声响，那么此人与烟花燃放地约相距多远？(光的传播时间忽略不计)
O
x
y
A
B

2

3、如图，一次函数图象经过点，且与正比例
函数的图象
交于点，则该一次函数的表达式为（ ）
A． B． C． D．
4、已知一个正比例函数与一个一次函数交与点P（-2, 2），一次函数
与x轴、y轴交与A、B两点，且B（0，6）
（1）求两个函数的解析式
（2）求△AOP的面积

5、已知直线AB：与x轴、y轴分别交与点A、B，y轴上点C坐标为（0，10）
且△COM≌△AOB，求直线CM的解析式

y
x
H
O
C
D
B
A
6、如图,直线y=2x+4与x轴、y轴分别交于点C、A，B点坐标为(4,0),过点B作BD⊥AC于D,BD交OA于点H.
请求直线BD的解析式

考点六、一次函数图像的位置
k>0，图象经过第一、三象限；k<0，图象经过第二、四象限
b>0，图象经过第一、二象限；b<0，图象经过第三、四象限
直线经过第一、二、三象限 直线经过第一、三、四象限
直线经过第一、二、四象限 直线经过第二、三、四象限
典型例题：
1、若一次函数的图象经过第一象限，且与轴负半轴相交，那（ ）
x
y
O
3

A．， B．， C．， D．，
2.一次函数与的图象如图，则下列结论①；②；③当时，中，正确的个数是（ ）A．0 B．1 C．2 D．3[来源

3、若一次函数的图象不经过第一象限，则K_______b_______

考点七、一次函数的增减性
k>0，y随x的增大而增大，x最大y最大，x最小y最大；
k<0，y随x的增大而减小，x最大y最小，x最小y最大.
典型例题：
1、在函数 y＝kx（k＜0）的图象上有A（1，y1）、B（－1，y）、C（－2，y）三个点，则下列各式中正确（　　）
A、y1＜y2＜y3 B、y1＜y3＜y2 C、y3＜y2＜y1 D、y2＜y3＜y
2、已知一次函数，y随x的增大而减小，则它的大致图像为 （ ）

A B C D
3、若一次函数函数值的范围为，则此一次函数的解析式为
4、一次函数y=（2a-3）x+a+2的函数在-2≤x≤1内的一段都在x轴的上方，求a的取值范围．

考点八、倾斜度——K的作用
|k|越大，图象越接近于y轴；|k|越小，图象越接近于x轴.
典型例题
1、结合图像，试说明三条直线K值之间的大小关系________________

考点九、两直线的位置关系
（1）相交：两直线相交，则可将解析式联立形成方程组，方程组的解就是_______________
（2）平行：两直线平行，则K值_____________
特殊的：垂直: 两直线平行，则K值之积=_____________
典型例题：
1、已知直线AB：与x轴、y轴分别交与点A、B，y轴上点C坐标为（0，10）
且△COM≌△AOB，求点N坐标

2、已知直线相交于第四象限，求k的取值范围。

C
B
A
x
O
y
3、如图，直线y＝－x+4与y轴交于点A，与直线y＝x+交于点B，且直线y＝x+与x轴交于点C，则△ABC的面积为＿＿＿．

4、将直线向下平移m个单位得到的直线是（ ）
A. B . C . D .
5、已知直线经过点（－1，6）和（1，2），它和x轴、y轴分别交于B和A；直线经过点（2，－4）和（0，－3），它和x轴、y轴的交点分别是D和C。
（1）求直线和的解析式；[
（2）求四边形ABCD的面积；
（3）设直线与交于点P，求△PBC的面积。[来源:学科网

考点十、用函数的观点看方程（组）、不等式
（1）一元一次方程与一次函数的关系
任何一元一次方程到可以转化为ax+b=0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值. 从图象上看，相当于已知直线y=ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值.
（2）一次函数与一元一次不等式的关系
任何一个一元一次不等式都可以转化为ax+b>0或ax+b<0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于0时，求自变量的取值范围.
（3）一次函数与二元一次方程组
①以二元一次方程ax+by=c的解为坐标的点组成的图象与一次函数y=的图象相同.
②二元一次方程组的解可以看作是两个一次函数y=和y=的图象交点

典型例题
第16题图
1、如图，一次函数的图象经过A、B两点，则关于x的不等式的解
集是

2、直线与直线在同一平面直角坐标中图像的位置如图所示，则关于x的不等式的解集为

综合练习
1.如图,直线y=2x+4与x轴、y轴分别交于点C、A，B点坐标为(4,0),过点B作BD⊥AC于D,BD交OA于点H.
(1) 请求直线BD的解析式；
(2) 有两个动点P和Q分别从点C和点O同时沿x轴正方向匀速运动,速度分别为2个单位每秒和1个单位每秒,设△PQD的面积为S，点P、点Q的运动时间为t秒,请求S与t之间的函数关系式.（请直接写出相应的自变量t的取值范围）；
(3)请问t为何值时，△PQD的面积是△BCD的面积的.
y
x
H
O
C
D
B
A
y
x
H
O
C
D
B
A

2、已知直线AB：与x轴、y轴分别交与点A、B，y轴上点C坐标为（0，10）
（1）求A、B两点坐标
（2）动M从A点出发，以每秒1单位长度的速度，沿x轴向左运动，连接CM.
设点M的运动时间为t，△COM的面积为S，求S与t的函数关系式.（并标出自变量的取值范围）
（3）直线AB与直线CM相交于点；点P为y轴上一点，且始终保持PM+PN最短，
当t为何值时，△COM≌△AOB，并求出此时点P的坐标

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