东华理工大学概率论与数理统计练习册答案-61153---副本.doc
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1、东华理工大学概率论与数理统计练习册答案-61153-副本- 40 - 第一章 概率论的基本概念一、选择题1答案:(B)2. 答案:(B)解:AUB表示A与B至少有一个发生,-AB表示A与B不能同时发生,因此(AUB)(-AB)表示A与B恰有一个发生 3答案:(C)4. 答案:(C) 注:C成立的条件:A与B互不相容.5. 答案:(C) 注:C成立的条件:A与B互不相容,即.6. 答案:(D) 注:由C得出A+B=.7. 答案:(C)8. 答案:(D) 注:选项B由于9.答案:(C) 注:古典概型中事件A发生的概率为.10.答案:(A)解:用A来表示事件“此个人中至少有某两个人生日相同”,考虑A
2、的对立事件“此个人的生日各不相同”利用上一题的结论可知,故.11.答案:(C)12.答案:(B)解:“事件A与B同时发生时,事件C也随之发生”,说明,故;而故.13.答案:(D)解:由可知故A与B独立.14.答案:(A)解:由于事件A,B是互不相容的,故,因此P(A|B)=.15.答案:(D)解:用A表示事件“密码最终能被译出”,由于只要至少有一人能译出密码,则密码最终能被译出,因此事件A包含的情况有“恰有一人译出密码”,“恰有两人译出密码”,“恰有三人译出密码”,“四人都译出密码”,情况比较复杂,所以我们可以考虑A的对立事件“密码最终没能被译出”,事件只包含一种情况,即“四人都没有译出密码”
3、,故.16.答案:(B)解:所求的概率为注:.17.答案:(A)解:用A表示事件“取到白球”,用表示事件“取到第i箱”,则由全概率公式知.18.答案:(C)解:用A表示事件“取到白球”,用表示事件“取到第i类箱子”,则由全概率公式知.19.答案:(C)解:即求条件概率.由Bayes公式知.二、填空题1.(正,正,正),(正,正,反),(正,反,反),(反,反,反),(反,正,正),(反,反,正),(反,正,反),(正,反,正)2.或30.3,0.5解:若A与B互斥,则P(A+B)=P(A)+P(B),于是P(B)=P(A+B)-P(A)=0.7-0.4=0.3;若A与B独立,则P(AB)=P(
4、A)P(B),于是由P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)-P(A)P(B),得.4.0.7解:由题设P(AB)=P(A)P(B|A)=0.4,于是P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.5+0.6-0.4=0.7.5.0.3解:因为P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB),又,所以.6.0.6解:由题设P(A)=0.7,P()=0.3,利用公式知=0.7-0.3=0.4,故.7.7/12解:因为P(AB)=0,所以P(ABC)=0,于是.8.1/4解:因为由题设,因此有,解得P(A)=3/4或P(A)=1/4,又题设P(A)1/2,故P(A)=1/4.
5、9.1/6解:本题属抽签情况,每次抽到次品的概率相等,均为1/6,另外,用全概率公式也可求解.10.解:这是一个古典概型问题,将七个字母任一种可能排列作为基本事件,则全部事件数为7!,而有利的基本事件数为,故所求的概率为.11.3/7解:设事件A=抽取的产品为工厂A生产的,B=抽取的产品为工厂B生产的,C=抽取的是次品,则P(A)=0.6,P(B)=0.4,P(C|A)=0.01,P(C|B)=0.02,故有贝叶斯公式知.12.6/11解:设A=甲射击,B=乙射击,C=目标被击中,则P(A)=P(B)=1/2,P(C|A)=0.6,P(C|B)=0.5,故.四、 。解:由由乘法公式,得由加法公
6、式,得第二章 随机变量及其分布一、选择题1.答案:(B)注:对于连续型随机变量X来说,它取任一指定实数值a的概率均为0,但事件X=a未必是不可能事件.2.答案:(B)解:由于X服从参数为的泊松分布,故.又故,因此.3.答案:(D)解:由于X服从上的均匀分布,故随机变量X的概率密度为.因此,若点,则.,.4 答案:(C)解:由于故由于而,故只有当时,才有;正态分布中的参数只要求,对没有要求.5.答案:(A)解:由于,故,而,故;由于,故.6.答案:(B)解:这里,处处可导且恒有,其反函数为,直接套用教材64页的公式(5.2),得出Y的密度函数为.7.答案:(D)注:此题考查连续型随机变量的概率密
7、度函数的性质.见教材51页.8.答案:(C)解:因为,所以,.9.答案:(B)解:由于,所以的概率密度函数为偶函数,其函数图形关于y轴对称,因此随机变量落在x轴两侧关于原点对称的区间内的概率是相等的,从而马上可以得出.我们可以画出函数的图形,借助图形来选出答案B.也可以直接推导如下:,令,则有10.答案:(A)解:.11.答案:(B)解:.12.答案:(D)解:对任意的;选项C描述的是服从指数分布的随机变量的“无记忆性”;对于指数分布而言,要求参数.13.答案:(A)解:选项A改为,才是正确的;.14.答案:(B)解:由于随机变量X服从(1,6)上的均匀分布,所以X的概率密度函数为.而方程有实
