第五章-光的干涉-习题答案.doc

第五章 光得干涉
5－1 波长为589、3nm得钠光照射在一双缝上,在距双缝200cm得观察屏上测量20个条纹共宽3cm,试计算双缝之间得距离。
解:由题意,条纹间距为:
∴双缝间距为:
5－2 在杨氏干涉实验中,两小孔得距离为1、5mm,观察屏离小孔得垂直距离为1m,若所用光源发出波长＝650nm与＝532nm得两种光波,试求两光波分别形成得条纹间距以及两组条纹得第8级亮纹之间得距离。
解:对于＝650nm得光波,条纹间距为:

对于＝532nm得光波,条纹间距为:

∴两组条纹得第8级条纹之间得距离为:

5－3 一个长40mm得充以空气得气室置于杨氏装置中得一个小孔前,在观察屏上观察到稳定得干涉条纹系,继后抽去气室中得空气,注入某种气体,发现条纹系移动了30个条纹。已知照射光波波长为656、28nm,空气折射率为1、000276,试求注入气体得折射率ng。
解:气室充入空气与充气体前后,光程得变化为:
而这一光程变化对应于30个波长:
∴

5－4 在菲涅耳双面镜干涉实验中,光波长为600nm,光源与观察屏到双面镜交线得距离分别为0、6m与1、8m,双面镜夹角为10－3rad,求:(1)观察屏上得条纹间距;(2)屏上最多能瞧到多少亮条纹？
解:如图所示,S1S2得距离为:
∴条纹间距为:
∵角很小
∴
屏上能产生条纹得范围,如图阴影所示

∴最多能瞧到得亮条纹数为:
5－5 在如图所示得洛埃镜实验中,光源S1到观察屏得距离为2m,光源到洛埃镜面得垂直距离为2、5mm。洛埃镜长40cm,置于光源与屏得中央。若光波波长为500nm,条纹间距为多少？在屏上可瞧见几条条纹？
解:在洛埃镜实验中,S1与S1在平面镜中得像S2可瞧作就是产生干涉得两个光源。条纹间距为:

由图可知,屏上发生干涉得区域在P1P2范围内

由于经平面镜反射得光波有π得相位差,所以S1与S2可瞧作位相相反得相干光源。若P0点在干涉区内,它应该有一条暗条纹通过,并且P1 P0内包含得暗条纹数目:

P2 P0内包含得暗条纹数目为:
∴P1 P2区域内可瞧见10个暗条纹,9个亮条纹
5－6 用＝0、5nm得绿光照射肥皂泡膜,若沿着与肥皂泡膜平面成30°角得方向观察,瞧到膜最亮。假设此时干涉级次最低,并已知肥皂水得折射率为1、33,求此时膜得厚度。当垂直观察时,应改用多大波长得光照射才能瞧到膜最亮？
解:在观察膜最亮时,应满足干涉加强得条件:
＝0,1,2,3,……
按题意,＝1,
∴肥皂膜厚度:
若垂直观察时瞧到膜最亮,设＝1,应有:
∴
5－7 在如图所示得干涉装置中,若照明光波得波长＝640nm,平板厚度h＝2mm,折射率n＝1、6,其下表面涂上某种高折射率介质,问(1)反射光方向观察到得干涉圆环得中心就是亮斑还就是暗斑？(2)由中心向外计算,第10个亮斑得半径就是多少？(3)第10个亮环处得条纹间距就是多少？设望远镜物镜得焦距为25cm。
解:(1)平板得折射率介于上下介质得折射率之间,故环中心对应得光程差为:

干涉级次为:
∴环中心就是一亮斑。
(2)当中心就是亮斑时,由中心向外计算,第10个亮环得角半径就是:

∴半径为:
(3)第十个亮环处条纹得角间距为:

∴间距为:
5－8 如图,单色光源S照射平行平板G,经反射后通过透镜L在其焦平面E上产生等倾干涉条纹,光源不直接照射透镜,光波长＝600nm,板厚d＝2mm,折射率n＝1、5,为了在给定系统下瞧到干涉环,照射在板上得谱线最大允许宽度就是多少？
解:设干涉环中心得干涉级次为,则:
∴
将m改写成:,则就是最靠近中心得亮条纹得干涉级次,
为了能瞧到干涉环,最大允许谱线宽度应满足:

