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一阶微分方程第二节 一阶微分方程一阶微分方程的一般形式为F(x,y,y)0或y=f(x,y)，其中F(x,y,y)是x，y，y的已知函数，f(x,y)是x，y的已知函数这一节只介绍几种较简单的一阶微分方程的解法它们通过求积分就可以找到未知函数与自变量的函数关系，我们称这种求解微分方程的方法为初等积分法一、 可分离变量的方程形如=f(x)g(y) (10-2-1)或M1(x)M2(y)dy=N1(x)N2(y)dx (10-2-2)的一阶微分方程称为可分离变量方程其中f(x)，g(y)及M1(x)，M2(y)，N1(x)及N2(y)均为已知连续函数方程(10-2-1)的求解步骤如下：先将方程(10-2-1)分离变量得=f(x)dx， g(y)0，根据一阶微分形式的不变性，再对上式两端分别积分=,得通解G(y)=F(x)+C，其中G(y)和F(x)分别是和f(x)的一个原函数，C为任意常数若有实数y0使得g(y0)=0,则y=y0也是方程(10-2-1)的解，此解可能不包含在通解中例1 求解方程解 分离变量得dx两边积分得arcsiny=x+C 或 y=sin(x+C)注意 对于给定的C，上述解中x此外，y=1也是方程的两个特解，但它未包含在通解之中这是由于分离变量时，将作为分母时丢失了两个特解故所求方程的通解为：arcsinyx+C （C为任意常数），另外还有两个特解y1例2 已知某商品的需求量x对价格P的弹性e-3P3，而市场对该商品的最大需求量为1(万件)，求需求函数解 需求量x对价格P的弹性e依题意，得-3P3，于是-3P2dP，积分得lnx=-P3+C1，即x= (C=)由题设知P0时，x=1,从而C=1因此所求的需求函数为x=例3 根据经验知道，某产品的净利润y与广告支出x之间有如下关系：k(N-y），其中k，N都是大于零的常数，且广告支出为零时，净利润为y0，0y0N，求净利润函数y=y(x)，解 分离变量=kdx，两边同时积分得-lnN-y=kx+C1 (C1为任意常数)，因N-y0，所以lnN-y=ln(N-y)，上式经整理得y=N-Ce-kx (C=0）将x=0，y=y0代入上式得C=N-y0，于是所求的利润函数为y=N-(N-y0)e-kx由题设可知0，这表明y(x)是x的单调递增函数；另一方面又有=N，即随着广告支出增加，净利润相应地增加，并逐渐趋向于y=N因此，参数N的经济意义是净利润的最大值二、 齐次微分方程1 齐次微分方程形如= （10-2-3）的一阶微分方程，称为齐次微分方程，简称齐次方程对于方程(10-2-3)，通常可通过变量替换u=将方程化为可分离变量的方程来解具体过程如下：令 u= (或y=ux)，其中u是新的未知函数对y=ux两端关于x求导，得=u+x代入(10-2-3)得u+x=f(u)分离变量并积分得=，即F(u)=ln|x|+C (C为任意常数)，其中F(u)是的一个原函数，再将u=代入上式中，便得到方程(10-2-3)的通解F()ln|x|+C上面的推导要求f(u)-u0，如果f(u)-u=0，也就是这时，方程(10-2-3)为这已是一个可分离变量的方程，不必作代换就可求出它的通解为y=Cx例4 求微分方程xy=x2+y2满足条件y|x=e2e的解解 原方程可化为= +，这是一个齐次方程作代换u=，即y=ux，则u+x代入前一方程得u+x=+u 即 x=，分离变量并积分得u2=2lnx+2C (C为任意常数)，将u替换为，便得原方程的通解：y2=2x2lnx+2Cx2，再将初始条件代入通解得4e2=2e2ln e+2Ce2，求得 C=1，于是，所求的特解为y2=2x2(lnx+1）例5 设甲、乙两种商品的价格分别为P1,P2，且价格P1相对于P2的弹性为=，求价格P1与P2的函数关系解 将所给方程整理为=这是齐次方程令u=，即P1uP2，则u+P2，代入上式得u+P2u整理得du2两边积分得-lnu2lnP2C1 （C1为任意常数）将u替换为，便得方程的通解(注意到u0,P22)CP1P2（C， C为正数)2 