8、根,当且仅当,因此方程有实根的概率为.二、填空题1.2.解:由规范性知.3.解:由规范性知.4.解:因为,所以只有在F(X)的不连续点(x=-1,1,2)上PX=x不为0,且P(X=-1)=F(-1)-F(-1-0)=a,PX=1=F(1)-F(1-0)=2/3-2a,PX=2=F(2)-F(2-0)=2a+b-2/3,由规范性知1=a+2/3-2a+2a+b-2/3得a+b=1,又1/2=PX=2=2a+b-2/3,故a=1/6,b=5/6.5.解:由于,所以X的概率密度为,故.6.;7.解:.8.解:由.90解:故.第三章 多维随机变量及其分布一、选择题1.答案:(A)解:要使是某个随机变
9、量的分布函数,该函数必须满足分布函数的性质,在这里利用这一性质可以得到,只有选型A满足条件.2.答案:(A)解:由可知,故又由联合分布律与边缘分布律之间的关系可知:故.3.答案:(D)解:联合分布可以唯一确定边缘分布,但边缘分布不能唯一确定联合分布,但如果已知随机变量X与Y是相互独立的,则由X与Y的边缘分布可以唯一确定X与Y的联合分布.4.答案:(A)解:由问题的实际意义可知,随机事件与相互独立,故;,而事件又可以分解为15个两两不相容的事件之和,即故.5.答案:(B)解:当时,且X和Y相互独立的充要条件是;单由关于S和关于T的边缘分布,一般来说是不能确定随机变量S和T的联合分布的.6.答案:
10、(C)解:(方法1)首先证明一个结论,若,则.证明过程如下(这里采用分布函数法来求的概率密度函数,也可以直接套用教材64页的定理结论(5.2)式):由于故这表明也服从正态分布,且.所以这里.再利用结论:若与相互独立,且,则.便可得出;;.(方法2)我们还可以证明:有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布,且若,则故;;.7.答案:(A)解:由于,所以,故,而,所以.8.答案:(D)解:由联合概率密度函数的规范性知.9.答案:(A)解:.10.答案:()解:由联合概率密度函数的规范性知12.答案:(C)解:用D表示以(0,0),(0,2),(2,1)为顶点所形成的三角形区域,用G表
11、示矩形域,则所求的概率为.13.答案:(B)解:利用结论:有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布,且若,则因此;.令,由教材64页定理结论中的(5.2)式可知,Z的概率密度函数为,故.二、填空题1.F(b,c)-F(a,c);F(a,b);F(+,a)-F(+,0);F(+,b)-F(a,b).2.3.解:,故.4.05.解:P(X=Y)=P(X=-1, Y=-1)+ P(X=1, Y=1)= P(X=-1)P(Y=-1)+ P(X=1)P(Y=1)=(1/2)(1/2)+ (1/2)(1/2)=1/2;P(X+Y=0)= P(X=-1, Y=1)+ P(X=1, Y=-1)=
12、 P(X=-1)(Y=1)+ P(X=1)P(Y=-1)=(1/2)(1/2)+ (1/2)(1/2)=1/2;P(XY=1)=P(X=-1, Y=-1)+ P(X=1, Y=1)= P(X=-1)P(Y=-1)+ P(X=1)P(Y=1)=(1/2)(1/2)+ (1/2)(1/2)=1/2.三、设随机变量(X,Y)概率密度为(1)确定常数k。(2)求P X1, Y3(3)求P (X1.5(4)求P (X+Y4分析:利用P (X, Y)G=再化为累次积分,其中解:(1),(2)(3)(4)四、设二维随机变量(X,Y)的概率密度为(1)试确定常数c。(2)求边缘概率密度。解: l= 第四章 随
13、机变量的数字特征一、选择题1答案:(D)解:由于,所以,故. 2.答案:(D)解: 3.答案:(D)解:,故;,故;,故;,但不能说明X与Y独立. 4.答案:(C)解:由于X,Y独立,所以2X与3Y也独立,故. 5.答案:(C)解:当X,Y独立时,;而当X,Y独立时,故;. 6.答案:(C)解:,当X,Y独立时,可以得到而,即X,Y不相关,但不能得出X,Y独立;,故;,故. 7.答案:(D)解:,即X,Y不相关. 8.答案:(A)解:,即X,Y不相关. 9.答案:(C)解:成立的前提条件是X,Y相互独立;当X,Y相互独立时,有,即成立的充分条件是X,Y相互独立;而即X,Y不相关,所以成立的充要
14、条件是X,Y不相关;. 10.答案:(D)解:由;.11.答案:(B)解:由;是一个确定的常数,所以.12.答案:(D)解:13.答案:(B)解:,故.14.答案:(C)解:.15.答案:(B)解:由于当时,故这里.16.答案:(A)解:由于,所以,又因为,所以,而与的独立性未知,所以的值无法计算,故的值未知.17.答案:(C)解:由于(X,Y)服从区域上的均匀分布,所以(X,Y)的概率密度为,则.18.答案:(D)解:令,则有,但不一定有.19.答案:(A)解:由题意知,故Y服从参数为3和1/4的二项分布,即,因此.20.答案:(D)解:,只有当X与Y独立时,才有.二、填空题1.解:由题设=
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