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一次函数方案选择问题

利用一次函数选择最佳方案
(1) 根据自变量的取值范围选择最佳方案:
A、 列出所有方案，写出每种方案的函数关系式；
B、画出函数的图象，求出交点坐标，利用图象来讨论自变量在哪个范围内取哪种方案最佳。
（2）根据一次函数的增减性来确定最佳方案：
A、首先弄清最佳方案量与其他量之间的关系，设出最佳方案量和另外一个量，建立函数关系式。
B、根据条件列出不等式组，求出自变量的取值范围。
C、根据一次函数的增减性，确定最佳方案。
根据自变量的取值范围选择最佳方案:
例1、某校实行学案式教学，需印制若干份数学学案。印刷厂有甲、乙两种收费方式，除按印数收取印刷费外，甲种方式还需收取制版费而乙种不需要。两种印刷方式的费用y（元）与印刷份数x（份）之间的函数关系如图所示：
（1）填空：甲种收费方式的函数关系式是_______ ____。
乙种收费方式的函数关系式是_______ ____。
（2） 该校某年级每次需印制100∽450（含100和450）份学案，
选择哪种印刷方式较合算。

例2、某校一名老师将在假期带领学生去北京旅游，甲旅行社说：“如果老师买全票，其他人全部半价优惠，”乙旅行社说：“所有人按全票价的6折优惠，”已知全票价为240元，设学生人数为x，甲旅行社的收费为（元），乙旅行社的收费为（元）。
（1） 分别表示两家旅行社的收费，与x的函数关系式；
（2） 就学生人数讨论哪家旅行社更优惠；

（2）根据一次函数的增减性来确定最佳方案：
例3、博雅书店准备购进甲、乙两种图书共100本，购书款不高于2224元，预计这100本图书全部售完的利润不低于1100元，两种图书的进价、售价如下表所示：

甲种图书
乙种图书
进价（元/本）
16
28
售价（元/本）
26
40
请解答下列问题：
（1）有哪几种进书方案？
（2）在这批图书全部售出的条件下，（1）中的哪种方案利润最大？最大利润是多少？
（3）博雅书店计划用（2）中的最大利润购买单价分别为72元、96元的排球、篮球捐给贫困山区的学校，那么在钱恰好用尽的情况下，最多可以购买排球和篮球共多少个？请你直接写出答案。

例4、某学校计划在总费用2300元的限额内，利用汽车送234名学生和6名教师集体外出活动，每辆汽车上至少有1名教师。现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如表 ：

甲种客车
乙种客车
载客量（单位：人/辆）
45
30
租金 （单位：元/辆）
400
280
（1）共需租多少辆汽车？
（2）给出最节省费用的租车方案。

出发地
运费
目的地

C县
D县
A县
35
40
B县
30
45

例5、某市的A县和B县春季育苗，急需化肥分别为90吨和60吨，该市的C县和D县分别储存化肥100吨和50吨，全部调配给A县和B县，已知C、D两县运化肥到A、B两县的运费（元/吨）如下表所示：

（1）设C县运到A县的化肥为x吨，求总运费W（元）与x（吨）的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）求最低总运费，并说明总运费最低时的运送方案。

