全套更高更妙的物理竞赛竞赛24几何光学问题集成.pptx

光总沿着光程为极值的路径传播光总沿着光程为极值的路径传播在均匀介质里在均匀介质里沿直线传播，因为给定两点间直线路径最短；在不均匀沿直线传播，因为给定两点间直线路径最短；在不均匀的介质中，光沿着所有可能的光程中有最小、最大或稳的介质中，光沿着所有可能的光程中有最小、最大或稳定的光程的路径传播，即遵从费马原理定的光程的路径传播，即遵从费马原理.ABF1F2PF1F2Pn1n2NO光程有最值应满足光程有最值应满足依据费马原理求解依据费马原理求解:由基本不等式由基本不等式:光程有最大值光程有最大值即在即在处存在光的圆折射波道处存在光的圆折射波道 某行星上大气的折射率随着行星表面的高度某行星上大气的折射率随着行星表面的高度h按照按照nn0ah的规律而减小，行星的半径为的规律而减小，行星的半径为R，行星表面某一高度，行星表面某一高度h0处有光波道，它始终在处有光波道，它始终在恒定高度，光线沿光波道环绕行星传播，试求高度恒定高度，光线沿光波道环绕行星传播，试求高度h0 专题专题24-例例1查阅查阅物像公物像公式式依据惠更斯原理求解依据惠更斯原理求解:MNh0hOR返回返回 光源形成的单心光束的顶点光源形成的单心光束的顶点 实物点实物点 虚物点虚物点 被光具作用被光具作用(折射、反射）后的单心光束的会聚折射、反射）后的单心光束的会聚点或发散点称作实像点或虚像点点或发散点称作实像点或虚像点yPO1xQhAFCOBS根据费马原理可以推论，任根据费马原理可以推论，任一发光点所发光束经球面反一发光点所发光束经球面反射或折射后能成像于一点的射或折射后能成像于一点的条件是，从物点到达像点的条件是，从物点到达像点的所有光线的光程都相等所有光线的光程都相等对近轴光线对近轴光线SxS2x根据近轴光线平面折射规律根据近轴光线平面折射规律:根据球面镜物象公式根据球面镜物象公式:某观察者通过一块薄玻璃板去看在凸面镜中他自己眼睛的某观察者通过一块薄玻璃板去看在凸面镜中他自己眼睛的像他移动着玻璃板，使得在玻璃板中与在凸面镜中所看到的他眼睛的像重合在像他移动着玻璃板，使得在玻璃板中与在凸面镜中所看到的他眼睛的像重合在一起若凸面镜的焦距为一起若凸面镜的焦距为10 cm，眼睛与凸面镜顶点的距离为，眼睛与凸面镜顶点的距离为40 cm，问玻璃板距，问玻璃板距观察者眼睛的距离为多少？观察者眼睛的距离为多少？专题专题24-例例2ABP 圆圆锥锥面面的的内内表表面面镀镀上上反反射射层层，构构成成圆圆锥锥面面镜镜在在圆圆锥锥形形内内沿沿轴轴拉拉紧紧一一根根细细丝丝要要使使细细丝丝发发出出的的光光线线在在圆圆锥锥内内面面上上反反射不多于一次，圆锥形最小的展开角射不多于一次，圆锥形最小的展开角=_=_ P一次反射光无入射点一次反射光无入射点 小路灯小路灯L发出的光束在离灯发出的光束在离灯R0100 m处会聚成小光斑处会聚成小光斑A在光传在光传播的路径上放两个正方形平面镜，如图两镜面的交线到灯的距离播的路径上放两个正方形平面镜，如图两镜面的交线到灯的距离r70 m，并且，并且垂直穿过光束轴两面镜互相垂直，其中一个平面镜与光束轴交成角垂直穿过光束轴两面镜互相垂直，其中一个平面镜与光束轴交成角30，则，则现在光束将会聚在离灯现在光束将会聚在离灯_m处处 L发出的光为会聚光束，发出的光为会聚光束，A为虚物点为虚物点轴以上部分光束经平面镜轴以上部分光束经平面镜OM反射仍为会聚光束，顶点反射仍为会聚光束，顶点在在A1，A1与与A关于关于OM对称对称 同理，同理，L发出的轴以下部分光束先经平面镜发出的轴以下部分光束先经平面镜ON反射、再反射、再经平面镜经平面镜OM反射亦不改变会聚性，并由对称性知会聚于反射亦不改变会聚性，并由对称性知会聚于A3 