2019_2020学年新教材高中数学课时跟踪检测九函数的应用二新人教B版必修第二册.doc

课时跟踪检测（九） 函数的应用（二）
A级——学考水平达标练
1．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y＝f(x)的图像大致是(　　)

解析：选D　设该林区的森林原有蓄积量为a，由题意知，ax＝a(1＋0.104)y，故y＝log1.104x(x≥1)，∴y＝f(x)的图像大致为D中图像．
2．某林场计划第一年造林10 000亩，以后每年比前一年多造林20%，则第四年造林(　　)
A．14 400亩 B．172 800亩
C．20 736亩 D．17 280亩
解析：选D　设年份为x，造林亩数为y，则y＝10 000×(1＋20%)x－1，∴x＝4时，y＝17 280.故选D.
3．衣柜里的樟脑丸，随着时间会挥发而体积缩小，刚放进的新丸体积为a，经过t天后体积V与天数t的关系式为：V＝a·e－kt.已知新丸经过50天后，体积变为a.若一个新丸体积变为a ，则需经过的天数为(　　)
A．125 B．100
C．75 D．50
解析：选C　由已知，得a＝a·e－50k，∴e－k＝.
设经过t1天后，一个新丸体积变为a，
则a＝a·e－kt1，
∴＝(e－k)t1＝，
∴＝，t1＝75.
4．某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2019年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(　　)
(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)
A．2021年 B．2022年
C．2023年 D．2024年
解析：选C　设经过x年后该公司全年投入的研发资金开始超过200万元，则130(1＋12%)x>200，即1.12x>⇒x>＝≈＝3.8，所以该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是2023年．
5．一种专门侵占内存的计算机病毒，开机时占据内存2 KB，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机后经过________分钟，该病毒占据64 MB内存(1 MB＝210KB)．
解析：设开机后经过n个3分钟后，该病毒占据64 MB内存，
则2×2n＝64×210＝216，解得n＝15，故时间为15×3＝45(分钟)．
答案：45
6．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v米/秒和燃料的质量M千克、火箭(除燃料外)的质量m千克的函数关系式是v＝2 000·ln.当燃料质量是火箭质量的________倍时，火箭的最大速度可达12千米/秒．
解析：当v＝12 000时，2 000·ln＝12 000，
∴ln＝6，∴＝e6－1.
答案：e6－1
7．用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的，要使存留的污垢不超过1%，则至少要清洗的次数是________(lg 2≈0.301 0)．
解析：设至少要清洗x次，则x≤，所以x≥≈3.322，所以需4次．
答案：4
8．“学习曲线”可以用来描述学习某一任务的速度，假设函数t＝－144lg中，t表示达到某一英文打字水平所需的学习时间，N表示每分钟打出的字数．则当N＝40时，t＝________.(已知lg 5≈0.699，lg 3≈0.477)
解析：当N＝40时，则t＝－144lg＝－144 lg＝－144(lg 5－2lg 3)≈36.72.
答案：36.72
9．某地区发生里氏8.0级特大地震．地震专家对发生的余震进行了监测，记录的部分数据如下表：
强度(J)
1.6×1019
3.2×1019
4.5×1019
6.4×1019
震级(里氏)
5.0
5.2
5.3
5.4
注：地震强度是指地震时释放的能量．
地震强度(x)和震级(y)的模拟函数关系可以选用y＝alg x＋b(其中a，b为常数)．结合散点图(如图)求a的值．(取lg 2≈0.3进行计算)

解：由记录的部分数据可知x＝1.6×1019时，y＝5.0，
x＝3.2×1019时，y＝5.2.
所以5.0＝alg(1.6×1019)＋b，　①
5．2＝alg(3.2×1019)＋b，　　 　②
②－①得0.2＝alg，0.2＝alg 2.
所以a＝＝＝.
10．在数学课外活动中，小明同学进行了糖块溶于水的实验：将一块质量为7克的糖块放入一定量的水中，测量不同时刻未溶解糖块的质量，得到若干组数据，其中在第5分钟末测得未溶解糖块的质量为3.5克．联想到教科书中研究“物体冷却”的问题，小明发现可以用指数型函数S＝ae－kt(a，k是常数)来描述以上糖块的溶解过程，其中S(单位：克)代表t分钟末未溶解糖块的质量．
(1)求a的值．
(2)求k的值．
(3)设这个实验中t分钟末已溶解的糖块的质量为M，请画出M随t变化的函数关系的草图，并简要描述实验中糖块的溶解过程．
解：(1)由题意，t＝0，S＝a＝7.
(2)因为5分钟末测得未溶解糖块的质量为3.5克，
所以3.5＝7e－5k，解得k＝.
(3)M随t变化的函数关系的草图如图所示．溶解过程，随着时间的增加，逐渐溶解．

