高一数学知识点总结-2.docx

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高一数学学问点总结
〔高一数学〕怎么学?首先应做好课前的物质预备和精神预备，以使得上课时不至于消灭书、本等物丢三落四的现象;今日我在这给大家整理了高一数学学问点〔总结〕，接下来随着我一起来看看吧!
高一数学学问点总结(一)
圆的方程
1、圆的定义：平面内到确定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。
2、圆的方程
(1)标准方程，
圆心，半径为r;
(2)一般方程
当时，方程表示圆，此时圆心为，半径为
当时，表示一个点;当时，方程不表示任何图形。
(3)求圆方程的〔方法〕：
一般都接受待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，
若利用圆的标准方程，需求出a，b，r;若利用一般方程，需要求出D，E，F;
另外要留意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。
3、直线与圆的位置关系：
直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种状况，基本上由以下两种方法推断：
(1)设直线，圆，圆心到l的距离为，则有;;
(2)过圆外一点的切线：①k不存在，验证是否成立②k存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，求解k，得到方程【确定两解】
(3)过圆上一点的切线方程：
①圆x2+y2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为(课本命题).
②圆(x-a)2+(y-b)2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2(课本命题的推广).
4、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和(差)，与圆心距(d)之间的大小比较来确定。
设圆，
两圆的位置关系常通过两圆半径的和(差)，与圆心距(d)之间的大小比较来确定。
当时两圆外离，此时有公切线四条;
当时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条;
当时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线;
当时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线;
当时，两圆内含;当时，为同心圆。
高一数学学问点总结(二)
直线、圆的位置关系
由直线与圆的公共点的个数,得出以下直线和圆的三种位置关系：
(1)相交：直线与圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交.这时直线叫做圆的割线.
(2)相切：直线和圆有公共点时,叫做直线和圆相切.这时直线叫做圆的切线,的公共点叫做切点.
(3)相离：直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离.
直线与圆的位置关系的数量特征
1、迁移：点与圆的位置关系
(1)点P在⊙O内dr.
2、归纳概括：
假如⊙O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d,那么
(1)直线l和⊙O相交dr.
练习题：
1.直线L上的一点到圆心的距离等于⊙O的半径，则L与⊙O的位置关系是()
A.相离
B.相切
C.相交
D.相切或相交
2.圆的的弦长为12cm，假如直线与圆相交，且直线与圆心的距离为d，那么()
A.d6cm
B.6cm
C.d≥6cm
D.d12cm
3.P是⊙O外一点，PA、PB切⊙O于点A、B，Q是优弧AB上的一点，设∠APB=α，∠AQB=β，则α与β的关系是()
A.α=β
B.α+β=90°
C.α+2β=180°
D.2α+β=180°
4.在⊙O中，弦AB和CD相交于点P，若PA=4，PB=7，CD=12，则以PC、PD的长为根的一元二次方程为()
A.x2+12x+28=0
B.x2-12x+28=0
C.x2-11x+12=0
D.x2+11x+12=0
高一数学学问点总结(三)
