专题复习:二次函数图象与a、b、c的关系训练[1]-2.doc
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专题复习:二次函数图象与a、b、c的关系训练[1]-2 二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定方法 一、知识要点 二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定: (1)a由抛物线开口方向确定:开口方向向上,则a>0;否则a<0. (2)b由对称轴和a的符号确定:由对称轴公式x=判断符号. (3)c由抛物线与y轴的交点确定:交点在y轴正半轴,则c>0;否则c<0. (4)b2-4ac的符号由抛物线与x轴交点的个数确定:2个交点,b2-4ac>0;1个交点,b2-4ac=0;没有交点,b2-4ac<0. (5)当x=1时,可确定a+b+c的符号,当x=-1时,可确定a-b+c的符号. (6)由对称轴公式x=,可确定2a+b的符号. 二、基础练习 1、(2011•重庆)已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)在平面直角坐标系中的 位置如图所示,则下列结论中,正确的是( ) A、a>0 B、b<0 C、c<0 D、a+b+c>0 2. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图,其对称轴x=-1,给出下列结果 ①b2>4ac;②abc>0;③2a+b=0;④a+b+c>0;⑤a-b+c<0,则正确的结论是( ) A、①②③④ B、②④⑤ C、②③④ D、①④⑤ 3、(2011•孝感)如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交,其顶点坐标为( 12,1),下列结论:①ac<0;②a+b=0;③4ac-b2=4a;④a+b+c<0.其中正确结论的个数是( ) A、1 B、2 C、3 D、4 4、(2011•山西)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,对称轴为直线x=1,则下列结论正确的是( ) A、ac>0B、方程ax2+bx+c=0的两根是x1=-1,x2=3 C、2a-b=0 D、当x>0时,y随x的增大而减小 5、(2011•泸州)已知二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)的图象如图所示,有下列结论:①abc>0,②b2-4ac<0,③a-b+c>0,④4a-2b+c<0,其中正确结论的个数是( ) A、1 B、2 C、3 D、4 6、(2011•兰州)如图所示的二次函数y=ax2+bx+c的图象中,刘星同学观察得出了下面四条信息: (1)b2-4ac>0;(2)c>1;(3)2a-b<0;(4)a+b+c<0.你认为其中错误的有( ) A、2个 B、3个 C、4个 D、1个 7、(2011•昆明)抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则下列说法正确的是( ) A、b2-4ac<0 B、abc<0 C、 -b2a<-1 D、a-b+c<0 8、(2011•鸡西)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,现有下列结论:①b2-4ac>0 ②a>0 ③b>0 ④c>0 ⑤9a+3b+c<0,则其中结论正确的个数是( )A、2个 B、3个 C、4个 D、5个 9、(2011•防城港)已知二次函数y=ax2的图象开口向上,则直线y=ax-1经过的象限是( ) A、第一、二、三象限 B、第二、三、四象限C、第一、二、四象限 D、第一、三、四象限 10、(2010•昭通)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则下列结论正确的是( ) A、a<0,b<0,c>0,b2-4ac>0 B、a>0,b<0,c>0,b2-4ac<0 C、a<0,b>0,c<0,b2-4ac>0 D、a<0,b>0,c>0,b2-4ac>0 11、(2010•梧州)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,那么下列判断不正确的是( ) A、ac<0 B、a-b+c>0 C、b=-4a D、关于x的方程ax2+bx+c=0的根是x1=-1,x2=5 