一、 生产方案的设计
例1 （镇江市）在举国上下众志成城，共同抗击非典的非常时期，某医药器械厂接受了生产一批高质量医用口罩的任务．要求在８天之内（含８天）生产Ａ型和Ｂ型两种型号的口罩共５万只，其中Ａ型口罩不得少于1.8万只，该厂的生产能力是：若生产Ａ型口罩每天能生产0.6万只，若生产Ｂ型口罩每天能生产0.8万只，已知生产一只Ａ型口罩可获利0.5元，生产一只Ｂ型口罩可获利0.3元．
（1）设该厂在这次任务中生产了Ａ型口罩万只．问：（１）该厂生产Ａ型口罩可获利润_____万元，生产Ｂ型口罩可获利润_____万元；
（２）设该厂这次生产口罩的总利润是万元，试写出关于的函数关系式，并求出自变量的取值范围；
（３）如果你是该厂厂长：
①在完成任务的前提下，你如何安排生产Ａ型和Ｂ型口罩的只数，使获得的总利润最大？最大利润是多少？
②若要在最短时间内完成任务，你又如何来安排生产Ａ型和Ｂ型口罩的只数?最短时间是多少？
分析：（１）0.5，0.3（5－）；
（２）＝0.5＋0.3（5－）＝0.2＋1.5，
首先，1.8≤≤５，但由于生产能力的限制，不可能在８天之内全部生产Ａ型口罩，假设最多用天生产Ａ型，则（８－）天生产Ｂ型，依题意，得0.6＋0.8（８－）＝５，解得＝７，故最大值只能是0.6×7＝4.2，所以的取值范围是1.8（万只）≤≤4.2（万只）；
（３）要使取得最大值，由于＝0.2＋1.5是一次函数，且随增大而增大，故当取最大值4.2时，取最大值0.2×4.2＋1.5＝2.32（万元），即按排生产Ａ型4.2万只，Ｂ型0.8万只，获得的总利润最大，为2.32万元；
若要在最短时间完成任务，全部生产Ｂ型所用时间最短，但要求生产Ａ型1.8万只，因此，除了生产Ａ型1.8万只外，其余的3.2万只应全部改为生产Ｂ型．所需最短时间为1.8÷0.6＋3.2÷0.8＝７（天）．
1、（2011岳阳）某工厂有一种材料，可加工甲、乙、丙三种型号机械配件共240个．厂方计划由20个工人一天内加工完成，并要求每人只加工一种配件．根据下表提供的信息，解答下列问题：
配件种类
甲
乙
丙
每人可加工配件的数量（个）
16
12
10
每个配件获利（元）
6
8
5
（1）设加工甲种配件的人数为x，加工乙种配件的人数为y，求y与x之间的函数关系式．
（2）如果加工每种配件的人数均不少于3人，那么加工配件的人数安排方案有几种？并写出每种安排方案．
（3）要使此次加工配件的利润最大，应采用（2）中哪种方案？并求出最大利润值．

二、营销方案的设计
例２（湖北）　一报刊销售亭从报社订购某晚报的价格是每份0.7元，销售价是每份１元，卖不掉的报纸还可以0.20元的价格退回报社．在一个月内（以30天计算），有20天每天可卖出100份，其余10天每天只能卖出60份，但每天报亭从报社订购的份数必须相同．若以报亭每天从报社订购的份数为自变量，每月所获得的利润为函数．
（１）写出与之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围；
（２）报亭应该每天从报社订购多少份报纸，才能使每月获得的利润最大？最大利润是多少？
分析：（１）由已知，得应满足60≤≤100，因此，报亭每月向报社订购报纸30份，销售（20＋60×10）份，可得利润0.3（20＋60×10）＝6＋180（元）；退回报社10（－60）份，亏本0.5×10（－60）＝5－300（元），故所获利润为＝（6＋180）－（5－300）＝＋480，即＝＋480．
自变量的取值范围是60≤≤100，且为整数．
（２）因为是的一次函数，且随增大而增大，故当取最大值100时，最大值为100＋480＝580（元）．
2、（2011营口）某家电商场计划用32400元购进“家电下乡”指定产品中的电视机、冰箱、洗衣机共15台，三种家电的进价和售价如下表所示：
　价格

种类
进价（元/台）
售价（元/台）
电视机
2 000
2 100
冰箱
2 400
2 500
洗衣机
1 600
1 700
其中购进电视机的数量和冰箱的数量相同，洗衣机数量不大于电视机数量的一半．国家规定：农民购买家电后，可根据商场售价的13%领取补贴．设购进电视机的台数为x台，三种家电国家财政共需补贴农民y元．
（1）求出y与x之间的函数关系；
（2）在不超出现有资金的前提下，商场有哪几种进货方案？
（3）在（2）的条件下，如果这15台家电全部销售给农民，国家财政最多需补贴农民多少元？

