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专题训练五-函数与导数

钦州二中2012届高考第二轮复习资料(5)
专题训练五——函数与导数
一、高考【函数与导数】大题分析与预测：
1、考查函数特点：由多项式、指数、对数函数四则运算或复合运算所得函数，一般带有参数。
2、考查题型及解决办法：
（1）研究函数的各种性质，如单调性、极值、最值等。包括：①给出具体的函数，求其性质，如含参数，一般需要对参数分类讨论；②给出含参数函数的性质，研究参数的值或范围。
（2）研究不等式恒成立或有解问题。研究含参数的函数在给定区间的单调性，或直接研究含参数的不等式恒成立，可用①分离参数法，②构造函数法转化为函数最值问题，结合导数求解。不等式有解问题参照求解。
（3）研究函数图像交点个数或方程的根的个数。先构造合适的函数，用导数求函数的单调性，再由单调性描绘出函数的大致图象（有时还须结合函数极限研究图象的极端情形或结合特殊函数值研究图象的变化趋势），列出不等式（组）求解。
（4）证明不等式。证明不等式在给定区间内恒成立，通常经过构造函数，用导数研究单调性，转化为函数最值问题。
3、考查难度：
函数与导数大题一般位于第20—22题，常见为20题，难度为中档或中档以上。
二、典型例题：
例1．(2011届高考数学仿真押题卷——陕西卷（理4）)
设函数与的图像分别交直线于点,且曲线在点处的切线与曲线在点处的切线平行。
（1）求函数,的表达式；
（2）设函数，求函数的最小值。
例1．【分析】本题考查含参数的二次、对数、无理形式的函数，（1）给切线关系，求函数式；（2）求函数最值。属中档偏易题。
【解】（1）由得,由得.又由题意可得,即,故,所以,。 ……4分
（2）由得.由可知.故当时,递减,当时,递增,所以函数的最小值为. ……12分
【点评】（1）利用切线斜率相同，即求参数的值；（2）利用导数研究单调性，从而得最值。
例2．设函数.
（1）若a=，求的单调区间；
（2）若当≥0时，求a的取值范围。
例2．【分析】本题考查含参数的指数、二次形式的函数，（1）给参数的值，求单调区间；（2）给不等式恒成立，求参数范围。属中档题。
【解】（1）时，，。当时;当时，;当时，。故在，单调递增，在（-1，0）单调递减。 ………………4分
（2）。令，则。
若，则当时，，为减函数，而，从而当x≥0时≥0，即≥0.
若，则当时，，为减函数，而，从而当时＜0，即＜0.
综合得的取值范围为 ………………12分
【点评】（1）利用导数求单调区间；（2）把不等式恒成立问题转化为函数最值问题，讨论参数，用导数解决。第（2）题关键点：.
例3．设函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）已知对任意成立，求实数a的取值范围。
例3．【分析】本题考查分式、对数形式的函数，（1）求单调区间；（2）指数不等式恒成立，求参数范围（使用（1）的结论）。属中档题。
【解】（1）,
，或，∴的增区间为，减区间为，. ………………5分
（2）对两边取自然对数，得，由，知，故上式变为 …………①
由（1）知，时，，故要使①式对所有成立，当且仅当，即. ………………12分
【点评】（1）利用导数求单调区间；（2）将指数不等式转化为对数不等式，分离参数，转化为函数最值问题。第（2）题关键点：指数不等式两边取自然对数。
例4．已知函数，.
（1）求在区间上的最大值；
（2）是否存在实数m，使得的图象与的图象有且仅有三个不同的交点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由。
例4．【分析】本题考查（1）二次函数“定轴动区间”上的最值；（2）含参数的对数、二次形式的函数图像交点个数，求参数范围。属中档题。
【解】（1）函数的图象为抛物线，开口向下，对称轴为.
①当时，在上递减，；
②当，即时，；
③当，即时，在上递增，.
综上， ………………5分
（2）函数的图象与的图象有且仅有三个不同的交点，即函数
1
O
x
y
3
的图象与有且仅有三个不同的交点。
，或，
. 故在.
又时，，，此时；
时，，，此时.
从而的大致图象如右，要使其与有且仅有三个不同的交点，只需
解得，即当时，函数的图象与的图象有且仅有三个不同的交点。 ………………12分
【点评】（1）按对称轴与区间两端点位置关系，分三类讨论；（2）将原两函数图象交点个数转化为与图象交点个数，用导数研究的单调性，用单调性结合函数极限作出图象。第（2）题关键点：转化为与图象交点。
