共边定理典型题解析.doc
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1、DAPB面积DAQB面积PMQMAAAABBBBPPPPQMMMM共边定理图:四种位置关系QQQ1如图,ABC中,D、E分别就是AB、AC边上得中点,用面积方法证明:DEBC且DEBC.证明:D、E分别就是AB、AC边上得中点,ADEBDEADECDE11BDECDE DEBCDBCADE由共角定理得:ADE/ABCADDE/ABBC1/4ADAB DEBC.这里,证明平行用到了平行得基本命题,证明线段得比值用到了共角定理.传统证法中,要用到全等三角形、平行四边形或相似三角形,同时要作辅助线构成全等、相似、或平行四边形.ABCDEF例2:(1983年美国中学数学竞赛题)如图得三角形ABC得面积
2、为10,D、E、F分别在边BC、CA、AB上,且BD2,DC3,若BCE与四边形DCEF得面积相等,则这个面积就是( )A.C.D.B.不确定解:由BCE与四边形DCEF得面积相等,在四边形BCEF中分别减去这两个面积,得BFD与BFE同底且面积相等,所以BFDE,可以得到AB为边得两个三角形ABD与ABE面积相等,因为三角形ABC得面积为10,且BD2,DC3,所以ABD得面积等于4,即ABE面积等于4,所以BCE得面积等于1046,故选C.ABCDO这就是一道由面积相等推知两线平行得典型题目.例3:对角线互相平分得四边形就是平行四边形.证明:OAOC,OBOD,由共角定理得:AOB/COD
3、OAOBOCOD1即AOBCOD,共底得两个三角形ACBCBD,ADBC;同理可证ABCD问:共边定理怎么证线段相等?ABCDE答:常常就是共边与共角两个定理都会用到。利用面积相等,并且面积比中有相等得线段,消去等量,于就是剩下得也就是等量之比。例4:(等腰三角形两腰上得高相等)已知:如图,ABAC,CEAB于E,BDAC于D,求证:BDCE.解:由三角形面积定理得:SABCABCEACBDABAC,BDCE ;本题就是直接用等底三角形面积相等推出高相等,相比于全等三角形证法要简洁得多。例5:如图,已知AD平分BAC,BDAD,DEAC,DE交AB于F点AEBCDF求证:BEEC.证明:连接C
4、、F,由平行线性质,得DFCDFA;由AD平分BAC,DFAC,可得FADFDA,AFFD由BDAD,得FBDFDB,BFDF;AFBFDFBDFA;DFCDFB;BEECDFCDFB11,即BEEC.CABDEF本题就是用共边三角形面积相等推出线段相等。例6:如图,ABC中,ABAC,BDCE,求证:DFEF、证明:连接CD、BE,ABAC DBC与BCE互补,由共角三角形定理:DBCBCEBDBCCEBCABAC,BDCE,得DBCBCE,再由共边定理得:DBCBCEDFFE11DFEF、本题先用共角三角形定理证得DBC与BCE面积相等,再由共边定理推出线段相等。相比于先作平行线构造全等三
5、角形,再由全等三角形证线段相等得证法,面积法显然更巧妙。例7:在等腰直角三角形得斜边上取一点,使,作交于,求证:.ABD321QNMHGEC证明:连结CF,由,得图中两个阴影三角形得面积之比为12,即:AFCAFB12,又由,等腰直角三角形得条件,得ABCDEFF123123290,13,由共角定理得:AFACABBFAFCAFB12AFBF12,由AFB与AEB相似,得AEAB12,ABAC AEEC本题先用CDDB12得到两个阴影三角形得面积之比为12,再由共角三角形定理证得AFBF12,过程相当简洁明了。问:共边定理怎么证比例线段?答:共边定理最适合用来求同一直线上得两条线段得比值,或反
6、过来,已知同一直线上得两条线段得比值求共边三角形得面积比。由于共边定理有四种位置图形却对应同一个比值,所以怎样选取最合适得两个三角形就成为正确解题得关键。也因为图形选择得差异,造成了不止一种解法。只有通过一定得练习量,才能做到迅速正确地选择适当得共边三角形。ABCDEF例1图例1:已知在ABC中,D为BC得中点,E为AD得中点,BE得连线交AC于F.求证:AFAC.解答:构造以BF为公共边得两个三角形ABF与DBF,则由两个中点得条件,得三个三角形ABF与DBF、DCF面积都相等,由图易得,所以AFAC.ABCDEF例2题图1142例2:ABC中,D就是BC上得一点,E为AD上一点,求,解答:
7、构造以BE为公共边得两个三角形ABE与CBE,则,由图易得.ABCDEF例2题图26141构造以AD为公共边得两个三角形BAD与FAD,则.由,设FAD1,则FDC6,ADC7;由,得BAD14, .例3:(三角形角平分线性质定理) 如图,AD平分BAC,ABCD求证:证明:AD平分BAC,由共角三角形定理:ADBADCABADACADABAC又ADBADCBDCDABACBDDC.问:全等与相似方法在新概念几何中应当保留吗?在新概念几何中,可以由面积法先推导出正弦定理与余弦定理,再推出全等三角形判定定理与相似三角形判定定理,实际上,新教材中可以完全不用全等与相似方法.但作为欧式几何得宝贵遗产
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