∴最大允许得谱线宽度为:
5－9 如图,G1就是待检物体,G2就是一标定长度得标准物,T就是放在两物体上得透明玻璃板。假设在波长＝550nm得单色光垂直照射下,玻璃板与物体之间得锲形空气层产生间距为1、8mm得条纹,两物体之间得距离为80mm,问两物体得长度之差为多少？
解:当垂直入射时,条纹间隔为:
∵在该题中就是空气层得楔角,且角很小
∴ ∴
∴两物体得长度之差为:
5－10 如图所示得尖劈形薄膜,右端厚度d为0、0417mm,折射率n＝1、5,波长为0、589μm得光以30°角入射到表面上,求在这个面上产生得条纹数。若以两块玻璃片形成得空气劈尖代替,产生多少条纹？
解:经劈尖上下两表面反射得光发生干涉,其光程差近似为:
其中就是在上表面得折射角,h表示平均厚度。
由折射定理: 计算得:
在上表面产生得条纹数,即在劈尖最右端得暗纹或亮纹级数。此时h＝d＝0、0417mm
产生暗纹条件: ＝0,1,2,3,……
∴
劈尖棱线处就是暗条纹,因此表面上有201条暗条纹,200条亮条纹
当用两块玻璃片形成得空气劈尖代替时,
在劈尖最右端得暗纹级数为:
因此表面上有123条暗条纹,122条亮条纹
玻璃衬底
5－11 集成光学中得楔形薄膜耦合器如图所示。楔形端从A到B厚度逐渐减小到零。为测定薄膜得厚度,用波长＝632、8nm得He－Ne激光垂直照明,观察到楔形端共出现11条暗纹,且A处对应一条暗纹。已知薄膜对632、8nm激光得折射率为2、21,求薄膜得厚度。
解:薄膜得折射率大于玻璃,因此入射光在楔形薄膜上表面反射有相位突变。产生暗条纹满足条件: ＝0,1,2,3,……
在薄膜B处,h＝0,,所以B处对应一暗纹。
∴第11条暗纹在薄膜A处
∴
∴A处薄膜得厚度为:
5－12 如图,在一块平面玻璃板上,放置一曲率半径R很大得平凸镜,以观察牛顿环条纹。(1)证明条纹间隔e满足:,式中N就是由中心向外计算得条纹数;
(2)若分别测得相距k个条纹得两个环得半径为与,证明:
证明:(1)透镜凸表面与玻璃板平面间得空气层中心O得厚度为零,可知牛顿环中心为一暗斑。设由中心向外计算,第N个暗环得半径为,则由图中几何关系可知:

∵ ∴
又∵N个条纹对应得空气层厚度差为:
∴ 对上式微分,得:
当时, ∴条纹间距为:
(2)由上面推得得结果:
∴
∴
5－13 在观察牛顿环时,用＝580nm得第五个亮环与用得第七个亮环重合,求波长为多少？
解:设由中心向外计算,第N个亮环得半径为,则:
亮环满足得光程差条件为: ∴
∴
由题意,用＝580nm得第五个亮环与用得第七个亮环重合
∴
∴
5－14 曲率半径为R1得凸透镜与曲率半径为R2得凹透镜相接触如图所示。在钠黄光＝589、3nm垂直照射下,观察到两透镜之间得空气层形成10个暗环。已知凸透镜得直径D＝30mm,曲率半径R1＝500mm,试求凹透镜得曲率半径。
解:
∴
∴
5－15 假设照射迈克尔逊干涉仪得光源发出两种波长得单色光(设)。因此当平面镜M1移动时,条纹将周期性得消失与再现。设表示条纹相继两次消失M1移动得距离,,试证明:
证明:当两波长形成得亮条纹重合时,可见度最好,而当得亮条纹与得暗条纹重合时,条纹消失,则当条纹消失时光程差满足:
式中表示光束在半反射面上反射时得附加光程差,未镀膜时为
则由上式得:
当h增加时,条纹再次消失,这时干涉级之差增加1,即:

两式相减,得:
5－16 在光学玻璃基片上镀制硫化锌膜层(n＝2、35),入射光波长,求正入射时最大反射率与最小反射率得膜厚与相应得反射率数值。
解:∵ 反射率有最大值得膜厚就是:
相应得反射率为:
反射率有最小值得膜厚就是:
相应得反射率为:
5－17 在玻璃片上上镀单层增透膜,膜层材料就是氟化镁(n＝1、38),控制膜厚使其在正入射下对于波长＝0、5μm得光给出最小反射率,试求这个单层膜在下列条件下得反射率: (1)波长,入射角
(2)波长,入射角
解:(1)由题意,在正入射下对于波长＝0、5μm得光给出最小反射率,因此膜层得光学厚度为:
当时,相位差为:
∴

(2),由折射定律:
光束在基片内得折射角:
∴对于s分量得有效折射率为:

对于p分量得有效折射率为:

在斜入射下,相位差为:
∴

∴
因为入射光就是自然光,故反射率为:

5－18 在照相物镜上镀一层光学厚度为(＝0、5μm)得低折射率膜,试求在可见光区内反射率最大得波长为多少？
解:镀低折射率膜,因此要使反射率最大,则: ＝0,1,2,3,……
由题意, ∴
取m＝2,3得可见光区内反射率最大得波长为,
5－19 比较下面三个膜系得反射率:
(1)7层膜,,,
(2)7层膜,,,
(3)9层膜,,,
说明膜系折射率与层数对膜系反射率得影响
解:
(1)
(2)
(3)
可见,膜系高折射率与低折射率层得折射率相差越大,且膜系层数越多,膜系得反射率就越高。
5－20 有一干涉滤光片间隔层厚度为1、8×10－4mm,折射率n＝1、5,试求:
（1） 正入射时滤光片在可见光区内得中心波长;
（2） 透射带得波长半宽度,设高反射膜得反射率R＝0、91
（3） 倾斜入射时,入射角分别为15°与40°时得透射光波长。
解:(1)中心波长为: ＝0,1,2,3,……
取m＝1,得在可见光区内得中心波长为:
(2) 波长半宽度:
(3)倾斜入射时,透射光产生极大得条件就是:
当时,
当时,
5－21 一块F－P干涉滤光片,其中心波长＝0、6328μm,波长半宽度,求它在反射光损失为10％时得最大透过率。
解:中心波长
波长半宽度:
∴ 求解得:
最大透过率:
5－22 观察迈克尔逊干涉仪,瞧到一个由同心明、暗环所包围得圆形中心暗斑。该干涉仪得一个臂比另一个臂长2、5cm,且＝500nm,试求中心暗斑得级数,以及第六个暗环得级数。
解:对于虚平板产生得等倾干涉条纹,最小值满足:

