信息论基础线性分组码.pptx
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1、1展望展望提高信息传输的可靠性和有效性,始终是通信工作所追求的目标;近几节课掌握的几个编码定理,已经明确指出在一定条件下总存在简单、有效编、译的“好码”.但是,都没有给出这类好码的编、译方法.24.6 线性分组码线性分组码基础知识基础知识抽象代数基础抽象代数基础线性代数基础线性代数基础3引例引例线性分组码的基本概念线性分组码的基本概念线性分组码的译码线性分组码的译码汉明码的编码与译码汉明码的编码与译码4.6 线性分组码线性分组码4引例引例线性分组码的基本概念线性分组码的基本概念线性分组码的译码线性分组码的译码汉明码的编码与译码汉明码的编码与译码4.6 线性分组码线性分组码5设传输一比特字符x=
2、0或1若传输过程中出现差错,不能被发现引例引例6引例引例n0后附加字符0,1后附加1;即只有00和11被接受,且00视为0,11视为1;n故:如果有一位错误发生,可以被检出!7n如果通信过程中发现差错,如果通信过程中发现差错,可以通过要求对方重新发送来获得正确的信息,即所谓的“数量换质量”.但是这在实时信息采集系统中可能是有困难的,因为信息源已经发生变化;即使是在发方保留原信息样本的情况下,也只有在差错率很低的条件下是比较可行的.n因为如果通信条件比较恶劣,差错出现频繁,以至多次重发仍然得不到一份正确的信息.n这时,仅有“检错”手段,已无能为力!引例引例8引例引例0后附加字符00,1后附加11
3、;即传输000相当于传送单字符0,111相当于传送单字符1;这时:发生不超过两位的错误均可被检出;发生一位错误可以被纠正.9引例引例0后附加字符00,1后附加11;即传输000相当于传送单字符0,111相当于传送单字符1;这时:发生不超过两位的错误均可被检出;发生一位错误可以被纠正.纠错码纠错码信息位信息位校验位校验位10引例引例线性分组码的基本概念线性分组码的基本概念线性分组码的编码线性分组码的编码汉明码的编码与译码汉明码的编码与译码4.6 线性分组码线性分组码11线性分组码的基本概念线性分组码的基本概念n分组码分组码分组码分组码是把信源输出的信息序列,以k个信息位分为一段,通过编码器把这段
4、信息位按一定规则f 产生r个校验位,输出长为n=k+r的一个码字,所得码字的全体.称之为(n,k)分组码)分组码!n表示码长,k信息位个数.12引例引例0后附加字符00,1后附加11;即传输000相当于传送单字符0,111相当于传送单字符1;这时:发生不超过两位的错误均可被检出;发生一位错误可以被纠正.(3,1)分组分组码码信息位信息位校验位校验位13线性分组码的基本概念线性分组码的基本概念(n,k)分组码分组码若校验位与信息位之间的关系是线性的,即上述编码规则是线性的,称之为(n,k)线性分组码!线性分组码!14n线性编码线性编码从到的一个线性映射称为一个线性编码线性编码;线性分组码的基本概
5、念线性分组码的基本概念即均有;若是一一映射,则称其为唯一可译线性编码;15线性分组码的基本概念线性分组码的基本概念n线性分组码线性分组码线性分组码线性分组码是把信源输出的信息序列,以k个信息位分为一段,通过编码器把这段信息位按线性编码规则f 产生r个校验位,输出长为n=k+r的一个码字,所得码字的全体.称之为(n,k)线性分组码)线性分组码!n表示码长,k信息位个数.码字个数码字个数M=2k.16若设码字若设码字,则即校验位是由信息位线性组合得到即校验位是由信息位线性组合得到.线性分组码的基本概念线性分组码的基本概念17可见,码字的三个校验元都由其前两位线性组合得到,即可由的线性方程组求得;线
