一次不定方程及方程的整数解问题1.doc
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1、一次不定方程及方程的整数解问题-1一次不定方程(组)及方程的整数解问题【写在前面】不定方程(组)是数论中的一个重要课题,不仅是数学竞赛,甚至在中考试卷中也常常出现. 对于不定方程(组),我们往往只求整数解,甚至是只求正整数解,加上条件限制后,解就可确定.有时还可以解决计数、求最值等方面的问题.二元一次不定方程是最简单的不定方程,一些复杂的不定方程(组)常常要转化为二元一次不定方程问题加以解决.【本讲重点】求一次不定方程(组)的整数解【知识梳理】不定方程(组)是指未知数的个数多于方程的个数的方程(组),其特点是往往有无穷多个解,不能唯一确定.重要定理:设a、b、c、d为整数,则不定方程有:定理1
2、 若且d不能整除c,则不定方程没有整数解;定理2 若是不定方程且的一组整数解(称为特解),则(t为整数)是方程的全部整数解(称为通解). (其中,且d能整除c).定理3 若是不定方程,的特解,则是方程的一个特解. (其中,且d能整除c).求整系数不定方程的正整数解,通常有以下步骤:(1) 判断有无整数解;(2) 求出一个特解;(3) 写出通解;(4) 有整数t同时要满足的条件(不等式组),代入命题(2)中的表达式,写出不定方程的正整数解.解不定方程(组),需要依据方程(组)的特点,并灵活运用以下知识和方法:(1)分离整系数法; (2)穷举法; (3)因式分解法; (4)配方法; (5)整数的整
3、除性; (6)奇偶分析; (7)不等式分析; (8)乘法公式. 【学法指导】【例1】求下列不定方程的整数解(1) ; (2).【分析】根据定理1、定理2确定方程的整数解.【解答】(1)原方程变形为:, 观察得到是的一组整数解(特解),根据定理2 ,是原方程的所有整数解.(2)(5,10)=5,但5不能整除13,根据定理1,原方程的无整数解.【点评】先判断方程是否有整数解,多于系数不大的题目优先选用观察法寻找特解. 求出的特解不同,同一个不定方程的解的形式可以不同,但它们所包含的全部解是一样的.【实践】求下列不定方程的整数解(1) ; (2).答案:(1)无整数解;(2)【例2】求方程的所有正整
4、数解.【分析】此方程的系数较大,不易用观察法得出特解.根据方程用y来表示x ,再将含y的代数式分离出整系数部分,然后对分数系数部分进行讨论,赋予y不同的整数,寻找一个使分数系数部分成为正整数的y0,然后再求x0,写出通解,再解不等式组确定方程的正整数解.【解答】(7,19)=1,根据定理2,原方程有整数解.由原方程可得, 由此可观察出一组特解为x0=25,y0=2.方程的通解为.其中 代入通解可得原方程的正整数解为【点评】根据定理2解这类方程,若未知数的系数较大不容易观察出一组整数解时,可用一个未知数去表示另一个未知数,再利用整数的知识,这是解二元一次不定方程基本的方法,称为分离整系数法. 这
5、样就容易找出一组整数解来.【实践】求方程的正整数解. 答案: x=4,y=3.【例3】大客车能容纳54人,小客车能容纳36人,现有378人要乘车,问需要大、小客车各几辆才能使每个人都能上车且各车都正好坐满.【分析】本题是不定方程的应用,根据题意列出方程并求出非负整数解即可.【解答】设需要大客车x辆,小客车y辆,根据题意可列方程 ,即. 又(3,2)=1,根据定理2,原方程有整数解. 易知是一个特解,通解为由题意可知 解得 相应地答:需要大客1车辆,小客车9辆;或需要大客车3辆,小客车6辆;或需要大客车5辆,小客车3辆;也可以只要大客车7辆,不要小客车.【点评】一般来说实际问题通常取正整数解或者
6、非负整数解.【实践】某次考试共需做20道小题,对1道得8分,错一道扣5分,不做不得分.某生共得13分,他没做的题目有几道?答案:7【例4】某人的生日月份数乘以31,生日的日期数乘以12,相加后得347,求此人的生日.【分析】本题的隐含条件是:月份的取值1,12,日期的取值1,31.【解答】设此人生日的月份数为x ,日期数y. 根据题意可列方程 31x+12y=347. 方法一 方法二 特解: 答:此人的生日为5月16日. 【点评】求出通解后,要利用隐含条件求出符合题意的解. 其中方法二是利用了同余的知识. 【实践】已知有一个三位数,如果它本身增加3,那么新的三位数的各位数字和就减少到原来的,求
7、一切这样三位数的和. 答案:432【例5】(新加坡数学竞赛题)设正整数m,n满足,则m的最大值为 .【分析】把m用含有n的代数式表示,用分离整系数法,再结合整除的知识,求出m的最大值.【解答】, 由题意可得,n8,m,n为正整数, 当n=9时,m有最大值为75.【点评】此题是求最值的问题,利用分离整系数法是一种典型的常用方法.【实践】(北京市数学竞赛题)有8个连续的正整数,其和可以表示成7个连续的正整数的和,但不能3个连续的正整数的和,那么这8个连续的正整数中最大数的最小值是 . 答案:28【例6】我国古代数学家张建丘所著算经中的“百钱买百鸡”问题:鸡翁一,值钱五;鸡母一,值钱三;鸡雏三,值钱
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