12、(2010•文山州)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则a,b,c满足( ) A、a<0,b<0,c>0,b2-4ac>0 B、a<0,b<0,c<0,b2-4ac>0 C、a<0,b>0,c>0,b2-4ac<0 D、a>0,b<0,c>0,b2-4ac>0 13、(2010•铁岭)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,有下列4个结论,其中正确的结论是( ) A、abc>0 B、b>a+c C、2a-b=0 D、b2-4ac<0 14、(2010•钦州)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则下列结论: ①ac>0;②a-b+c<0;③当x<0时,y<0; ④方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个大于-1的实数根. 其中错误的结论有( ) A、②③ B、②④ C、①③ D、①④ 15、(2010•黔南州)如图所示为二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象,在下列选项中错误的是( ) A、ac<0 B、x>1时,y随x的增大而增大 C、a+b+c>0 D、方程ax2+bx+c=0的根是x1=-1,x2=3 16、(2010•荆门)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,下列结论错误的是( ) A、ab<0 B、ac<0 C、当x<2时,函数值随x增大而增大;当x>2时,函数值随x增大而减小 D、二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标就是方程ax2+bx+c=0的根 17、(2010•福州)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则下列结论正确的是( ) A、a>0 B、c<0 C、b2-4ac<0 D、a+b+c>0 18、(2010•鄂州)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,下列结论①a,b异号;②当x=1和x=3时,函数值相等;③4a+b=0;④当y=4时,x的取值只能为0,结论正确的个数有( )个. A、1 B、2 C、3 D、4 19、(2010•百色)二次函数y=-x2+bx+c的图象如图所示,下列几个结论: ①对称轴为x=2;②当y≤0时,x<0或x>4; ③函数解析式为y=-x(x-4);④当x≤0时,y随x的增大而增大. 其中正确的结论有( ) A、①②③④ B、①②③ C、①③④ D、①③ 三、能力练习 1.(2010•广安)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,下列结论:①abc>0;②b<a+c;③2a+b=0;④a+b>m(am+b)(m≠1的实数). 其中正确的结论有( ) A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 2.如图,抛物线y=ax+bx+c的对称轴是x=1,下列结论:①b<0;②(a+c)>b;③2a+b-c>0;④3b<2c.其中正确的结论有 ①③④(填上正确结论的序号). 解:∵抛物线的开口方向向上,∴a>0,∵对称轴为x=$-\frac{b}{2a}$=1,得2a+b=0,2a=-b, ∴a、b异号,即b<0,∴①正确;∵抛物线与轴的交点在y轴负半轴,∴c<0,∴2a+b-c=-c>0,∴③正确;∵当x=1时,y=a+b+c<0,∵当x=-1时,y=a-b+c>0,∴2a-2b+2c>0,∴-b-2b+2c>0,∴3b<2c,∴④正确;∵a+b+c<0,a-b+c>>0,∴(a+b+c)(a-b+c)<0,即(a+c)2-b2<0,②错误.正确答案:①③④. 3.(2011•广西)已知:二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,下列结论中:①abc>0;②2a+b<0;③a+b<m(am+b)(m≠1的实数);④(a+c)2<b2;⑤a>1.