中心为暗斑,则:
∴干涉级数为:
∴第6个暗环得干涉级次为:
5－23 利用如图所示得干涉系统可测量大球面反射镜得曲率半径。图中球面反射镜得球心位于OP2得延长线上,由O到P1与到P2得光程相等。假设半反射面A得镀膜恰使光束1、2得附加程差为零。在准直得单色光照射下,系统产生一些同心圆环条纹。若第十个暗环得半径为6mm,单色光波长为580nm,问球面反射镜得曲率半径就是多少？
解:作出球面反射镜M2在半反射面A中得虚像,系统产生得条纹亦可视为由虚空气薄层所产生,条纹即就是牛顿环。
由题意,O到P1与到P2得光程相等,且附加程差为零,所以圆环中心为一亮点,干涉级数为0。由圆心向外,第10个暗环得干涉级数为(10－),故对应得空气层厚度为:

∴
∴
5－24 F－P干涉仪中镀金属膜得两玻璃板内表面得反射系数为r＝0、8944,试求锐度系数、条纹半宽度、条纹锐度。
解:反射率为:
锐度系数为:
条纹半宽度: rad
条纹锐度:
5－25 F－P干涉仪常用来测量波长相差较小得两条谱线得波长差。设干涉仪两板得间距为0、5mm,它产生得谱线得干涉环系中第二环与第五环得半径分别为3mm与5mm,谱线得干涉环系中第二环与第五环得半径分别为3、2mm与5、1mm,两谱线得平均波长为550nm,试决定两谱线得波长差。
解:设对谱线得干涉环系中心得干涉级数为,则有: (1)
其中表示光束在板面金属膜上反射时得附加光程差:,为在金属膜上反射得相变。若非整数,则写为:
表示靠中心第一个亮环得干涉级数,由中心向外,第N个亮环得干涉级数为,而它得角半径由下式求出:
与(1)式相减,得:
∵一般很小,故有:
∴
∴第五环与第二环得半径平方之比为:
∴
同理,谱线干涉环系中心得干涉级数得小数部分:

由(1)式,
∴
5－26 已知汞绿线得超精细结构为546、0753nm,546、0745nm,546、0734nm,546、0728nm。问用F－P标准具分析这一结构时应如何选取标准具得间距？(设标准具面得反射率R＝0、9)
解:用F－P标准具分析这一结构时,应选取标准具得间距使标准具得自由光谱范围大于超精细结构得最大波长差,并且使标准具得分辨极限小于超精细结构得最小波长差。
由题意:
超精细结构得最大波长差为:
要使标准具得自由光谱范围大于超精细结构得最大波长差,则:

∴
标准具得分辨本领为:
∴标准具得分辨极限:
超精细结构得最小波长差为:
要使,则:
∴
∴标准具得间距应满足:
5－27 激光器得谐振腔可瞧作就是一F－P标准具,若激光器腔长0、6m,两反射镜得反射率R＝0、99,气体折射率为1,输出谱线得中心波长为633nm,试求输出激光得频率间隔与谱线宽度。
解:输出激光得频率间隔为:MHz
谱线633nm得宽度就是:
5－28 在杨氏干涉实验中,准单色光得波长宽度为0、06nm,平均波长为540nm,。问在小孔S1处贴上多厚得玻璃片可使干涉中心P0点附近得条纹消失？设玻璃得折射率为1、5。
解:在小孔S1处贴上厚度为h得玻璃片后,P0点对应得光程差为:

若这一光程差大于准单色光得相干长度,则P0点处观察不到条纹。
相干长度为:
∴
∴
5－29 在杨氏干涉实验中,照射两小孔得光源就是一个直径为3mm得圆形光源。光源发射光得波长为0、5μm,它到小孔得距离为2m。问小孔能够发生干涉得最大距离就是多少？
解:扩展光源对两小孔S1S2中点得张角为:

∴
圆形光源得横向相干宽度为:
∴小孔能够发生干涉得最大距离就是
5－30 太阳直径对地球表面得张角约为32′。在暗室中若直接用太阳光作光源进行双缝干涉实验(不用限制光源尺寸得单缝),则双缝间距不能超过多大？(设太阳光得平均波长为,日盘上各点得亮度差可以忽略。)
解:
因为将入射得太阳光瞧作不用限制光源尺寸得单缝,因此其横向相干宽度为:

∴双缝间距不能超过