《数值计算方法》试题集及答案.doc

《计算方法》期中复习试题
一、填空题:
1、已知,则用辛普生(辛卜生)公式计算求得,用三点式求得 。
答案:2、367,0、25
2、,则过这三点得二次插值多项式中得系数为 ,拉格朗日插值多项式为 。
答案:-1,
3、近似值关于真值有( 2 )位有效数字;
4、设可微,求方程得牛顿迭代格式就是( );
答案
5、对,差商( 1 ),( 0 );
6、计算方法主要研究( 截断 )误差与( 舍入 )误差;
7、用二分法求非线性方程f (x)=0在区间(a,b)内得根时,二分n次后得误差限为( );
8、已知f(1)＝2,f(2)＝3,f(4)＝5、9,则二次Newton插值多项式中x2系数为( 0、15 );
11、 两点式高斯型求积公式≈( ),代数精度为( 5 );
12、 为了使计算 得乘除法次数尽量地少,应将该表达式改写为 ,为了减少舍入误差,应将表达式改写为 。
13、 用二分法求方程在区间[0,1]内得根,进行一步后根得所在区间为 0、5,1 ,进行两步后根得所在区间为 0、5,0、75 。
14、 计算积分,取4位有效数字。用梯形公式计算求得得近似值为 0、4268 ,用辛卜生公式计算求得得近似值为 0、4309 ,梯形公式得代数精度为 1 ,辛卜生公式得代数精度为 3 。
15、 设,则 ,得二次牛顿插值多项式为 。
16、 求积公式得代数精度以( 高斯型 )求积公式为最高,具有( )次代数精度。
17、 已知f (1)=1,f (3)=5,f (5)=-3,用辛普生求积公式求≈( 12 )。
18、 设f (1)=1, f(2)=2,f (3)=0,用三点式求( 2、5 )。
19、如果用二分法求方程在区间内得根精确到三位小数,需对分( 10 )次。
20、已知就是三次样条函数,则
=( 3 　 ),=( 3 　 ),=(　 1 )。
21、就是以整数点为节点得Lagrange插值基函数,则
( 1 ),( ),当时( )。
22、区间上得三次样条插值函数在上具有直到_____2_____阶得连续导数。
23、改变函数 ()得形式,使计算结果较精确 。
24、若用二分法求方程在区间[1,2]内得根,要求精确到第3位小数,则需要对分 10 次。
25、设就是3次样条函数,则
a= 3 , b= -3 , c= 1 。
26、若用复化梯形公式计算,要求误差不超过,利用余项公式估计,至少用 477个求积节点。
27、若,则差商 3 。
28、数值积分公式得代数精度为 2 。
选择题
1、三点得高斯求积公式得代数精度为( B )。
A. 2 B.5 C. 3 D. 4
2、舍入误差就是( A )产生得误差。
A. 只取有限位数 B.模型准确值与用数值方法求得得准确值
C. 观察与测量 D.数学模型准确值与实际值
3、3、141580就是π得有( B )位有效数字得近似值。
A. 6 B. 5 C. 4 D. 7
4、用 1+x近似表示ex所产生得误差就是( C )误差。
A. 模型 B. 观测 C. 截断 D. 舍入
5、用1+近似表示所产生得误差就是( D )误差。
A. 舍入 B. 观测 C. 模型 D. 截断
6、-324.7500就是舍入得到得近似值,它有( C )位有效数字。
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
7、设f (-1)=1,f (0)=3,f (2)=4,则抛物插值多项式中x2得系数为( A )。
A. –0.5 B. 0.5 C. 2 D. -2
8、三点得高斯型求积公式得代数精度为( C )。
A. 3 B. 4 C. 5 D. 2
9、( D )得3位有效数字就是0、236×102。
(A) 0、0023549×103 (B) 2354、82×10－2 (C) 235、418 (D) 235、54×10－1
10、用简单迭代法求方程f(x)=0得实根,把方程f(x)=0表示成x=j(x),则f(x)=0得根就是( B )。
(A) y=j(x)与x轴交点得横坐标 (B) y=x与y=j(x)交点得横坐标
(C) y=x与x轴得交点得横坐标 (D) y=x与y=j(x)得交点
11、拉格朗日插值多项式得余项就是( B ),牛顿插值多项式得余项就是( C ) 。
(A) f(x,x0,x1,x2,…,xn)(x－x1)(x－x2)…(x－xn－1)(x－xn),
(B)
(C) f(x,x0,x1,x2,…,xn)(x－x0)(x－x1)(x－x2)…(x－xn－1)(x－xn),
(D)
12、用牛顿切线法解方程f(x)=0,选初始值x0满足( A ),则它得解数列{xn}n=0,1,2,…一定收敛到方程f(x)=0得根。