空间直角坐标系
空间直角坐标系定义：
过定点O,作三条相互垂直的数轴,它们都以O为原点且一般具有相同的长度单位、这三条轴分别叫做x轴(横轴)、y轴(纵轴)、z轴(竖轴);统称坐标轴、通常把x轴和y轴配置在水平面上,而z轴则是铅垂线;它们的正方向要符合右手规章,即以右手握住z轴,当右手的四指从正向x轴以π/2角度转向正向y轴时,大拇指的指向就是z轴的正向,这样的三条坐标轴就组成了一个空间直角坐标系,点O叫做坐标原点。
1、右手直角坐标系
①右手直角坐标系的建立规章：x轴、y轴、z轴相互垂直，分别指向右手的拇指、食指、中指;
②已知点的坐标P(x，y，z)作点的方法与步骤(路径法)：
沿x轴正方向(x0时)或负方向(x0时)移动|x|个单位，再沿y轴正方向(y0时)或负方向(y0时)移动|y|个单位，最终沿x轴正方向(z0时)或负方向(z
③已知点的位置求坐标的方法：
过P作三个平面分别与x轴、y轴、z轴垂直于A，B，C，点A，B，C在x轴、y轴、z轴的坐标分别是a,b,c则(a,b,c)就是点P的坐标。
2、在x轴上的点分别可以表示为(a,0,0),(0,b,0),(0,0,c)。
在坐标平面xOy，xOz，yOz内的点分别可以表示为(a,b,0),(a,0,c),(0,b,c)。
3、点P(a,b,c)关于x轴的对称点的坐标为(a,-b,-c);
点P(a,b,c)关于y轴的对称点的坐标为(-a,b,-c);
点P(a,b,c)关于z轴的对称点的坐标为(-a,-b,c);
点P(a,b,c)关于坐标平面xOy的对称点为(a,b,-c);
点P(a,b,c)关于坐标平面xOz的对称点为(a,-b,c);
点P(a,b,c)关于坐标平面yOz的对称点为(-a,b,c);
点P(a,b,c)关于原点的对称点(-a,-b,-c)。
4、已知空间两点P(x1,y1,z1)，Q(x2,y2,z2)，则线段PQ的中点坐标为
5、空间两点间的距离公式
已知空间两点P(x1,y1,z1)，Q(x2,y2,z2)，则两点的距离为特殊点A(x,y,z)到原点O的距离为
6、以C(x0,y0,z0)为球心,r为半径的球面方程为
特殊地，以原点为球心,r为半径的球面方程为x2+y2+z2=r2
练习题：
选择题：
1.在空间直角坐标系中，已知点P(x，y，z)，给出以下4条表达：①点P关于x轴的对称点的坐标是(x，-y，z)②点P关于yOz平面的对称点的坐标是(x，-y，-z)③点P关于y轴的对称点的坐标是(x，-y，z)④点P关于原点的对称点的坐标是(-x，-y，-z)其中正确的个数是()
A.3B.2C.1D.0
2.若已知A(1，1，1)，B(-3，-3，-3)，则线段AB的长为()
A.43
B.23
C.42
D.32
3.已知A(1，2，3)，B(3，3，m)，C(0，-1，0)，D(2，―1，―1)，则()
A.|AB||CD|
B.|AB||CD|C.|AB|≤|CD|
D.|AB|≥|CD|
4.设A(3，3，1)，B(1，0，5)，C(0，1，0)，AB的中点M，则|CM|?()
A.5
B.2
C.3
D.4
高一数学学问点总结(四)
《圆与方程》学问点整理
一、标准方程
?x?a?2??y?b??r 22
1.求标准方程的方法——关键是求出圆心?a,b?和半径r
①待定系数：往往已知圆上三点坐标，例如教材P119例2 ②利用平面几何性质
往往涉及到直线与圆的位置关系，特殊是：相切和相交 相切：利用到圆心与切点的连线垂直直线
相交：利用到点到直线的距离公式及垂径定理
2.特殊位置的圆的标准方程设法(无需记，关键能理解) 条件 方程形式 圆心在原点 x?y?r?r?0? 222过原点 ?x?a???y?b??a2?b2?a2?b2?0? 圆心在x轴上 ?x?a??y?r22222?r
?r?0? ?0? 圆心在y轴上 x??y?b??r222
圆心在x轴上且过原点 ?x?a??y?a222?a?0?
?b?0?
2圆心在y轴上且过原点 x??y?b??b2222与x轴相切 ?x?a???y?b??b
222?b?0? ?a?0? 与y轴相切 ?x?a???y?b??a
与两坐标轴都相切 ?x?a???y?b??a
二、一般方程
x?y?Dx?Ey?F?0?D?E?4F?0? 22222222?a?b?0?
1.Ax?By?Cxy?Dx?Ey?F?0表示圆方程则??
?A=B≠0?A=B≠0
??
C=0???C=0
??D2+E2-4AF022
?DEF?????0 ?+ ?-4??AAA?????