向向A1会聚的这束光射向平面镜会聚的这束光射向平面镜ON并被二次反射，反射光束会并被二次反射，反射光束会聚于聚于A3，相当于虚物，相当于虚物A1通过通过ON成实像，成实像，A3与与A1关于关于ON对称，对称，由于由于OM与与ON垂直，易知垂直，易知A3在在L发出的光束轴上且发出的光束轴上且OA3=OA；则两垂直平面镜将令灯发出的光束会聚于离灯 虚物虚物LAA2NMOA1A3与与两像情况完全相同两像情况完全相同,关于平面镜对称关于平面镜对称 由点光源由点光源S发出的近轴光线经透明球形成像，像到透发出的近轴光线经透明球形成像，像到透明球的距离为明球的距离为b，如图所示如果沿垂直于水平轴将球分成两半，左，如图所示如果沿垂直于水平轴将球分成两半，左边一半的平面上镀银，那么像的位置在边一半的平面上镀银，那么像的位置在_，与球的距离为，与球的距离为_ 左半平面镀银成平面镜，通过左球面左半平面镀银成平面镜，通过左球面的折射光线通过平面镜反射不改变光的折射光线通过平面镜反射不改变光束敛散性只是再次由左球面折射而已束敛散性只是再次由左球面折射而已左侧左侧底底水醇界面水醇界面醇表面醇表面h2h1Hy对水醇界面对水醇界面对醇气界面对醇气界面 深度为深度为3 cm的水面上（的水面上（n1=1.33）漂浮着）漂浮着2 cm厚的醇厚的醇（n2=1.36）层，则水底距醇表面的像视深度为）层，则水底距醇表面的像视深度为_ 不经反射，入射光能射到感光面不经反射，入射光能射到感光面上，入射光与轴所成最大角如图上，入射光与轴所成最大角如图 经一次反射而能入射光面上，经一次反射而能入射光面上，入射光与轴所成最大角增大入射光与轴所成最大角增大 以最大角度入射的光以最大角度入射的光线延长后应恰与接受器表线延长后应恰与接受器表面相切，如图面相切，如图 如图所示，两块平面镜宽度均为如图所示，两块平面镜宽度均为L5 cm，相交，相交成角成角12，构成光通道两镜的右端相距为，构成光通道两镜的右端相距为d2 cm，左端靠在光，左端靠在光接收器的圆柱形的感光面上试问入射光线与光通道的轴成的最大接收器的圆柱形的感光面上试问入射光线与光通道的轴成的最大角度为多少，才能射到光接收器上？角度为多少，才能射到光接收器上？yxO专题专题24-例例3 光穿过几个互相平行的、折光穿过几个互相平行的、折射率不同的介质区时射率不同的介质区时 有有yxOn1nin2n3riri+1yri O O点光沿点光沿x方向方向,则第则第i层入射角层入射角ri满足满足 由图示几何关系得由图示几何关系得 如如图图所所示示，介介质质在在一一定定区区域域x0、y0内内的的折折射射率率随随着着y的的变变化化而而连连续续变变化化一一束束细细光光束束沿沿x方方向向垂垂直直入入射射到到介介质质表表面面，并并沿沿着着一一个个半半径径为为R的的圆圆弧弧路路径径穿穿过过介介质质，求求折折射射率率n随随y变变化化的的规规律律如如果果y=0时时折折射射率率n0=1，已已知知的的材材料料中中最最大大折折射射率率（金金刚刚石石折折射射率率）不不超超过过2.5，圆圆弧弧所所对对应应的的圆圆心心角角最最大大可可能能达达多多少？少？专题专题24-例例4折射光具之折射光具之三棱镜三棱镜对光路的作用对光路的作用ABCOirDE顶角顶角偏向角偏向角 反映三棱镜改变光传播方向的程度反映三棱镜改变光传播方向的程度!i 通通常常用用阿阿贝贝数数 来来表表示示光光学学材材料料的的色色散散特特性性，其其中中nD、nC、nF 分分别别表表示示材材料料对对单单色色光光D及及单单色色光光C及及F的的折折射射率率一一束束白白光光照照射射到到一一顶顶角角A=60，冕冕牌牌玻玻璃璃（n=1.500，n=1.495，）制制的的棱棱镜镜上上，使使单单色色光光D在在棱棱镜镜中中的传播方向垂直于角的传播方向垂直于角A的平分面求从棱镜射出的单色光的平分面求从棱镜射出的单色光C和和F之间的夹角之间的夹角解答解答Air本题比较三棱镜对本题比较三棱镜对C、D、F三三种色光种色光改变传播方向的程度！