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七年级数学实数单元知识点总结以及经典例题

第六课时 实数
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1、平方根
①算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a ,即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根.a的算术平方根记为 ，读作“根号a”，a叫做被开方数。
规定：0的算术平方根是0.
结论：对于所有正数而言，被开方数越大，对应的算术平方根也越大。
②平方根：一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根。这就是说，如果x2=a ，那么x叫做a的平方根。求一个数a的平方根的运算，叫做开平方。
结论：
⑴正数的平方根有两个，他们互为相反数，其中正的平方根就是这个数的算术平方根。⑵因为02=0，并且任何一个不为0的数的平方都不等于0，所以0的平方根也是0.
⑶正数的平方是正数，0的平方是0，负数的平方也是正数，即任何一个数的平方都不会是负数，所以负数没有平方根。

★总结：⑴一个正数有两个平方根，它们互为相反数；
⑵零有一个平方根，它是零本身；
⑶负数没有平方根。
由于平方与开平方互为逆运算，因此可以通过平方运算来求一个数的平方根，也可以通过平方运算来检验一个数是不是另一个数的平方根。
★一个数的平方根的表示方法：

例1、检验下面各题中前面的数是不是后面的数的平方根。
（1）±12 , 144 （2）±0.2 , 0.04
（3）102 ，104 （4）14 ，256
例2、0.01的平方根是（ ）
（A）0.1 （B）±0.1 （C）0.0001 （D）±0.0001
例3、∵ （0.3）2 = 0.09 ∴ （ ）
（A）0.09 是 0.3的平方根. （B）0.09是0.3的3倍.
（C）0.3 是0.09 的平方根. （D）0.3不是0.09的平方根.
例4、判断下列说法是否正确：
（1）－9的平方根是－3; （2）49的平方根是7 ；
（3）（－2）2的平方根是±2 ； （4）1 的平方根是 1 ； （5）－1 是 1的平方根; （6）7的平方根是±49.
（7）若X2 = 16 则X = 4
例5、
（1）9的算术平方根是
（2） 的算术平方根是
（3）0.01的算术平方根是
（4）算术平方根等于它本身的是
例6、若一个数的平方根与它算术平方根的值相同，则这个数是（ ）
A．1 B．0 C．0或1 D． 1、0或-1

2、立方根
①定义：一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根。这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根。求一个数的立方根的运算，叫做开立方。正如开平方与平方互为逆运算一样，开立方与立方也互为逆运算。我们可以根据这种关系求一个数的立方根。

②若x是a的立方根，则说明x3＝a，其中a的立方根记为， ，读作“三次根号a”，其中a是被开方数，3是根指数。中的根指数3不能省略。（说明：算术平方根的符号，实际上省略了 中的根指数2.因此也可读作“二次根号a”。）
注意：a的取值范围是全体实数！！（即a可以是正数，也可以是负数，还可以为0.
③立方根的特征：
⑴任何一个数 a 都只有一个立方根；
⑵正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0的立方根是0；
⑶互为相反数的数的立方根也互为相反数。
★归纳平方根和立方根的异同点：

相同点: ①0的平方根、立方根都有一个是0
②平方根、立方根都是开方的结果。
不同点：①定义不同 ②个数不同
③表示方法不同 ④被开方数的取值范围不同
★立方和开立方是互逆运算：
平方和开平方是互逆运算：
★思考：立方根是它本身的数是______.平方根是它本身的数是__ .算术平方根是它本身的数是______.
例1、求下列各数的立方根：

例2、

例3、

例4、下列语句对吗?
(1)0.0027的立方根是0.03
(2)0.009的平方根是0.3
(3)一个数的立方根等于这个数的立方,那么这个数为1,0,-1.
⑷任何有理数都有立方根，它不是正数就是负数
⑸非负数的立方根还是非负数
⑹一个数的平方根与其立方根相同，则这个数是1
例5、分别求下列各式的值：

★解这类题时，当被开方数是负数时，一般先利用立方根的性质 进行化简；当被开方数很复杂时，必须先进行整理后再求值。
例6、填空：
(1)1的平方根是____；立方根为____；算术平方根为__．
(2)平方根是它本身的数是____ ．
(3)立方根是其本身的数是____ ．
(4)算术平方根是其本身的数是___ _ ．
⑸将一个立方体的体积扩大到原来的8倍，则它的棱长扩大到原来的_____倍。

★例7、观察下面的运算，请你找出其中的规律：

规律是：
①被开方数每扩大 倍，其结果就扩大 倍；
②被开方数每缩小 倍，其结果就缩小 倍。
反之也成立。

例8、估计68的立方根的大小在（ ）
A、2与3之间 B、3与4之间 C、4与5之间 D、5与6之间
例9、 的整数部分是( )，小数部分是( )
的整数部分是( )，小数部分是( )
例10、比较大小：3、4、

3、实数
①有理数的小数形式：任何一个有理数都能写成有限小数或无限循环小数的形式；反过来任何有限小数或无限循环小数也都是有理数；
②无理数的引入：通过平方根和立方根的学习，我们知道很多数的平方根和立方根都是无限不循环小数，无限不循环小数又叫无理数。例如 、 、 、 等都是无理数，π=3.14159265……也是无理数。像有理数一样，无理数也有正负之分。例如 、 、 、π是正无理数， 、 、—π是负无理数。
③实数：有理数和无理数统称为实数。
④实数的分类：

⑤实数与数轴上的点是一一对应的：
⑴每一个有理数都可以用数轴上的点表示；
⑵每一个无理数都可以用数轴上的点表示；
⑥有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数
⑴相反数：数a的相反数是-a，这里a表示任意一个实数。
⑵绝对值：一个正实数的绝对值是它本身，一个负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0.即设a表示一个实数，则

⑦实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数以及0可以进行开平方运算，任何一个实数可以进行开立方计算。在进行实数的运算时，有理数的运算法则以及运算性质等同样适用。
例1、下列各数中，哪些是有理数，哪些是无理数？

例2、判断：
⑴实数不是有理数就是无理数。（ ）
⑵无理数都是无限不循环小数。（ ）
⑶无理数都是无限小数。（ ）
⑷带根号的数都是无理数。（ ）
⑸无理数一定都带根号。（ ）
⑹两个无理数之积不一定是无理数。（ ）
⑺两个无理数之和一定是无理数。（ ）
例3、填空：的相反数是 ； 相反数是 ；0的相反数是 ；
例4、(1)求 的绝对值;
(2)已知一个数的绝对值是，这个数。
例5、的值是( )
A .5 B.-1 C. D.
例6、下列各数中，互为相反数的是( )

例7、设 对应数轴上的点是A， 对应数轴上的点是B，那么A、B间的距离是 。
例8、在数轴上与原点的距离是 的点所表示的数是 。
例9、把下列各数分别填在相应的集合中：
3.14， 1.732， 0，
有理数｛ …｝
无理数｛ …｝
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