可化为齐次方程的微分方程形如= （10-2-4）的微分方程，当C1C2时，就是一个齐次方程当C1,C2中至少有一个不为零时，尽管本身不是齐次方程，但经过适当的变量替换后，可化为齐次方程下面分两种情况讨论：(1) 若a1b2-a2b10,这时方程组有惟一解x=，y=作变量替换则于是方程(10-2-4)化为=这是关于变量u和v的齐次方程求出其通解后再换回原来的变量x和y，即得原方程的通解(2) 若a1b2-a2b1=0，这时令，即有a1=a2, b1=b2方程(10-2-4)可写为作变量替换t=a2x+b2y,此时a2+b2，方程(10-2-4)化为a2+b2这是关于变量t和x的可分离变量的方程例6 求方程的解解 解方程组得x=-2,y=-3作变换x=u-2，y=v-3，原方程化为=这是一个齐次方程，按齐次方程的解法可求得它的通解为ln(u2+v2)+2arctan=C再将u=x+2，v=y+3代入上式，便得原方程的通解为ln(x+2)2+(y+3)2+2arctan=C三、 一阶线性微分方程形如yP(x)y=Q(x) （10-2-5）的方程叫做一阶线性微分方程其中P(x)，Q(x)为x的已知连续函数，Q(x)称为自由项如果Q(x)0，方程(10-2-5)即为y+P(x)y=0 （10-2-6）该方程称为一阶齐次线性微分方程而当Q(x) 0时，方程(10-2-5)称为一阶非齐次线性微分方程也称(10-2-6)为(10-2-5)所对应的齐次方程注意这里所说的齐次方程与上段讨论的齐次方程是不同的下面来讨论一阶非齐次线性方程(10-2-5)的解法先考虑非齐次线性方程(10-2-5)所对应的齐次方程(10-2-6)的通解显然y=0是它的一个解，当y0时分离变量得=-P(x)dx两边积分得lny= +C1，即y=C （C=）y=0也是方程(10-2-6)的解，这时在上式中取C=0即可于是得到方程(10-2-6)的通解为y=C (C为任意常数) (10-2-7)再利用“常数变易法”求非齐次线性方程(10-2-5)的通解由于方程(10-2-5)与(10-2-6)的左端相同，右端不同，方程(10-2-5)的左端比方程(10-2-6)的左端多了一项Q(x)，因此，我们猜想方程(10-2-5)的通解也具有(10-2-7)的形式，而其中的C不可能还是常数，而是x的某个函数C(x)于是，可设方程(10-2-5)的解为y=C(x)， （10-2-8）其中C(x)是待定函数将(10-2-8)代入方程(10-2-5)，得C(x) +P(x)C(x) =Q(x)化简，得C(x)Q(x) 上式两端同时积分，得C(x)= dxC（C为任意常数）将上式代入(10-2-8)式，得非齐次线性方程(10-2-5)的通解y= dxC (C为任意常数) （10-2-9）这种将任意常数变成待定函数求解的方法，称为常数变易法将通解(10-2-9)改写为y=C+不难看出： 通解由两部分构成，其中第一项是方程(10-2-5)所对应的齐次线性方程(10-2-6)的通解，第二项是方程(10-2-5)本身的一个特解对应于通解(10-2-9)中C=0的特解这并不偶然，这是线性方程解的结构的一个重要性质例7 求方程xy+y=ex (x0)的通解解 所给方程可化为y+ = （10-2-10）先求得方程(10-2-10)对应的齐次线性方程的通解为y=，再利用常数变易法，设方程(10-2-10)的解为y=，代入方程(10-2-10)得，化简，得C(x)=ex，积分得C(x)=ex+C，故得方程(10-2-10)的通解为y= (ex+C)（C为任意常数）这也就是所求方程的通解以上是按“常数变易法”的思路求解，本题也可直接利用通解公式(10-2-9)求解但是，必须先将方程化为形如方程(10-2-5)的标准形式这里，P(x)= ，Q(x)，代入公式(10-2-9)，得方程的通解为y=(ex+C)例8 求方程y满足初始条件y(0)=1的特解解 先求出所给方程的通解这个方程乍一看不像一阶线性方程，但把它改写成-x=y2，则是以y为自变量，x为未知函数的一阶线性微分方程利用通解公式(10-2-9)得x=Cy+y3，将初始条件y(0)=1代入上述通解中，得C，故所求方程的特解为x=y+y3例9 