改变传播方向的程度！单色光单色光D对称进出三棱镜，光路如示对称进出三棱镜，光路如示单色光单色光D通过三棱镜偏向角为通过三棱镜偏向角为单色光单色光C通过三棱镜偏向角小于通过三棱镜偏向角小于D单色光单色光F通过三棱镜偏向角大于通过三棱镜偏向角大于D其中其中 走走“光对称进出三棱镜光对称进出三棱镜”时的路径时间最时的路径时间最短，即沿图答中折线短，即沿图答中折线APQBAPQB，其中其中PQABPQAB，借助光折射模型：借助光折射模型：PQrDCAhBl由几何关系由几何关系 则最短时间为则最短时间为 如如图图湖湖湾湾成成顶顶角角为为 的的楔楔形形，岸岸上上住住有有一一个个渔渔人人：他他的的房房子子在在A点点，从从A点点到到他他离离湖湖最最近近的的C点点之之距距离离为为 h，而而到到湖湖湾湾的的一一头头，即即到到D点点之之距距离离为为湖湖对对岸岸B点点处处有有渔渔人人好好友友的的房房子子，点点B位位置置与与A点点相相对对湖湖岸岸对对称称渔渔人人拥拥有有一一只只小小船船，他他可可以以速速度度沿沿岸岸步步行行或或以以速速度度v/2乘乘船船在在湖湖中中划划行行，他他从从自自己己家家出出发发到到好好友家里去求他需要的最短时间友家里去求他需要的最短时间 i 从从BC看到压在玻璃棱镜下的文看到压在玻璃棱镜下的文字，需有进入棱镜的光从字，需有进入棱镜的光从AC面折面折射到报纸，经由纸面反射回棱镜射到报纸，经由纸面反射回棱镜再出射到观察者视场中！若投射再出射到观察者视场中！若投射到到AC面某部分的光发生了全反射，面某部分的光发生了全反射，其下面文字就看不见了；其下面文字就看不见了；如如图图,等等腰腰直直角角玻玻璃璃镜镜的的底底面面ACAC和和侧侧面面BCBC是是光光滑滑的的,而而侧侧面面ABAB是是毛毛糙糙的的，棱棱镜镜的的底底面面放放在在报报纸纸上上,一一位位观观察察者者从从光光滑滑面面BCBC 看看去去,只只看看见见报报纸纸上上一一篇篇文文章章的的一一部部分分，这这可见部分与应见部分之比为可见部分与应见部分之比为 k=0.95(按面积按面积),),求玻璃的折射率求玻璃的折射率 由几何关系，在三角形由几何关系，在三角形ADB中有中有，ABCaD 设全反射临界角为设全反射临界角为,从从BCBC面最上面最上端进入的光线端进入的光线BDBD恰发生全反射，则恰发生全反射，则ADAD间没有射向报纸的光线，是看不间没有射向报纸的光线，是看不到文字的区域，即有到文字的区域，即有 假假定定你你站站在在水水平平的的大大沙沙漠漠上上在在远远处处，你你会会看看见见好好似似水水面面的的东东西西，当当你你靠靠近近“水水面面”时时，它它会会同同时时后后退退，并并保保持持你你同同它它的的距距离离不不变变，试试解解释释这这一一现现象象假假定定你你的的两两眼眼离离地地面面1.6m，且且你你同同“水水面面”的的距距离离保保持持为为250 m，试试计计算算地地表表温温度度空空气气在在15，一一个个大大气气压压下下的的折折射射率率为为1.0002760，假假定定在在距距地地面面1 m以以上上空空气气温温度度恒恒为为30，大大气气压压强强为为0.1013 MPa折折射射率率用用n表表示示，并并假假定定(n-1)同同空气密度成正比空气密度成正比 由于由于(n-1)，温度，温度T越高，空气密度越小，折越高，空气密度越小，折射率也越小，大沙漠地表射率也越小，大沙漠地表温度较高，高处景物（例温度较高，高处景物（例如白云）的光自上向下行如白云）的光自上向下行进，连续从光密介质向光进，连续从光密介质向光疏介质折射，在地面附近疏介质折射，在地面附近发生全反射，反射光进入发生全反射，反射光进入人眼的结果是看到了景物人眼的结果是看到了景物的虚像，形似水面的虚像，形似水面沙漠蜃景沙漠蜃景解答解答，n0,T0n30,T301m1.6m250m 