2.求圆的一般方程一般可接受待定系数法：如教材P122例r4 3.D2+E2-4F0常可用来求有关参数的范围 三、点与圆的位置关系
1.推断方法：点到圆心的距离d与半径r的大小关系
dr?点在圆外
2.涉及最值：
(1)圆外一点B，圆上一动点P，商量 PB的最值
PBPB
=BN=BC-r =BM=BC+r
min
max
(2)圆内一点A，圆上一动点P，商量 PA的最值
Pmin= Pm
ax
A=A=
rr C C
=
思考：过此A点作最短的弦?(此弦垂直AC) 四、直线与圆的位置关系
1.推断方法(d为圆心到直线的距离)
(1)相离?没有公共点??0?dr
(2)相切?只有一个公共点??=0?d=r
(3)相交?有两个公共点??0?d这一学问点可以出如此题型：告知你直线与圆相交让你求有关参数的范围. 2.直线与圆相切 (1)学问要点 ①基本图形
高一数学学问点总结(五)
《圆与圆的方程》随堂练习
一、选择题
1.(2021?湖北荆州质检二)过点P(1,2)，且方向向量v=(-1,1)的直线的方程为
(　　)
A.x-y-3=0　　　　　　 B.x+y+3=0
C.x+y-3=0 D.x-y+3=0
答案：C
解析：方向向量为v=(-1,1)，则直线的斜率为-1，直线方程为y-2=-(x-1)即x+y-3=0，应选C.
2.(2021?重庆市高三联合诊断性考试)将直线l1：y=2x绕原点逆时针旋转60°得直线l2，则直线l2到直线l3：x+2y-3=0的角为 (　　)
A.30°　　　 B.60°　　　 C.120°　　　 D.150°
答案：A
解析：记直线l1的斜率为k1，直线l3的斜率为k3，留意到k1k3=-1，l1⊥l3，依题意画出示意图，结合图形分析可知，直线l2到直线l3的角是30°，选A.
3.(2021?东城3月)设A、B为x轴上两点，点P的横坐标为2，且|PA|=|PB|，若直线PA的方程x-y+1=0，则直线PB的方程为 (　　)
A.2x+y-7=0 B.2x-y-1=0
C.x-2y+4=0 D.x+y-5=0
答案：D
解析：因kPA=1，则kPB=-1，又A(-1,0)，点P的横坐标为2，则B(5,0)，直线PB的方程为x+y-5=0，应选D.
4.过两点(-1,1)和(0,3)的直线在x轴上的截距为 (　　)
A.-32 B.32 C.3 D.-3
答案：A
解析：由两点式，得y-31-3=x-0-1-0，
即2x-y+3=0，令y=0，得x=-32，
即在x轴上的截距为-32.
5.直线x+a2y+6=0和(a-2)x+3ay+2a=0无公共点，则a的值是 (　　)
A.3 B.0 C.-1 D.0或-1
答案：D
解析：当a=0时，两直线方程分别为x+6=0和x=0，明显无公共点;当a≠0时，-1a2=-a-23a，∴a=-1或a=3.而当a=3时，两直线重合，∴a=0或-1.
6.两直线2x-my+4=0和2mx+3y-6=0的交点在其次象限，则m的取值范围是
(　　)
A.-32≤m≤2 B.-32
C.-32≤m2 D.-32
答案：B
解析：由2x-my+4=0，2mx+3y-6=0，解得两直线的交点坐标为(3m-6m2+3，4m+6m2+3)，由交点在其次象限知横坐标为负、纵坐标为正，故3m-6m2+30且4m+6m2+30?-32
7.(2021?福建，9)在平面直角坐标系中，若不等式组x+y-1≥0，x-1≤0，ax-y+1≥0，(a为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a的值为 (　　)
A.-5 B.1 C.2 D.3
答案：D
解析：不等式组x+y-1≥0，x-1≤0，ax-y+1≥0所围成的区域如下图.