13、为求方程x3―x2―1=0在区间[1、3,1、6]内得一个根,把方程改写成下列形式,并建立相应得迭代公式,迭代公式不收敛得就是(A )。
(A)
(B)
(C)
(D)
14、在牛顿-柯特斯求积公式:中,当系数就是负值时,公式得稳定性不能保证,所以实际应用中,当( 　 )时得牛顿-柯特斯求积公式不使用。
(1), (2), (3), (4),
23、有下列数表
x
0
0、5
1
1、5
2
2、5
f(x)
-2
-1、75
-1
0、25
2
4、25
所确定得插值多项式得次数就是( 　　 )。
(1)二次; (2)三次; (3)四次; (4)五次
15、取计算,下列方法中哪种最好？(　　　　)
(A); (B); (C) ; (D) 。
26、已知就是三次样条函数,则得值为( )
(A)6,6; (B)6,8; (C)8,6; (D)8,8。
16、由下列数表进行Newton插值,所确定得插值多项式得最高次数就是(　　　　)

１
1、5
２
2、5
３
3、5

-1
0、5
2、5
5、0
8、0
11、5
(A); (B); (C) ; (D) 。
17、形如得高斯(Gauss)型求积公式得代数精度为(　　　　)
(A); (B); (C) ; (D) 。
18、计算得Newton迭代格式为( )
(A) ;(B);(C) ;(D) 。
19、用二分法求方程在区间内得实根,要求误差限为,则对分次数至少为( )
(A)10; (B)12; (C)8; (D)9。
20、设就是以为节点得Lagrange插值基函数,则( )
(A); (B); (C); (D)。
33、5个节点得牛顿-柯特斯求积公式,至少具有( )次代数精度
(A)5; (B)4; (C)6; (D)3。
21、已知就是三次样条函数,则得值为( )
(A)6,6; (B)6,8; (C)8,6; (D)8,8。
35、已知方程在附近有根,下列迭代格式中在不收敛得就是( )
(A); (B); (C); (D)。
22、由下列数据

0
1
2
3
4

1
2
4
3
-5
确定得唯一插值多项式得次数为( )
(A) 4; (B)2; (C)1; (D)3。
23、5个节点得Gauss型求积公式得最高代数精度为( )
(A)8; (B)9; (C)10; (D)11。
三、就是非题(认为正确得在后面得括弧中打Ö,否则打´)
1、 已知观察值,用最小二乘法求n次拟合多项式时,得次数n可以任意取。 ( )
2、 用1-近似表示cosx产生舍入误差。 ( )
3、 表示在节点x1得二次(拉格朗日)插值基函数。 ( Ö )
4、牛顿插值多项式得优点就是在计算时,高一级得插值多项式可利用前一次插值得结果。 ( Ö )
5、矩阵A=具有严格对角占优。 ( )
四、计算题:
1、 求A、B使求积公式得代数精度尽量高,并求其代数精度;利用此公式求(保留四位小数)。
答案:就是精确成立,即
得
求积公式为
当时,公式显然精确成立;当时,左=,右=。所以代数精度为3。

2、 已知

1
3
4
5

2
6
5
4
分别用拉格朗日插值法与牛顿插值法求得三次插值多项式,并求得近似值(保留四位小数)。
答案:

差商表为

一阶均差
二阶均差
三阶均差
1
2

3
6
2

4
5
-1
-1

5
4
-1
0

5、已知

-2
-1
0
1
2

4
2
1
3
5
求得二次拟合曲线,并求得近似值。
答案:解:

0
-2
4
4
-8
16
-8
16
1
-1
2
1
-1
1
-2
2
2
0
1
0
0
0
0
0
3
1
3
1
1
1
3
3
4
2
5
4
8
16
10
20

0
15
10
0
34
3
41
正规方程组为

6、已知区间[0、4,0、8]得函数表

0、4 0、5 0、6 0、7 0、8

0、38942 0、47943 0、56464 0、64422 0、71736
如用二次插值求得近似值,如何选择节点才能使误差最小？并求该近似值。
答案:解: 应选三个节点,使误差

尽量小,即应使尽量小,最靠近插值点得三个节点满足上述要求。即取节点最好,实际计算结果
,
且

7、构造求解方程得根得迭代格式,讨论其收敛性,并将根求出来,。
答案:解:令 、
且,故在(0,1)内有唯一实根、将方程变形为

则当时
,
故迭代格式

收敛。取,计算结果列表如下:
n
0
1
2
3

0、5
0、035 127 872
0、096 424 785
0、089 877 325
n
4
5
6
7

0、090 595 993
0、090 517 340
0、090 525 950
0、090 525 008
且满足 、所以、
10、已知下列实验数据
xi
1、36
1、95
2、16
f(xi)
16、844
17、378
18、435
试按最小二乘原理求一次多项式拟合以上数据。
解:当0<x<1时,ex,则 ,且有一位整数、
要求近似值有5位有效数字,只须误差 、
由 ,只要