6、性分组码的基本概念线性分组码的基本概念信息位k=2码字数M=418线性编码线性编码线性分组码的基本概念线性分组码的基本概念19例题例题1:下面是某个下面是某个(n,k)线性二元码的全部码字线性二元码的全部码字x16=000000 x26=100011x36=010101x46=001111x56=110110 x66=101100 x76=011010 x86=111001求求n、k的值;的值;n=6;线性分组码的基本概念线性分组码的基本概念M=2k k=3.解:20n例2、(5,2)线性二元码的全部码字n设码字,可得线性分组码的基本概念线性分组码的基本概念21线性分组码的基本概念线性分组码的
7、基本概念n改写为n用矩阵可表示成:校验校验矩阵矩阵 与任一码字与任一码字的乘积为的乘积为0 224线性分组码的特性线性分组码的特性2k个码字完全可由其中一组k 个独立的码字组合而成;线性分组码的基本概念线性分组码的基本概念4生成矩阵生成矩阵从线性分组码(n,k)中任取 k 个线性无关的码字,以行的形式写成矩阵G,则称为该线性分组码线性分组码的的生成矩阵生成矩阵.23例题例题3:下面是一个(下面是一个(6,3)线性二元码的全部码字)线性二元码的全部码字构造它的一个生成矩阵构造它的一个生成矩阵.线性分组码的基本概念线性分组码的基本概念解:由k=3个线性独立的码字组成:24例题例题3:下面是一个(下
8、面是一个(6,3)线性二元码的全部码字)线性二元码的全部码字验证:验证:线性分组码的基本概念线性分组码的基本概念25n系统码系统码 若若(n,k)线性分组码的生成矩阵形如线性分组码的生成矩阵形如 G=(Ik A)其中其中Ik是是k阶单位阵,阶单位阵,A为为 阶子阵,阶子阵,则称这类码为系统码则称这类码为系统码.线性分组码的基本概念线性分组码的基本概念特点:校验矩阵为特点:校验矩阵为H=(-AT I(n-k).26例题例题3:下面是一个(下面是一个(6,3)线性二元码的全部码字)线性二元码的全部码字它的一个生成矩阵它的一个生成矩阵线性分组码的基本概念线性分组码的基本概念请写出它的校验矩阵请写出它
9、的校验矩阵H.信息组原封不动地搬到码字前位的码27线性分组码的基本概念线性分组码的基本概念28线性分组码的基本概念线性分组码的基本概念n汉明距离:指(n,k)分组码中两个码字xn、yn对应位取值不同的个数;记为d(xn,yn).例:29线性分组码的基本概念线性分组码的基本概念n理查德理查德卫斯里卫斯里汉明汉明(Richard Wesley Hamming,1915.2.111998.1.7.),美国数学家,主要贡献在计算机科学和电讯。n1937年芝加哥大学学士学位毕业,1939年内布拉斯加大学硕士学位毕业,1942年伊利诺伊大学香槟分校博士学位毕业,博士论文为一些线性微分方程边界值理论上的问题
10、(Some Problems in the Boundary Value Theory of Linear Differential Equations)。n二战期间在路易斯维尔大学当教授,1945年参加曼哈顿计划,负责编写电脑程式,计算物理学家所提供方程的解。该程式是判断引爆核弹会否燃烧大气层,结果是不会,于是核弹便开始试验。n1946至76年在贝尔实验室工作。他曾和约翰怀尔德杜奇、克劳德艾尔伍德香农合作。1956年他参与了IBM650的程式语言发展工作。30线性分组码的基本概念线性分组码的基本概念n汉明距离:指(n,k)分组码中两个码字xn、yn对应位取值不同的个数;记为d(xn,yn).
11、例:31线性分组码的基本概念线性分组码的基本概念n线性分组码的最小距离:称(n,k)分组码中任两个码字汉明距离的最小值,为该分组码的最小距离d.n(5,2)线性分组码全部码字:n最小距离d=3.汉明重量汉明重量32引例引例线性分组码的基本概念线性分组码的基本概念线性分组码的译码线性分组码的译码汉明码的编码与译码汉明码的编码与译码4.6 线性分组码线性分组码生成矩阵校验矩阵码的最小距离33引例引例线性分组码的基本概念线性分组码的基本概念线性分组码的译码线性分组码的译码汉明码的编码与译码汉明码的编码与译码4.6 线性分组码线性分组码34线性分组码的译码线性分组码的译码n基本概念基本概念错误图样错误
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