运输
单位
运输速度（千米／时）
运输费用（元／千米）
包装与装卸时间（小时）
包装与装卸费用（元）
甲公司
60
６
４
1500
乙公司
50
８
２
1000
丙公司
100
10
3
700
三、优惠方案的设计
例３（南通市）　某果品公司急需将一批不易存放的水果从Ａ市运到Ｂ市销售．现有三家运输公司可供选择，这三家运输公司提供的信息如下：
解答下列问题:
（１）若乙、丙两家公司的包装与装卸及运输的费用总和恰好是甲公司的２倍，求Ａ，Ｂ两市的距离（精确到个位）；
（２）如果Ａ，Ｂ两市的距离为千米，且这批水果在包装与装卸以及运输过程中的损耗为300元／小时，那么要使果品公司支付的总费用（包装与装卸费用、运输费用及损耗三项之和）最小，应选择哪家运输公司？
分析：（１）设Ａ，Ｂ两市的距离为千米，则三家运输公司包装与装卸及运输的费用分别是：甲公司为（6＋1500）元，乙公司为（8＋1000）元，丙公司为（10＋700）元，依题意，得
（8＋1000）＋（10＋700）＝２×（6＋1500），
解得＝216≈217（千米）；
（２）设选择甲、乙、丙三家公司的总费用分别为，，（单位：元），则三家运输公司包装及运输所需的时间分别为：甲（＋４）小时；乙（＋２）小时；丙（＋３）小时．从而
＝6＋1500＋（＋４）×300＝11＋2700，
＝8＋1000＋（＋２）×300＝14＋1600，
＝10ｓ＋700＋（＋３）×300＝13ｓ＋1600，
现在要选择费用最少的公司，关键是比较，，的大小．
∵＞０，∴＞总是成立的，也就是说在乙、丙两家公司中只能选择丙公司；在甲和丙两家中，究竟应选哪一家，关键在于比较和的大小，而与的大小与Ａ，Ｂ两市的距离的大小有关，要一一进行比较．
当＞时，11＋2700＞13＋1600，解得＜550，此时表明：当两市距离小于550千米时，选择丙公司较好；
当＝时，＝550，此时表明：当两市距离等于550千米时，选择甲或丙公司都一样；
当＜时，＞550，此时表明：当两市的距离大于550千米时，选择甲公司较好．
3、 实验学校计划组织共青团员372人到某爱国主义基地接受教育，并安排8们老师同行，经学校与汽车出租公
司协商，有两种型号客车可供选择，它们的载客量和租金如下表，为保证每人都有座位,学校决定租8辆车。

甲种客车
乙种客车
载客量（人/辆）
50
30
租金（元/辆）
400
200
（1）写出符合要求的租车方案，并说明理由。
（2）设租甲种客车x辆人，总租金共y（元），写出y与x之间的函数关系式。
（3）在（1）方案中,求出租金最少租车方案。

四．调运方案的设计
例４　Ａ城有化肥200吨，Ｂ城有化肥300吨，现要把化肥运往Ｃ，Ｄ两农村，如果从Ａ城运往Ｃ，Ｄ两地运费分别是20元／吨与25元／吨，从Ｂ城运往Ｃ，Ｄ两地运费分别是15元／吨与22元／吨，现已知Ｃ地需要220吨，Ｄ地需要280吨，如果个体户承包了这项运输任务，请你帮他算一算，怎样调运花钱最小?
分析：根据需求，库存在Ａ，Ｂ两城的化肥需全部运出，运输的方案决定于从某城运往某地的吨数．也就是说．如果设从Ａ城运往Ｃ地吨，则余下的运输方案便就随之确定，此时所需的运费（元）也只与（吨）的值有关．因此问题求解的关键在于建立与之间的函数关系．
解：设从Ａ城运往吨到Ｃ地，所需总运费为元，则Ａ城余下的（200－）吨应运往Ｄ地，其次，Ｃ地尚欠的（220－）吨应从Ｂ城运往，即从Ｂ城运往Ｃ地（220－）吨，Ｂ城余下的300－（220－）＝15（220－）＋22（80＋），
即＝２＋10060，
因为随增大而增大，故当取最小值时，的值最小．而０≤≤200，
故当＝０时，最小值＝10060（元）．
因此，运费最小的调运方案是将Ａ城的200吨全部运往Ｄ地，Ｂ城220吨运往Ｃ地，余下的80吨运往Ｄ地．
4、某商业集团新进了40台空调机，60台电冰箱，计划调配给下属的甲、乙两个连锁店销售，其中70台给甲连锁店，30台给乙连锁店．两个连锁店销售这两种电器每台的利润（元）如下表：