根据克拉珀龙方根据克拉珀龙方程，压强一定时有程，压强一定时有，若要求此光束进入长方体能射至若要求此光束进入长方体能射至AD面面上，折射光至少能射至上，折射光至少能射至D点：点：DABCrP 若要求此光束能在若要求此光束能在AD面上全反射，应满足面上全反射，应满足 如示：如示：图中的矩形图中的矩形ABCD代表一个折射率为代表一个折射率为n的透明长方体，其四周介质的透明长方体，其四周介质的折射率为的折射率为1，一束单色细光束以角，一束单色细光束以角入射至入射至AB面上的面上的P点，点，不考虑不考虑在长方体内的二次及二次以上的多次折射，试解下面三个问题在长方体内的二次及二次以上的多次折射，试解下面三个问题:若要求此光束进若要求此光束进入长方体能射至入长方体能射至AD面上，角面上，角的最小值的最小值min应为多大？应为多大？若要求此光束能在若要求此光束能在AD面面上全反射，角上全反射，角应在什么范围内？长方体的折射率应在什么范围内？长方体的折射率n应在什么范围内？应在什么范围内？画出角画出角小小于上问中许可的最小角及大于上问中许可的最大角时的光路图于上问中许可的最小角及大于上问中许可的最大角时的光路图.，2fR若将此透镜的平面镀银，若将此透镜的平面镀银，其作用要等同于一个焦距其作用要等同于一个焦距是是30 cm 30 cm 的凹面镜，应使的凹面镜，应使主轴上距球面顶点主轴上距球面顶点2 2f f的物的物点发出的光进入球内后与点发出的光进入球内后与镀银平面垂直地入射，则镀银平面垂直地入射，则反射后光反向沿原路径到反射后光反向沿原路径到达主轴上物点处，即等效达主轴上物点处，即等效于凹面镜过曲率中心的光于凹面镜过曲率中心的光线反射后仍过曲率中心线反射后仍过曲率中心 有一薄凸透镜，凸面曲率半径有一薄凸透镜，凸面曲率半径R=30 cm，如图所示已知在利，如图所示已知在利用近轴光线成像时：用近轴光线成像时：若将此透镜的平面镀银，其作用等同于一个焦距是若将此透镜的平面镀银，其作用等同于一个焦距是30 cm 的的凹面镜凹面镜；若将此透镜的凸面镀银，其作用也等同于一个凹面镜求在若将此透镜的凸面镀银，其作用也等同于一个凹面镜求在情况下情况下的等效凹面镜的焦距的等效凹面镜的焦距 由图示几何关系得由图示几何关系得对近轴光线，由几何关系得对近轴光线，由几何关系得续解续解，xR若将此透镜的凸面镀银，其作用也要若将此透镜的凸面镀银，其作用也要等同于一个凹面镜，应使进入镜中的等同于一个凹面镜，应使进入镜中的光沿凸面的径向射至镀银球面，则反光沿凸面的径向射至镀银球面，则反射后光沿原路径返回，设等效凹面镜射后光沿原路径返回，设等效凹面镜曲率半径为曲率半径为x由图示几何关系得由图示几何关系得对近轴光线，由几何关系得对近轴光线，由几何关系得查阅查阅 有一薄透镜如图示，有一薄透镜如图示，S1面是旋转椭球面（椭圆绕长轴旋转而成面是旋转椭球面（椭圆绕长轴旋转而成的曲面），其焦点为的曲面），其焦点为F1和和F2；S2面是球面，其球心面是球面，其球心C与与F2重合已知此透镜放在空重合已知此透镜放在空气中时能使从无穷远处位于椭球长轴的物点射来的全部入射光线（不限于傍轴光气中时能使从无穷远处位于椭球长轴的物点射来的全部入射光线（不限于傍轴光线）会聚于一个像点上，椭圆的偏心率为线）会聚于一个像点上，椭圆的偏心率为e求此透镜材料的折射率求此透镜材料的折射率n（要论证）（要论证）；如果将此透镜置于折射率为如果将此透镜置于折射率为n的介质中，并能达到上述的同样的要求，椭圆应的介质中，并能达到上述的同样的要求，椭圆应满足什么条件？满足什么条件？