∵其面积为2，∴|AC|=4，
∴C的坐标为(1,4)，代入ax-y+1=0，
得a=3.应选D.
8.(2021?陕西，4)过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2+y2-4y=0所截得的弦长为
(　　)
A.3 B.2 C.6 D.23
答案：D
解析：∵直线的方程为y=3x，圆心为(0,2)，半径r=2.
由点到直线的距离公式得弦心距等于1，从而所求弦长等于222-12=23.应选D.
9.(2021?西城4月，6)与直线x-y-4=0和圆x2+y2+2x-2y=0都相切的半径最小的圆的方程是 (　　)
A.(x+1)2+(y+1)2=2 B.(x+1)2+(y+1)2=4
C.(x-1)2+(y+1)2=2 D.(x-1)2+(y+1)=4
答案：C
解析：圆x2+y2+2x-2y=0的圆心为(-1,1)，半径为2，过圆心(-1,1)与直线x-y-4=0垂直的直线方程为x+y=0，所求的圆的圆心在此直线上，排解A、B，圆心(-1,1)到直线x-y-4=0的距离为62=32，则所求的圆的半径为2，应选C.
10.(2021?安阳，6)已知直线x+y=a与圆x2+y2=4交于A、B两点，且|OA→+OB→|=|OA→-OB→|，其中O为原点，则实数a的值为 (　　)
A.2 B.-2C.2或-2 D.6或-6
答案：C
解析：由|OA→+OB→|=|OA→-OB→|得|OA→+OB→|2=|OA→-OB→|2，OA→?OB→=0，OA→⊥OB→，三角形AOB为等腰直角三角形，圆心到直线的距离为2，即|a|2=2，a=±2，应选C.
11.(2021?河南试验中学3月)若直线l：ax+by=1与圆C：x2+y2=1有两个不同交点，则点P(a，b)与圆C的位置关系是 (　　)
A.点在圆上 B.点在圆内C.点在圆外 D.不能确定
答案：C
解析：直线l：ax+by=1与圆C：x2+y2=1有两个不同交点，则1a2+b21，a2+b21，点P(a，b)在圆C外部，应选C.
12.(2021?保定市高三摸底考试)从原点向圆x2+(y-6)2=4作两条切线，则这两条切线夹角的大小为 (　　)
A.π6 B.π2C.arccos79 D.arcsin229
答案：C
解析：如图，sin∠AOB=26=13，cos∠BOC=cos2∠AOB=1-2sin2∠AOB=1-29=79，∴∠BOC=arccos79，应选C.
其次卷(非选择题　共90分)二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分，请将答案填在题中的横线上。)
13.(2021?湖南长沙一中)已知直线l1：ax+y+2a=0，直线l2：ax-y+3a=0.若l1⊥l2，则a=________.
答案：±1
解析：∵l1⊥l2，∴kl1?kl2=-1，即(-a)?a=-1，∴a=±1.
14.点P(a,3)到直线4x-3y+1=0的距离等于4，且在不等式2x+y4表示的平面区域内，则P点的坐标为__________.
答案：(-3,3)
解析：因|4a-9+1|5=4，∴a=7，a=-3.
当a=7时，不满足2x+y4(舍去)，∴a=-3.
15.(2021?朝阳4月，12)已知动直线l平分圆C：(x-2)2+(y-1)2=1，则直线l与圆：x=3cosθ，y=3sinθ，(θ为参数)的位置关系是________.
答案：相交
解析：动直线l平分圆C：(x-2)2+(y-1)2=1，即圆心(2,1)在直线上，又圆O：x=3cosθ，y=3sinθ，即x2+y2=9，且22+129，(2,1)在圆O内，则直线l与圆O：
x=3cosθ，y=3sinθ，(θ为参数)的位置关系是相交，故填相交.
16.(2021?山东济南一模)若直线y=kx-2与圆x2+y2=2相交于P、Q两点，且∠POQ=120°(其中O为原点)，k的值为________.