空调机
电冰箱
甲连锁店
200
170
乙连锁店
160
150
设集团调配给甲连锁店x台空调机，集团卖出这100台电器的总利润为y（元）．
（1）求y关于x的函数关系式，并求出x的取值范围；
（2）为了促销，集团决定仅对甲连锁店的空调机每台让利a元销售，其他的销售利润不变，并且让利后每台空调机的利润仍然高于甲连锁店销售的每台电冰箱的利润，问该集团应该如何设计调配方案，使总利润达到最大？

练习题：
１．某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克，计划利用这两种原料生产A，B两种产品，共50件．已知生产一件A种产品需用甲种原料9千克、乙种原料3千克，可获利润700元；生产一件B种产品，需用甲种原料4千克、乙种原料10千克，可获利润1200元．
(1)要求安排A，B两种产品的生产件数，有哪几种方案?请你设计出来；
(2)生产A，B两种产品获总利润是 (元)，其中一种的生产件数是，试写出与之间的函数关系式，并利用函数的性质说明(1)中的哪种生产方案获总利润最大?最大利润是多少?

２． 北京某厂和上海某厂同时制成电子计算机若干台，北京厂可支援外地10台，上海厂可支援外地4台，现在决定给重庆8台，汉口6台．如果从北京运往汉口、重庆的运费分别是4百元/台、8百元/台，从上海运往汉口、重庆的运费分别是3百元/台、5百元/台．求：
(1)若总运费为8400元，上海运往汉口应是多少台?
(2)若要求总运费不超过8200元，共有几种调运方案?
(3)求出总运费最低的调运方案，最低总运费是多少元?

3． 某校校长暑假将带领该校市级“三好生”去北京旅游．甲旅行社说：“如果校长买全票一张，则其余学生可享受半价优待．”乙旅行社说：“包括校长在内，全部按全票价的6折(即按全票价的60%收费)优惠．”若全票价为240元．
(1)设学生数为，甲旅行社收费为甲，乙旅行社收费为乙，分别计算两家旅行社的收费(建立表达式)；
(2)当学生数是多少时，两家旅行社的收费一样；
(3)就学生数讨论哪家旅行社更优惠．

4．下表所示为装运甲、乙、丙三种蔬菜的重量及利润．某汽车运输公司计划装运甲、乙、丙三种蔬菜到外地销售(每辆汽车按规定满载，并且每辆汽车只装一种蔬菜)

甲
乙
丙
每辆汽车能装的吨数
2
1
1.5
每吨蔬菜可获利润（百元）
5
7
4
(1)若用8辆汽车装运乙、丙两种蔬菜11吨到A地销售，问装运乙、丙两种蔬菜的汽车各多少辆?
(2)公司计划用20辆汽车装运甲、乙、丙三种蔬菜36吨到B地销售(每种蔬菜不少于一车)，如何安排装运，可使公司获得最大利润?最大利润是多少?

5．某童装厂现有甲种布料38米，乙种布料26米，现计划用这两种布料生产L、M两种型号的童装共50套，已知做一套L型号的童装需用甲种布料0.5米，乙种布料1米，可获利45元；做一套M型号的童装需用甲种布料0.9米，乙种布料0.2米，可获利润30元．设生产L型号的童装套数为，用这批布料生产这两种型号的童装所获利润为 (元)．
(1)写出 (元)关于 (套)的函数解析式；并求出自变量的取值范围；
(2)该厂在生产这批童装中，当L型号的童装为多少套时，能使该厂所获的利润最大?最大利润为多少?

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