专题专题24-例例7符合要求的透镜形成光路如示符合要求的透镜形成光路如示S1S2F2F1CO1ir 由几何关系由几何关系透镜置于折射率为透镜置于折射率为n1的介质中时的介质中时NCEABOFKG 如如图图表表示示一一条条光光线线经经过过薄薄会会聚聚透透镜镜折折射射的的光光路路ABC和和透透镜镜的的后后焦焦点点F试试用用圆圆规规和和直直尺尺，作作出出透透镜镜所所在位置和它的主光轴在位置和它的主光轴 连接连接B、F两点；两点；以以BF为直径作圆；为直径作圆；延长入射线延长入射线AB；用有刻度的直尺零刻线对准点用有刻度的直尺零刻线对准点F，以，以F 为轴转动为轴转动直尺，当直尺，当FK=GE时，作线段时，作线段EF；过过F点作点作EF的垂线为主轴，的垂线为主轴，与圆交于与圆交于O即为光心；即为光心；OB为透镜所在位置为透镜所在位置 BGEF则OKAB为副光轴 EF为焦平面为焦平面AB经透镜折射后的光线过副焦点经透镜折射后的光线过副焦点K，即为，即为BC，LODEGCAB根据题意根据题意BDBD放大率为放大率为根据公式根据公式 利利用用薄薄凸凸透透镜镜得得到到三三齿齿的的像像，如如图图三三齿齿ABCEDG的的底底边边AC位位于于主主光光轴轴上上，AB=BCAB部部分分成成像像放放大大率率1=6，而而BC部部分分的的放放大大率率2=3，试试求求BD部部分分成成像像的放大率的放大率，S1S2物直接经透镜成放大虚像物直接经透镜成放大虚像物经平面镜的反射光再经透镜成放大实像物经平面镜的反射光再经透镜成放大实像设前一像之像距设前一像之像距v1，后一像之像距，后一像之像距v2，蜡烛距透镜，蜡烛距透镜u，则，则两像放大率为两像放大率为 在在不不透透光光的的箱箱内内直直立立着着一一根根蜡蜡烛烛，箱箱的的后后壁壁是是平平面面镜镜，前前壁壁嵌嵌有有透透镜镜，如如图图，箱箱长长为为L，在在这这光光具具组组中中观观察察到到蜡蜡烛烛火火焰焰的两个像，并且像的大小相等试求透镜的焦距的两个像，并且像的大小相等试求透镜的焦距，物、像位置重合是平面镜使光路可逆而成！物、像位置重合是平面镜使光路可逆而成！LOLO由透镜成像公式：由透镜成像公式：凸凸透透镜镜后后面面距距离离L=4 cm（大大于于焦焦距距）处处放放置置一一块块垂垂直直于于主主光光轴轴的的平平面面镜镜，透透镜镜前前面面垂垂直直于于主主光光轴轴放放一一页页方方格格纸纸，如如图图当当这这页页纸纸相相对对透透镜镜移移动动两两个个位位置置时时（这这两两个个位置相距位置相距=9 cm），纸上均得到其方格的像试求凸透镜的焦距），纸上均得到其方格的像试求凸透镜的焦距，F2L1L2F1对对L1成成S的的等大倒立实像等大倒立实像:对对L2成成S1的的缩小倒立实像缩小倒立实像:SS2L3S1 如如图图所所示示的的薄薄透透镜镜系系统统中中，透透镜镜L1和和L2的的焦焦距距f1=f2=10 cm，两两透透镜镜的的间间距距为为70 cm，物物在在L1的的前前方方20 cm处处，试试求求最最后后像像的的位位置置、大大小小与与正正倒倒；为为提提高高光光能能利利用用率率（增增加加系系统统的的聚聚光光能能力力以以增增加加像像亮亮度度），可可增增加加第第三三个个会会聚聚透透镜镜L3，为为了了使使最最后后像像的的位位置置仍仍保保持持不不变变，试试问问L3应应放放在在何何处处？试试借借助助特特殊殊光光线线用用作图法解释作图法解释L3能提高聚光能力的原因。能提高聚光能力的原因。