答案：±3
解析：由图可知，点P的坐标为(0，-2)，
∠OPQ=30°，∴直线y=kx-2的倾斜角为60°或120°，∴k=±3.
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解容许写出文字说明、演算步骤或证明过程。)
17.(本小题总分 10分)求经过7x+8y=38及3x-2y=0的交点且在两坐标轴上截得的截距相等的直线方程.
解析：易得交点坐标为(2,3)
设所求直线为7x+8y-38+λ(3x-2y)=0，
即(7+3λ)x+(8-2λ)y-38=0，
令x=0，y=388-2λ，
令y=0，x=387+3λ，
由已知，388-2λ=387+3λ，
∴λ=15，即所求直线方程为x+y-5=0.
又直线方程不含直线3x-2y=0，而当直线过原点时，在两轴上的截距也相等，故3x-2y=0亦为所求.
18.(本小题总分 12分)已知直线l经过点P(3,1)，且被两平行直线l1;x+y+1=0和l2：x+y+6=0截得的线段之长为5，求直线l的方程.
分析一：如图，利用点斜式方程，分别与l1、l2联立，求得两交点A、B的坐标(用k表示)，再利用|AB|=5可求出k的值，从而求得l的方程.
解析：解法一：若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x=3，此时与l1、l2的交点分别为A′(3，-4)或B′(3，-9)，截得的线段AB的长|AB|=|-4+9|=5，符合题意.
若直线l的斜率存在，则设直线l的方程为y=k(x-3)+1.
解方程组y=k(x-3)+1，x+y+1=0，得
A(3k-2k+1，-4k-1k+1).
解方程组y=k(x-3)+1，x+y+6=0，得
B(3k-7k+1，-9k-1k+1).
由|AB|=5.
得(3k-2k+1-3k-7k+1)2+(-4k-1k+1+9k-1k+1)2=52.
解之，得k=0，直线方程为y=1.
综上可知，所求l的方程为x=3或y=1.
分析二：用l1、l2之间的距离及l与l1夹角的关系求解.
解法二：由题意，直线l1、l2之间的距离为d=|1-6|2=522，且直线L被平行直线l1、l2所截得的线段AB的长为5，设直线l与直线l1的夹角为θ，则sinθ=5225=22，故θ=45°.
由直线l1：x+y+1=0的倾斜角为135°，知直线l的倾斜角为0°或90°，又由直线l过点P(3,1)，故直线l的方程为：
x=3或y=1.
分析三：设直线l1、l2与l分别相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则通过求出y1-y2，x1-x2的值确定直线l的斜率(或倾斜角)，从而求得直线l的方程.
解法三：设直线l与l1、l2分别相交A(x1，y1)、B(x2，y2)，则x1+y1+1=0，x2+y2+6=0.
两式相减，得(x1-x2)+(y1-y2)=5. ①
又(x1-x2)2+(y1-y2)2=25. ②
联立①、②可得
x1-x2=5，y1-y2=0，或x1-x2=0，y1-y2=5.
由上可知，直线l的倾斜角分别为0°或90°.
故所求的直线方程为x=3或y=1.
19.(本小题总分 12分)设圆上的点A(2,3)关于直线x+2y=0的对称点仍在圆上，且与直线x-y+1=0相交的弦长为22，求圆的方程.
解析：设所求圆的圆心为(a，b)，半径为r，
∵点A(2,3)关于直线x+2y=0的对称点A′仍在这个圆上，
∴圆心(a，b)在直线x+2y=0上，
∴a+2b=0， ①
(2-a)2+(3-b)2=r2. ②
又直线x-y+1=0截圆所得的弦长为22，
∴r2-(a-b+12)2=(2)2 ③
解由方程①、②、③组成的方程组得：
b=-3，a=6，r2=52.或b=-7，a=14，r2=244，
∴所求圆的方程为
(x-6)2+(y+3)2=52或(x-14)2+(y+7)2=244.

高一数学学问点总结_圆与方程学问点相关〔文章〕：
★ 高一数学学问点总结期末必备
★ 高一数学学问点总结(人教版)

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