第（2）题也可用代替函数极限。
例5．函数．
（1）试求的单调区间；
（2）求证：不等式对于恒成立．
例5．【分析】本题考查含参数的对数、分式形式的函数，（1）求单调区间；（2）证明不等式（使用（1）的结论）。属中档偏难题。
【解】（1）．
　当时，，在上单调递增；
　 当时，时，，递减，时，，递增。
综上所述，当时，的单调递增区间为；
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为．………4分
（2）证明：∵，∴.
令，∴，
由（1）知，当时，在上递增，故时，，即，∴在上单调递增，∴，
∴，∴．………………12分
【点评】（1）结合定义域讨论参数，得到导数的正负，即原函数的增减；（2）将分式不等式（特别是分母含对数）转化为整式不等式，构造函数，利用导数求函数最值。第（2）题关键点：①不等式转化；②利用第（1）题的结论证明.
第（2）题另法：对求二次导数，得
在递增，故在上单调递增。
例6．已知函数是定义在上的奇函数,当时, (其中e是自然对数的底数，).
（1）求的解析式；
（2）设，求证：当时，.
例6．【分析】本题考查含参数的一次、对数、绝对值形式的函数，给出奇偶性，（1）求解析式；（2）证明不等式（转化为不等式两边的最值）。属中档偏难题。
【解】（1）设，则，所以
又因为是定义在上的奇函数，所以
故函数的解析式为 ………………4分
（2）证明：当且时，，设.
因为，所以当时，，此时单调递减；当时，，此时单调递增，所以
又因为，所以当时，，此时单调递减，所以，且与取得相应最值时的x值不同，所以当时，即. ……………12分
【点评】（1）利用求解析式；（2）利用
证明不等式（注：“”符号不能改为“”符号）。第（2）题关键点：把不等式证明转化为不等号两边函数的最值。
第（2）题解题误区：构造函数，证明.（，无法得到导数的正负）
例7．已知函数．
（1）若，求函数的极值；
（2）设函数，求函数的单调区间；
（3）若在（）上存在一点，使得成立，求的取值范围．
例7．【分析】本题考查含参数的对数、分式形式的函数，（1）给参数的值，求函数极值；（2）求函数的单调区间；（3）给不等式有解，求参数的范围（利用（2）的结论）。属难题。
【解】（1）当时，， ，
,
所以在处取得极小值1． …………4分
（2），
①当时，即时，在上，在上，
所以在上单调递减，在上单调递增；
②当，即时，在上，
所以，函数在上单调递增． …………6分
（3）在上存在一点，使得成立，即在上存在一点，使得，即函数在上的最小值小于零。
由（Ⅱ）可知：①当，即时， 在上单调递减，
所以的最小值为，由可得，
因为，所以；
②当，即时， 在上单调递增，
所以最小值为，由可得；
③当，即时， 可得最小值为
，
因为，所以，
故
此时不存在使成立． …………11分
综上可得所求的范围是：或． …………12分
【点评】（1）通过导数的正负求解；（2）结合定义域讨论参数，得到导数的正负，即原函数的增减；（3）构造函数，将不等式有解问题转化为函数最值问题，即，利用导数求解。第（3）题关键点：分类讨论参数，利用第（2）题的结论。
第（3）题解题误区：①存在，使得成立（或）；②存在，使得成立.
例8．已知函数.
（1）若，求的单调区间及的最小值；
（2）若，求的单调区间；
（3）试比较与，且的大小，并证明你的结论。
例8．【分析】本题考查含参数的绝对值、对数形式的函数，（1）给参数的值，求单调区间；（2）给参数的范围，求单调区间；（3）比较数列代数式的大小（使用（1）的结论）。属难题。
【解】（1）
当时，，

当时，，

故a=1时，的增区间为，减区间为（0,1）， …4分
（2）①若
则在区间上是递增的；
当
在区间上是递减的．
②若

则在区间上是递增的，在区间上是递减的；
当
在区间（0，a）上是递减的，而在处连续；
则在区间上是递增的，在区间（0，1）上是递减的
综上：当的递增区间是，递减区间是（0，a）；
当时，的递增区间是，递减区间是（0，1） …………8分
（3）由（1）可知，当，时， 有，即，

………………12分
【点评】（1）分类讨论去绝对值，利用导数研究单调性；（2）先考虑去绝对值后的函数的导数特点，再按参数分类讨论，结合导数研究单调性；（3）以题中的为切入点，结合第（1）题的结论，构造；利用进行放大，再结合进一步放大，裂项求和。关键点：①构造；②利用放缩。

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