yO1-sn1n2xhPCOAB根据费马原理可以推论，任一发光点所发光束经球面折射后根据费马原理可以推论，任一发光点所发光束经球面折射后能成像于一点的条件是，从物点到达像点的所有光线的光程能成像于一点的条件是，从物点到达像点的所有光线的光程都相等都相等d-R2-sn1n2OABnR1P对球面对球面AOB运用球面折射公运用球面折射公式式:对球面对球面AOB运用球面折射公式运用球面折射公式:薄透镜薄透镜d0 物方焦距物方焦距 像方焦距像方焦距 专题专题24-例例5hn对球面所成第对球面所成第1个像运用高个像运用高斯公式斯公式:其中其中2R即球面一次折射后成平行光即球面一次折射后成平行光!被平面镜反射后仍为平行光再次由球面折射被平面镜反射后仍为平行光再次由球面折射:如如图图所所示示,一一玻玻璃璃半半球球的的曲曲率率半半径径为为R R，折折射射率率n=1.5，其其平平面面的的一一边边镀镀银银一一物物高高为为h，放放在在曲曲面面顶顶点点前前2R处处求求由由球球面面所所成成的的第第一一个个像像的的位位置置；这这一一光光具具组组的的最后一个像在哪里最后一个像在哪里?专题专题24-例例6 水水中中的的发发光光体体位位于于距距盛盛水水器器皿皿壁壁x处处，从从外外面面往往器器皿皿壁壁上上贴贴一一个个平平凸凸透透镜镜，透透镜镜在在空空气气中中的的焦焦距距等等于于f透透镜镜和和器器皿皿壁壁是是非非常常薄薄的的，水水的的折折射射率率为为 ，而而玻玻璃璃的的折折射射率率 物物体体位位于于透透镜镜的的主主光光轴轴上上求求出出并并讨讨论论像像的的位位置置y与与物物体体的的位位置置x的的关关系系作作为为特特例例，求求出出xf时时的的像像的的位位置置和和放放大大倍倍数数如如果果透透镜镜是是贴贴在在器器皿皿内内壁壁，那时候情况是否变化？怎样变化？那时候情况是否变化？怎样变化？n水水n0Pn玻玻-R-x透镜在空气中焦距为透镜在空气中焦距为f由薄透镜成像普适公式由薄透镜成像普适公式续解续解透镜是贴在器皿内壁的透镜是贴在器皿内壁的Pn水水n0n玻玻由薄透镜成像普适公式由薄透镜成像普适公式-xR 如图所示，两个完全相同的球面薄表壳玻璃合在一起，中空，如图所示，两个完全相同的球面薄表壳玻璃合在一起，中空，其中一块涂银成为球面反射镜屏上小孔其中一块涂银成为球面反射镜屏上小孔Q为点光源，它发出的光经反射后成像于为点光源，它发出的光经反射后成像于 点调整屏与表壳间的距离点调整屏与表壳间的距离L，当，当L=20 cm时，像点正好落在屏上然后在表壳玻时，像点正好落在屏上然后在表壳玻璃间注满折射率的水试问，当璃间注满折射率的水试问，当L为何值时，像点仍落在屏上？为何值时，像点仍落在屏上？设设球面曲率半径球面曲率半径R,当当L=20cm时时,球面镜反射成像物距球面镜反射成像物距等于像距等于像距,由球面镜反射成像公式由球面镜反射成像公式QLR在表壳玻璃间注水在表壳玻璃间注水使成一水凸透镜使成一水凸透镜!n0n水水n0其像方焦距由R续解续解RQn0n水水n0RQ Q对水透镜一次成像对水透镜一次成像Q Q1 1,由薄透镜成像公式由薄透镜成像公式Q Q1 1对球面镜二次成像对球面镜二次成像Q Q2 2Q Q2 2对水透镜三次成像在屏对水透镜三次成像在屏查阅查阅 如图所示，薄壁球形玻璃鱼缸的半径为如图所示，薄壁球形玻璃鱼缸的半径为R，所盛水的折射率，所盛水的折射率n4/3鱼缸左侧与轴线垂直的平面反射镜离球心的距离为鱼缸左侧与轴线垂直的平面反射镜离球心的距离为3R一条位于左球面顶点一条位于左球面顶点 处的小鱼沿缸壁以速度处的小鱼沿缸壁以速度v游动从鱼缸右侧观察鱼的直接像与反射像（先经平面镜游动从鱼缸右侧观察鱼的直接像与反射像（先经平面镜反射，再经鱼缸所成的像）试求两像之间的相对速度反射，再经鱼缸所成的像）试求两像之间的相对速度 R3RPO俯视直接成像光路俯视直接成像光路-2Rri由球面折射高斯公式由球面折射高斯公式-3R对近轴光线，由几何关系得对近轴光线，由几何关系得2r-i俯视反射像光路俯视反射像光路P1P2-4R由球面折射高斯公式由球面折射高斯公式P3PO续解续解OP4RP3P1P2v2v3vv查阅查阅