已知连续函数f(x)满足条件f(x)e2x，求f(x)解 因原方程右端函数可导，所以f(x)可导对方程两端同时求导，得f(x)=3f(x)+2e2x由一阶线性方程的通解公式，得f(x)e3x(-2e-x+C)=e2x+Ce3x例10 设y=f(x)是第一象限内连接点A(0，1)，B(1，0)的一段连续曲线，M(x,y)为该曲线上任意一点，点C为M在x轴上的投影，O为坐标原点若梯形OCMA的面积与曲边三角形CBM的面积之和为，求f(x)的表达式图10-2解 参看图10-2，由题设得1+f(x)+，求导，得1+f(x)+xf(x)-f(x)=，即f(x)-f(x)= (x0)利用一阶线性微分方程的通解公式，得f(x)exx2+1+Cx当x=0时，f(0)=1说明上述解在x=0时有意义将条件f(1)=0代入到通解中，得C=-2，于是有f(x)=x2-2x+1形如+P(x)y=Q(x)ya （a0，1） （10-2-11）的方程称为伯努利(Bernoulli)方程它不是线性方程，但是经过适当的变量替换，可将它化成线性方程求解事实上，只要将方程(10-2-11)两端除以ya，得y-a +P(x)y1-aQ(x)，即P(x)y1-aQ(x)若令y1-az， 则上面这个方程为+P(x)zQ(x) （10-2-12）这是一个线性方程求出这个方程的通解后，用y1-a替换z，便得到伯努利方程的通解例11 求方程y+ =的通解解 这是a的伯努利方程方程两边同时除以，得x令zy1-a，则上面的方程化为+这是一阶线性微分方程，其通解为z将替换z，得原方程的通解为y= （C为任意常数)习题10-21 求下列微分方程的通解或在给定的初始条件下的特解：(1) y； (2) xydx+dy=0;(3) (xy2+x)dx+(y-x2y)dy=0;(4) sinxcos2ydx+cos2xdy=0;(5)；(6) yy+xey=0,y(1)=0;(7) y=e2x-y，2 物体冷却速度与该物质和周围介质的温差成正比，具有温度为T0的物体放在保持常温为a的室内，求温度T与时间t的关系：3 求下列微分方程的通解或在给定条件下的特解：(1) xy-y-0；(2) y=+sin；(3) 3xy2dy(2y3-x3)dx;(4) x2y+xy=y2， y(1)=1；(5) xy=y(lny-lnx), y(1)=1;(6) (y-x+2)dx=(x+y+4)dy;(7) (x+y)dx+(3x+3y-4)dy=04 求下列微分方程的通解或在给定初始条件下的特解：(1) y-y=sinx;(2) y-y=xnex；(3) (x-2y)dy+dx=0;(4) (1+xsiny)y-cosy=0；(5) y- =(x+1)ex, y(0)=1;(6) y+，y(0)=;(7) y-=-lnx, y(1)=1;(8) y+2xy=(xsinx)，y(0)=1;(9) y；(10) y5 设函数f(x)在1,上连续，若由曲线y=f(x)，直线x=1,x=t(t1)与x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周所成的旋转体的体积为V(t)t2f(t)-f(1)试求y=f(x)所满足的微分方程，并求该微分方程满足条件y(2)=的特解6 设某生物群体的出生率为常数a，由于拥挤及对食物的竞争的加剧等原因，死亡率与当时群体中的个体量成正比(比例系数为b0)如果t=0时生物个体总数为x0，求时刻t时的生物个体的总数(注： 将生物群体中的个体量当做时间t的连续可微变量看待)7 已知f(x)3x-3， 求f(x)8 已知某商品的成本CC(x)随产量x的增加而增加，其增长率为C(x)，且产量为零时，固定成本C(0)C00求商品的生产成本函数C(x)9 某公司对某种电器设备的使用费用进行考察，结果发现，随该电路使用时间x的延长，它的保养维修费会加倍增长，因而平均单位时间的使用费S也在增加，即S为x的函数S=S(x)，其变化率为，其中a,b均为正常数若当x=x0时SS0，试问：使用时间为多少时，其平均单位时间的使用费S最高?22