偏导数几何的应用.pptx
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1、1/27一、空间曲线的切线与法平面一、空间曲线的切线与法平面二、曲面的切平面与法线二、曲面的切平面与法线第七节第七节 偏导数的几何应用偏导数的几何应用三、小结三、小结四、作业四、作业2/27设空间曲线的方程设空间曲线的方程(1)式中的三个函数均式中的三个函数均可导可导.1.空间曲线的方程为参数方程空间曲线的方程为参数方程一、空间曲线的切线与法平面一、空间曲线的切线与法平面3/27考察割线趋近于极限位置考察割线趋近于极限位置上式分母同除以上式分母同除以割线割线 的方程为的方程为切线的过程切线的过程4/27曲线在曲线在M处的切线方程处的切线方程切向量切向量法平面法平面切线的方向向量称为曲线在点切线
2、的方向向量称为曲线在点 M 处的切向量处的切向量.过过M点且与切线垂直的平面点且与切线垂直的平面.5/27解解.切线方程切线方程法平面方程法平面方程例例1.1.即即6/27设曲线直角坐标方程为设曲线直角坐标方程为法平面方程为法平面方程为2.空间曲线的方程为空间曲线的方程为曲线的参数方程是曲线的参数方程是由前面得到的结果由前面得到的结果,在在M(x0,y0,z0)处处,令令切线方程为切线方程为x为参数为参数,两个柱面两个柱面的交线的交线7/27例例2.2.在抛物柱面在抛物柱面 与与 的交线上的交线上,求对应求对应 的点处的的点处的切向量切向量.x为参数为参数,于是于是 解解.所以交线上与所以交线
3、上与对应点的切向量为对应点的切向量为:交线的参数方程为交线的参数方程为取取8/27设空间曲线方程为设空间曲线方程为3.空间曲线的方程为空间曲线的方程为确定了隐函数确定了隐函数(此曲线方程仍可用方程组此曲线方程仍可用方程组 两边分别对两边分别对表示表示.)x求全导数求全导数:两个曲面两个曲面 的交线的交线9/27 利用利用2.结果结果,10/27法平面方程为法平面方程为切线方程为切线方程为在点在点 M(x0,y0,z0)处的处的11/27解解.例例3.3.切线方程和法平面方程切线方程和法平面方程.切线方程切线方程 将所给方程的两边对将所给方程的两边对x求导求导法一法一12/27法平面方程法平面方
4、程法二法二13/27法三法三 公式法公式法14/27设曲线设曲线证证.因原点因原点即即于是于是证明此曲线必在以原点为证明此曲线必在以原点为的的法平面都过原点法平面都过原点,在任一点在任一点中心的某球面上中心的某球面上.曲线过该点的法平面方程为曲线过该点的法平面方程为故有故有 在法平面上在法平面上,任取曲线上一点任取曲线上一点例例4.4.15/27 今在曲面今在曲面上任取一条上任取一条1.设曲面设曲面的方程为的方程为的情形的情形隐式方程隐式方程二、曲面的切平面与法线二、曲面的切平面与法线 函数函数的偏导数在该点连续且不同的偏导数在该点连续且不同 时为零时为零.点点M 对应于参数对应于参数 不全为
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