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两角和与差的三角函数及倍角公式的综合运用

高一数学
一、本讲教学内容
两角和与差的三角函数及倍角公式的综合运用
二、典型例题选讲
例1 已知
求证：
分析 注意到已知条件中的角、与欲证等式中的角、的关系：因此可用两角和与差的正弦公式变形，再用已知条件代入进行证明.
证：==
=
评析 本题也可以由已知得，代入右边，得

例2 已知求的取值范围.
分析 难以直接用的式子来表达，因此设，并找出应满足的等式，从而求出的取值范围.
解 令，① 由已知，. ②
①2+②2 ：

即
例3 求函数的值域
分析 的解析式中既有，又有，若由将表示成或将表示成，都会出现根式，且需要讨论符号，因此这种做法不可取.注意到，因此可作代换：则和都可以用表示，就可以变形为的二次函数，再由二次函数在闭区间上的值域就可以求得的值域.
解 令 则

当 当
的值域为
评析 相应于，还有更一般的情况：
∴可以设
则，并由此可求出的取值范围.如设则若则
例4 已知且、、均为钝角，求角的值.
①
②
解 由已知，
①2+②2：

评析 仅由，不能确定角的值，还必须找出角的范围，才能判断的值. 由单位圆中的余弦线可以看出，若使的角为或若则或
例5 已知求的值.
分析 因，所以只要求出和的值.由已知，，所以如能由求出的值，即可求得的值.
解
，

评析 一般地，和之间有关系：或写成

例6 已知，求的值.
分析 由可以求出的三角函数，因此需要把欲求值的式子变形为关于的三角函数的式子.
解

评析 与类似，有
例7 已知求的值.
分析 由例6评析，因此希望把也变形为和的三角函数.
解 =
.
= ， ==

评析 若令，则由上述解题过程可知，，类似地有
例8 求值：（1） （2）
分析 （1）为特殊角，，因此有，

（2）为特殊角，，因此有
解 （1）==
=

==
（2）=
=

练 习
一、选择题
1．等于 （ ）
A． B． C． D．
2．已知，且，则的值等于 （ ）
A． B． C． D．
3．已知，则等于 （ ）
A． B． C． D．
4．下列式子中不正确的是 （ ）
A． B．
C． D．
5．已知，则的值等于 （ ）
A． B． C． D．
6．已知，且是第三象限角，则的值是
A． B． C．或 D．或
二、填空题
7．求值：= .
8．已知，则角是第 象限角.
9．已知、、均为锐角，且，则= .
10．求值：= .
三、解答题
11．求值：（1） （2）
12．已知，求的值.
13．求证：（1） （2）
（3）
14．（1）已知求
（2）已知求

答案与提示
[答案]
一、1．B 2． A 3．C 4．D 5．D 6．A
二、7． 8．四 9． 10．2
三、11．（1）， （2） 12． 13．略
14．（1） （2）
[提示]
一、1．
4． =
+=
5．
6．是第三象限角，
二、8.
9. 、、

10..
三、11．（1）
（2）
12．
13．（1）
（2）==
（3）=
=
14．（1） ① 　②
①2+②2： ，
（2） ① ②
①+② ： ③　 　①－② ： ④
2
2

④
③ ：