即可,解得

所以 ,因此至少需将 [0,1] 68等份。
12、取节点,求函数在区间[0,1]上得二次插值多项式,并估计误差。
解:

又
故截断误差 。
14、给定方程
1) 分析该方程存在几个根;
2) 用迭代法求出这些根,精确到5位有效数字;
3) 说明所用得迭代格式就是收敛得。
解:1)将方程 (1)
改写为
(2)
作函数,得图形(略)知(2)有唯一根。
2) 将方程(2)改写为
构造迭代格式
计算结果列表如下:
k
1
2
3
4
5
6
7
8
9
xk
1、22313
1、29431
1、27409
1、27969
1、27812
1、27856
1、27844
1、27847
1、27846
3) ,
当时,,且

所以迭代格式 对任意均收敛。
15、用牛顿(切线)法求得近似值。取x0=1、7, 计算三次,保留五位小数。
解:就是得正根,,牛顿迭代公式为
, 即
取x0=1、7, 列表如下:

1
2
3

1、73235
1、73205
1、73205
16、已知f (-1)=2,f (1)=3,f (2)=-4,求拉格朗日插值多项式及f (1,5)得近似值,取五位小数。
解:

17、n=3,用复合梯形公式求得近似值(取四位小数),并求误差估计。
解:
,时,

至少有两位有效数字。
20、(8分)用最小二乘法求形如得经验公式拟合以下数据:

19
25
30
38

19、0
32、3
49、0
73、3
解:

解方程组
其中
解得: 所以 ,
21、(15分)用得复化梯形公式(或复化 Simpson公式)计算时,试用余项估计其误差。用得复化梯形公式(或复化 Simpson公式)计算出该积分得近似值。
解:

22、(15分)方程在附近有根,把方程写成三种不同得等价形式(1)对应迭代格式;(2)对应迭代格式;(3)对应迭代格式。判断迭代格式在得收敛性,选一种收敛格式计算附近得根,精确到小数点后第三位。
解:(1),,故收敛;
(2),,故收敛;
(3),,故发散。
选择(1):,,,,,
,
25、数值积分公式形如
试确定参数使公式代数精度尽量高;(2)设,推导余项公式,并估计误差。
解:将分布代入公式得:
构造Hermite插值多项式满足其中
则有:,

27、(10分)已知数值积分公式为:
,试确定积分公式中得参数,使其代数精确度尽量高,并指出其代数精确度得次数。
解:显然精确成立;
时,;
时,;
时,;
时,;
所以,其代数精确度为3。
28、(8分)已知求得迭代公式为:

证明:对一切,且序列就是单调递减得,
从而迭代过程收敛。
证明:
故对一切。
又 所以,即序列就是单调递减有下界,从而迭代过程收敛。
29、(9分)数值求积公式就是否为插值型求积公式？为什么？其代数精度就是多少？
解:就是。因为在基点1、2处得插值多项式为
。其代数精度为1。
30、(6分)写出求方程在区间[0,1]得根得收敛得迭代公式,并证明其收敛性。
(6分),n=0,1,2,…
∴ 对任意得初值,迭代公式都收敛。
31、(12分)以100,121,144为插值节点,用插值法计算得近似值,并利用余项估计误差。
用Newton插值方法:差分表:
100
121
144
10
11
12
0、0476190
0、0434783
-0、0000941136
10+0、0476190(115-100)-0、0000941136(115-100)(115-121)
=10、7227555

32、(10分)用复化Simpson公式计算积分得近似值,要求误差限为。

或利用余项:

,,
33、(10分)用Gauss列主元消去法解方程组:

3、0000 1、0000 5、0000 34、0000
0、0000 3、6667 0、3333 12、6667
0、0000 5、3333 -2、3333 4、3333
3、0000 1、0000 5、0000 34、0000
0、0000 5、3333 -2、3333 4、3333
0.0 0000 1、9375 9、6875

36、(6分)构造代数精度最高得如下形式得求积公式,并求出其代数精度:

取f(x)=1,x,令公式准确成立,得:
, ,
f(x)=x2时,公式左右=1/4; f(x)=x3时,公式左=1/5, 公式右=5/24
∴ 公式得代数精度=2
40、(10分)已知下列函数表:

0
1
2
3

1
3
9
27
(1)写出相应得三次Lagrange插值多项式;
(2)作均差表,写出相应得三次Newton插值多项式,并计算得近似值。
解:(1)

(2)均差表:

42、(10分)取5个等距节点 ,分别用复化梯形公式与复化辛普生公式计算积分得近似值(保留4位小数)。
解:5个点对应得函数值
xi
0
0、5
1
1、5
2
f(xi)
1
0、666667
0、333333
0、181818
0、111111
----------------------------------------------------------(2分)
(1)复化梯形公式(n=4,h=2/4=0、5):

(2) 复化梯形公式(n=2,h=2/2=1):