其中正确的项是( ) A、①⑤ B、①②⑤ C、②⑤ D、①③④ 解:①∵抛物线的开口向上,∴a>0,∵与y轴的交点为在y轴的负半轴上,∴c<0, ∵对称轴为x=>0,∴a、b异号,即b<0,又∵c<0,∴abc>0,故本选项正确; ②∵对称轴为x=>0,a>0,-<1,∴-b<2a,∴2a+b>0;故本选项错误; ③当x=1时,y1=a+b+c; 当x=m时,y2=m(am+b)+c,当m>1,y2>y1;当m<1,y2<y1,所以不能确定;故本选项错误; ④当x=1时,a+b+c=0;当x=-1时,a-b+c>0;∴(a+b+c)(a-b+c)=0,即(a+c)2-b2=0,∴(a+c)2=b2故本选项错误 ⑤当x=-1时,a-b+c=2;当x=1时,a+b+c=0,∴a+c=1,∴a=1+(-c)>1,即a>1;故本选项正确;综上所述,正确的是①⑤.故选A. 4.(2010•天津)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,有下列结论: ①b2-4ac>0;②abc>0;③8a+c>0;④9a+3b+c<0 其中,正确结论的个数是( )A、1 B、2 C、3 D、4 解:①根据图示知,二次函数与x轴有两个交点,所以△=b2-4ac>0;故本选项正确; ②根据图示知,该函数图象的开口向上,∴a>0;又对称轴x=-=1,∴<0,∴b<0;又该函数图象交于y轴的负半轴,∴c<0;∴abc>0;故本选项正确; ③∵对称轴x=-=1,∴b=-2a,可将抛物线的解析式化为:y=ax2-2ax+c(a≠0); 由函数的图象知:当x=-2时,y>0;即4a-(-4a)+c=8a+c>0,故本选项正确;也可以:当x=4时,从图像上看y>0,此时16a+4b+c>0,而从对称性看出-=1,解得b=-2a,代入上式得8a+c>0; ④根据抛物线的对称轴方程可知:(-1,0)关于对称轴的对称点是(3,0);当x=-1时,y<0,所以当x=3时,也有y<0,即9a+3b+c<0;故本选项正确;所以这四个结论都正确.故答案为:4. 5.如图,已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象,则下列结论正确序号是 ①②③④ (只填序号).①abc>0,②c=-3a,③b2-4ac>0,④a+b<m(am+b)(m≠1的实数). 解:①正确,∵与y轴交于负半轴,所以c<0,∵开口向上,∴a>0, 又∵对称轴在y轴右侧,∴->0,∴b<0,∴abc>0. ②正确,∵ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1=-1,x2=3,根据根与系数的关系,=3×(-1)=-3,即c=-3a. ③正确,∵函数图象与x轴有两个点,∴b2-4ac>0; ④正确,由函数图象可知,对称轴为x=1,此时y取最小值为:a+b+c; ∵当x=m时,y值为:am2+bm+c;∴am2+bm+c>a+b+c,(m≠1的实数),∴a+b<m(am+b). 6.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,以下结论:①a+b+c=0;②4a+b=0;③abc<0;④4ac-b2<0;⑤当x≠2时,总有4a+2b>ax2+bx其中正确的有 ①②④⑤ (填写正确结论的序号). 解:①由图象可知:当x=1时y<0,∴a+b+c<0. ②由图象可知:对称轴x=-=2,∴4a+b=0,∴正确; 由抛物线与x轴有两个交点可以推出b2-4ac>0,正确; ③由抛物线的开口方向向下可推出a<0因为对称轴在y轴右侧,对称轴为x=->0,又因为a<0,b>0;由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上,∴c<0,故abc>0,错误;④由抛物线与x轴有两个交点可以推出b2-4ac>0∴4ac-b2<0正确; ⑤∵对称轴为x=2,∴当x=2时,总有y=ax2+bx+c=4a+2b+c>0,∴4a+2b>ax2+bx正确.故答案为:①②④⑤. 7.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如下图所示,有下列5个结论:①abc<0;②a-b+c>0;③2a+b=0;④b2-4ac>0⑤a+b+c>m(am+b)+c,(m>1的实数),其中正确的结论有( ) A.1个B.2个C.3个D.4个 解:由图象可知:开口向下,与Y轴交点在X轴的上方,对称轴是x=1,∴c>0,a<0,-=1, ∴2a+b=0,b>0,∴(1)abc<0(正确),(3)2a+b=0(正确), (2)当x=-1时,y=ax2+bx+c=a-b+c,由图象可知当x=-1时y<0,即a-b+c<0,∴(2)a-b+c>0(不正确), (4)由图象知与X轴有两个交点,∴b2-4ac>0,即(4)b2-4ac>0(正确),∵m>1, 当x=1时,y1=ax2+bx+c=a+b+c, 当x=m时,y2=ax2+bx+c=am2+bm+c=m(am+b)+c,由图象知y1>y2,即(5)a+b+c>m(am+b)+c(正确), 综合上述:(1)(3)(4)(5)正确 有4个正确. 8.