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专题10：数列的极限与函数的导数

专题十：数列的极限与函数的导数
瓶窑中学 童国才
【考点审视】
极限与导数作为初等数学与高等数学的衔接点，新课程卷每年必考，主要考查极限与导数的求法及简单应用。纵观近年来的全国卷与各省市的试卷，试题呈“一小一大”的布局，“小题”在选择、填空题中出现时，都属容易题；“大题”在解答题中出现时，极限通常与其它数学内容联系而构成组合题，主要考查极限思想与方法的灵活应用能力；导数的考查常给出一个含参的函数或应用建模，通过求导、分析函数的单调性与最值，考查“数形结合”、“分类讨论”等数学思想方法的综合运用能力。从2004年各地的高考试卷看，考生在备考时，应从下列考点夯实基础，做到以不变应万变：
（1）从数列或函数的变化趋势了解极限概念，理解三个基本极限：
1)是常数）,2),3).
(2)明确极限四则运算法则的适用条件与范围，会求某些数列和函数的极限。
（3）了解函数连续的意义，理解闭区间上连续函数有最大值和最小值。
（4）了解导数的概念，掌握函数在一点处的导数定义，理解导函数的概念。
（5）熟记八个基本导数公式，掌握求导的四则运算法则，理解复合函数的求导法则，会求简单函数的导数。
（6）掌握导数的几何意义与物理意义，理解可导函数的单调性、极值与导数的关系，强化用导数解决实际问题的能力。
【疑难点拨】：1，极限的四则运算法则，只有当两数列或两函数各自都有极限时才能适用。对、、、型的函数或数列的极限，一般要先变形或化简再运用法则求极限。例如（2004年辽宁，14）=
【分析】这是型，需因式分解将分母中的零因子消去，故
==。
2，极限的运算法则仅可以推广到有限个数列或函数，对于无穷项的和或积必须先求和或积再求极限；商的极限法则，必须分母的极限不为零时才适用。例如：
（2004年广东,4）…+ )的值为…（ ）
（）-1 （）0 （） （）1
【分析】这是求无穷项的和，应先求前项的和再求极限=，∴原式==-1，故选。
3，无穷等比数列的公比，当||1时，各项的和及重要应用。例如（2004年上海，4）设等比数列（）的公比，且=，则
【分析】数列是首项为，公比是的等比数列，∴==，解得=2。
4，当且仅当时， ，时可有定义也可无定义。例如下列命题正确的是……………………………………………( )
()若,则，若,则，若,则， (D)若,则。
【分析】()中无定义，（）中无定义，而(D) ，，故是正确的。
5，函数在处连续是指，注意：有极限是连续的必要条件，连续是有极限的充分条件。
6，导数的概念要能紧扣定义，用模型解释，记住典型反例。例如在（，）处的导数存在吗？为什么？
【分析】，
∴在（，）处的导数不存在。
7，导数的求法要熟练、准确，须明确（1）先化简，再求导，（2）复合函数灵活处理，（3）有时要回到定义中求导。
8，导数的几何意义是曲线切线的斜率，物理意义是因变量对自变量的变化率。导数的应用应尽可能全面、深入，注重掌握以下几方面的问题：曲线切线方程的求法、函数单调性与函数作图、函数极值与最值求法、有关方程与不等式问题、有关近似计算问题、实际应用题。
【经典题例】
【例１】求下列数列的极限：
（１）；（２）（）；
（３）；
（４）已知，数列{}满足，若{}的极限存在且大于零，求的值。
【例２】求下列函数的极限：
（1） （2）
（3） （4）

【例３】求下列函数的导函数：
（１）＝；　 （２）＝；
　（３）＝；　　　　（４）已知＝，求。
【例４】设（），（+
）。（Ⅰ）用和表示；（Ⅱ）当时，
求的值；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求的取值范围。

【例５】过点（2，0），求与曲线相切的直线方程。

【例６】（2004全国卷二，22）已知函数 ，。
（Ⅰ）求函数的最大值；
（Ⅱ）设，证明。

【例７】（2004广东卷，21）设函数=，其中常数为整数。
（Ⅰ）当为何值时，；
（Ⅱ）定理：若函数在[]上连续，且与异号，则至少存在一点使。试用上述定理证明：当整数时，方程=0，在[]内有两个实根。

【例８】溶液自深18，顶直径12的圆锥形漏斗中漏入一直径为10的圆柱形容器中，开始时漏斗中盛满水，已知当溶液在漏斗中之深为12时，其水平下落的速度为1∕，问此时圆柱形容器中水面上升的速度是多少？

【热身冲刺】
一、选择题：
1、下列数列极限为1的是…………………………………………………………（ ）； ；
； 。
2、已知，则常数的值为…………………………………（ ）
（） ；
3、]的值是………………………………………………（ ）
不存在；
4、若在点处连续，则（ ）

5、若为偶函数，且存在，则……………………（ ）
（）0 1 -1；
6、设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能的是…………………………………………………………………（ ）
1
y

1
2
0

2
2
y
x
D
C
B
A
1
0

0
0
0
1
1
1
2
2
x
x
x
y
y
y

(A) (B) (C) (D)

7、函数有极值的充要条件是……………………………（ ）
（） （）
8、(2004江苏卷，10)函数在区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是………………………………………………………………………………（ ）
（A）1,-1 （B）1,-17 （C）3,-17 （D）9,-19
9、、分别是定义上的奇函数和偶函数。当时，，且，则不等式的解集是（ ）
（）（-3，0）（3，）
（）
10、三次函数=在[1，2]内恒为正值的充要条件为………… （ ）
（） ；
二、填空题：
11、曲线与在交点处的切线夹角是 （以弧度数作答）；
12、，则 ；
13、已知是的一个三次多项式，若==1，
则=
14、如图，是一块半径为1的半圆形纸板，在的左下端剪去一个半径为的半圆后得图形，然后剪去更小的半圆（其直径为前一被剪掉半圆的半径）得图形，，……，，……，记纸板的面积为，则=

三、解答题：
15、已知函数在定义域上可导，设点是函数的图象上距离原点0最近的点。
（Ⅰ）若点的坐标为，求证：=0；
（Ⅱ）若函数的图象不经过坐标原点0，证明直线与函数的图象上过点的切线互相垂直。
16、证明：（1）当时，；
（2）当，时，。

17、已知函数在处取得极值。
（Ⅰ）讨论和是函数的极大值还是极小值；
（Ⅱ）过点作曲线的切线，求此切线方程。

18、已知函数，将满足的所有正数从小到大排成数列{}
（Ⅰ）证明：数列{}为等比数列；
（Ⅱ）记是数列{}的前项和，求

19、是定义在[0，1]上的增函数，且在每个区间上，的图象都是斜率为同一常数的直线的一部分。
（Ⅰ）求及的值，并归纳出的表达式。
（Ⅱ）设直线、、轴及的图象围成的梯形的面积为

20、已知函数
（Ⅰ）求函数的反函数及的导数；
（Ⅱ）假设对任意，不等式||+成立，求实数的取值范围。

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