B级——高考水平高分练
1．某学校开展研究性学习活动，一组同学获得了下面的一组试验数据.
x
1.99
3
4
5.1
8
y
0.99
1.58
2.01
2.35
3.00

现有如下5个模拟函数：
①y＝0.58x－0.16；②y＝2x－3.02；③y＝x2－5.5x＋8；④y＝log2x；⑤y＝x＋1.74.
请从中选择一个模拟函数，使它比较近似地反映这些数据的规律，应选________．(填序号)
解析：画出散点图如图所示．

由图可知，上述点大体在函数y＝log2x上(对于y＝0.58x－0.16，可代入已知点验证不符合)，故选择y＝log2x可以比较近似地反映这些数据的规律．
答案：④
2．2008年我国人口总数为14亿，如果人口的自然年增长率控制在1.25%，则________年我国人口将超过20亿．(lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1，lg 7≈0.845 1)
解析：由题意，得14(1＋1.25%)x－2 008>20，即x－2 008>＝≈28.7，
解得x>2 036.7，又x∈N，故x＝2 037.
答案：2 037
3．生物机体内碳14的半衰期(剩留量为原来的一半所需要的时间)为5 730年，某古墓一文物出土时碳14的残余量约占原始含量的77%，试推算该古墓距出土时约有________年．(参考数据：lg 0.77＝－0.113 5，lg 0.5＝－0.301 0，结果精确到年)
解析：设生物死亡的年数为x年，由题意得
＝77%，
∴＝log0.77＝＝＝，
∴x＝5 730×≈2 161.
∴该古墓距出土时约有2 161年．
答案：2 161
4．一片森林原来的面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的.
(1)求每年砍伐面积的百分比；
(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？
解：(1)设每年砍伐面积的百分比为x(0<x<1)，则a(1－x)10＝a，即(1－x)10＝，解得x＝1－.
(2)设经过m年后森林剩余面积为原来的，则a(1－x)m＝a，
即＝，则＝，解得m＝5.
故到今年为止，该森林已砍伐了5年．

5．诺贝尔奖发放方式为：每年一发，把奖金总额平均分成6份，奖励给分别在6项(物理化学、文学、经济学、生理学或医学、和平)为人类作出最有益贡献的人，每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一半，另一半利息作基金总额，以便保证奖金数逐年增加．假设基金平均年利率为r＝6.24%.资料显示：2015年诺贝尔奖发放后基金总额为19 800万美元．设f(x)表示第x(x∈N＋)年诺贝尔奖发放后的基金总额．(2015年记为f(1)，2016年记为f(2)，…，依次类推)
(1)用f(1)表示f(2)与f(3)，并根据所求结果归纳出函数f(x)的表达式；
(2)试根据f(x)的表达式判断网上一则新闻“2025年度诺贝尔奖各项奖金高达150万美元”是否为真，并说明理由．(参考数据：1.031 29≈1.32)
解：(1)由题意知f(2)＝f(1)(1＋6.24%)－f(1)×6.24%＝f(1)×(1＋3.12%)，
f(3)＝f(2)×(1＋6.24%)－f(2)×6.24%＝f(2)×(1＋3.12%)＝f(1)×(1＋3.12%)2，
∴f(x)＝19 800(1＋3.12%)x－1(x∈N＋)．
(2)2024年诺贝尔奖发放后基金总额为f(10)＝19 800(1＋3.12%)9≈26 136(万美元)，
故2025年度诺贝尔奖各项奖金为×f(10)×6.24%≈136(万美元)，与150万美元相比少了约14万美元，是假新闻．

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