如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,图象过点A(x1,0),-3<x1<-2,对称轴为x=-1.给出四个结论: ①abc>0;②2a+b=0;③b2>4ac;④a-b>m(ma+b)(m≠-1的实数);⑤3b+2c>0.其中正确的结论有( ) A.2个B.3个C.4个D.5个 解:①由抛物线的开口向下知a<0,与y轴的交点为在y轴的正半轴上, ∴c>0,对称轴为x==-1,得2a=b,∴a、b同号,即b<0,∴abc>0;故本选项正确; ②∵对称轴为x==-1,得2a=b,∴2a+b=4a,且a≠0,∴2a+b≠0;故本选项错误; ③从图象知,该函数与x轴有两个不同的交点,所以根的判别式△=b2-4ac>0,即b2>4ac; 故本选项正确; ④图象开口向下,与y轴交于正半轴,对称轴为x=-1,能得到:a<0,c>0,-=-1,∴b=2a,∴a-b=a-2a=-a,m(ma+b)=m(m+2)a,假设a-b>m(am+b),(m≠1的实数)即-a>m(m+2)a,所以(m+1)2>0,满足题意,所以假设成立,故本选项正确; ⑤∵-3<x1<-2,∴根据二次函数图象的对称性,知当x=1时,y<0;又由①知,2a=b,∴a+b+c<0;∴b+b+c<0, 即3b+2c<0;故本选项错误.综上所述,①③④共有3个正确的.故选B. 9.已知:如图所示,抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=-1,与x轴交于A、B两点,交y轴于点C,且OB=OC,则下列结论正确的个数是( )①b=2a ②a-b+c>-1 ③0<b2-4ac<4 ④ac+1=b.A.1个B.2个C.3个D.4个 解:①∵抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=-1,∴-=-1,整理得b=2a,故①正确; ④由抛物线与y轴相交于点C,就可知道C点的坐标为(0,c),又因OC=OB,所以B(-c,0),把它代入y=ax2+bx+c,即ac2-bc+c=0,两边同时除以c,即得到ac-b+1=0,所以ac+1=b. ②∵b=2a,ac+1=b,∴a=,∵0<c<1,∴0<a<1,∴0<b<2,∴a-b+c>-1∴当x=-1时,y=ax2+bx+c=a-b+c>-1, 故②正确; ③∵函数图象与x轴有两个交点,∴得到b2-4ac>0,∵0<b2<4,4ac>0,∴b2-4ac<4故③正确;故选D. 10.如图所示,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过点(-1,2),且与x轴交点的横坐标为x1、x2,其中-2<x1<-1,0<x2<1,下列结论:①abc>0;②4a-2b+c<0;③2a-b>0;④b2+8a>4ac,正确的结论是①②④ 解:由图知:抛物线的开口向下,则a<0;抛物线的对称轴x=->-1,且c>0; ①∵对称轴x=-<0,a<0,∴b<0;又∵c>0,∴abc>0,故本选项正确; ②由图可得:当x=-2时,y<0,即4a-2b+c<0,故本选项正确; ③已知x=->-1,且a<0,所以2a-b<0,故本选项错误; ④由于抛物线的对称轴大于-1,所以抛物线的顶点纵坐标应该大于2,即:>2,由于a<0,所以4ac-b2<8a,即b2+8a>4ac,故本选项正确;因此正确的结论是②④;故答案是:①②④. 11.(2006•武汉)(人教版)已知抛物线y=ax2+bx+c(a>0)的对称轴为直线x=-1,与x轴的一个交点为(x1,0),且0<x1<1,下列结论:①9a-3b+c>0;②b<a;③3a+c>0.其中正确结论的个数是( )A.0 B.1 C.2 D.3 解:∵y=ax2+bx+c(a>0)的对称轴为直线x=-1,与x轴的一个交点为(x1,0),且0<x1<1,∴x=-3时,y=9a-3b+c>0;∵对称轴是x=-1,则=-1,∴b=2a.∵a>0,∴b>a;再取x=1时,y=a+b+c=a+2a+c=3a+c>0.∴①、③正确.故选C. 12.如图为抛物线y=ax2+bx+c的图象,A、B、C为抛物线与坐标轴的交点,且OA=OC=1,AB>AO,下列几个结论: (1)abc<0;(2)b>2a;(3)a-b=-1;(4)4a-2b+1<0.其中正确的个数是( )A.4 B.3 C.2 D.1 : 解:(1)∵该抛物线的开口向上,∴a>0;又∵该抛物线的对称轴x=-<0,∴b>0;而该抛物线与y轴交于正半轴,故c>0,∴abc>0;故本选项错误; (2)由(1)知,a>0,-<0,∴b>-2a;故本选项错误; (3)∵OA=OC=1,∴由图象知:C(0,1),A(-1,0),把C(0,1)代入y=ax2+bx+c得:c=1,把A(-1,0)代入y=ax2+bx+c得:a-b=-1,故本选项正确; (4)由(3)知,点A的坐标是(-1,0).又∵AB>AO,∴当x=-2时,y<0,即4a-2b+1<0;故本选项正确. 综上所述,正确的个数是2个.故选C. 13.如图所示,二次函数y=ax+bx+c(a≠0)的图象经过点(-1,2),且与x轴交点的横坐标为x1、x2,其中-2<x1<-1、0<x2<1.下列结论:①4a-2b+c<0,②2a-b<0,③a<-1,④b+8a>4ac中,正确的结论是 解:由图知:抛物线的开口向下,则a<0;抛物线的对称轴x=- >-1,且c>0; ①由图可得:当x=-2时,y<0,即4a-2b+c<0,故①正确; ②已知x=- >-1,且a<0,所以2a-b<0,故②正确; ③已知抛物线经过(-1,2),即a-b+c=2(1),由图知:当x=1时,y<0,即a+b+c<0(2), 由①知:4a-2b+c<0(3);联立(1)(2),得:a+c<1;联立(1)(3)得:2a-c<-4; 故3a<-3,即a<-1;所以③正确; ④由于抛物线的对称轴大于-1,所以抛物线的顶点纵坐标应该大于2,即: >2,由于a<0,所以4ac-b2<8a,即b2+8a>4ac,故④正确;因此正确的结论是①②③④. 14.已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示,则下列结论:①abc>0;②a+b+c=2;③a<;④b>1.其中正确的结论是( )A.①②B.②③C.③④D.②④ 解:①∵抛物线的开口向上,∴a>0,∵与y轴的交点为在y轴的负半轴上,∴c<0, ∵对称轴为x=<0,∴a、b同号,即b>0,∴abc<0,故本选项错误; ②当x=1时,函数值为2,∴a+b+c=2;故本选项正确; ③∵对称轴x=>-1,解得:<a,∵b>1,∴a>,故本选项错误;④当x=-1时,函数值<0,即a-b+c<0,(1)又a+b+c=2,将a+c=2-b代入(1),2-2b<0,∴b>1故本选项正确;综上所述,其中正确的结论是②④;故选D. 15.(2003•武汉)已知:抛物线y=ax2+bx+c(a<0)经过点(-1,0),且满足4a+2b+c>0,以下结论:①a+b>0;②a+c>0;③-a+b+c>0;④b2-2ac>5a2,其中正确的个数有( )A.1个B.2个C.3个D.4个 解:(1)因为抛物线y=ax2+bx+c(a<0)经过点(-1,0),所以原式可化为a-b+c=0----①, 又因为4a+2b+c>0----②,所以②-①得:3a+3b>0,即a+b>0;(2)②+①×2得,6a+3c>0,即2a+c>0, ∴a+c>-a,∵a<0,∴-a>0,故a+c>0;(3)因为4a+2b+c>0,可以看作y=ax2+bx+c(a<0)当x=2时的值大于0,草图为:可见c>0,∵a-b+c=0,∴-a+b-c=0,两边同时加2c得-a+b-c+2c=2c,整理得-a+b+c=2c>0,即-a+b+c>0; (4)∵过(-1,0),代入得a-b+c=0,∴c=b-a,再代入4a+2b+c=3b+3a>0,即b>-a∴b>0,a<0,c=b-a>0, 又将c=b-a代入b2-2ac=b2-2a(b-a)=b2-2ab+2a2,∵b2-2ab=b(b-2a),b>-a,b-2a>-3a,并且b是正数, ∴原式大于3a2.综上可知正确的个数有4个.故选D. 16.如图,是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,图象过点A(-3,0),对称轴为x=-1.给出四个结论:①b2>4ac;②b=-2a;③a-b+c=0;④b>5a.其中正确结论是 ①④ . 解:①∵图象与x轴有交点,对称轴为x==-1,与y轴的交点在y轴的正半轴上, 又∵二次函数的图象是抛物线,∴与x轴有两个交点,∴b2-4ac>0,即b2>4ac,正确; ②∵抛物线的开口向下,∴a<0,∵与y轴的交点在y轴的正半轴上,∴c>0,∵对称轴为x==-1,∴2a=b,∴2a+b=4a,a≠0,错误; ③∵x=-1时y有最大值,由图象可知y≠0,错误; ④把x=1,x=-3代入解析式得a+b+c=0,9a-3b+c=0,两边相加整理得5a-b=-c<0,即5a<b.故正确的为①④. 16- 配套讲稿:
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