中小学等差等比数列（基础巩固）教学设计（李海娇）公开课教案教学设计课件案例测试练习卷题.doc

4.3.1等差、等比数列的通项与求和（基础巩固）一、 教学目标1、 掌握等差数列、等比数列定义、通项公式和求和公式2、 掌握等差等比数列的基本量和性质的有关应用3、 利用基本知识求解数列的有关综合问题二、知识梳理1.求通项公式的常见类型(1)已知an与Sn的关系或Sn与n的关系,利用公式an=求通项.(2)等差数列、等比数列求通项或转化为等差(比)数列求通项.(3)由递推关系式求数列的通项公式.形如an+1=an+f(n),利用累加法求通项.形如an+1=anf(n),利用累乘法求通项.形如an+1=pan+q,等式两边同时加转化为等比数列求通项.2.数列求和的常用方法(1)公式法:利用等差数列、等比数列的求和公式.(2)错位相减法:适合求数列anbn的前n项和Sn,其中an,bn一个是等差数列,另一个是等比数列.(3)裂项相消法:即将数列的通项分成两个式子的代数和,通过累加抵消中间若干项的方法.(4)拆项分组法:先把数列的每一项拆成两项(或多项),再重新组合成两个(或多个)简单的数列,最后分别求和.(5)并项求和法:把数列的两项(或多项)组合在一起,重新构成一个数列再求和,适用于正负相间排列的数列求和.3.数列单调性的常见题型及方法(1)求最大(小)项时,可利用:数列的单调性;函数的单调性;导数.(2)求参数范围时,可利用:作差法;同号递推法;先猜后证法.4.数列不等式问题的解决方法(1)利用数列(或函数)的单调性.(2)放缩法:先求和后放缩;先放缩后求和,包括放缩后成等差(或等比)数列再求和,或者放缩后裂项相消再求和.一、课前预习1.(2020新高考卷)已知公比大于1的等比数列an满足a2+a4=20,a3=8.(1)求an的通项公式;(2)记bm为an在区间(0,m(mN*)中的项的个数,求数列bm的前100项和S100.命题意图本题考查等比数列的通项公式与前n项和,考查归纳与推理论证能力,考查计算能力.2.(2019全国卷)记Sn为等差数列an的前n项和,已知S9=-a5.(1)若a3=4,求an的通项公式;(2)若a10,求使得Snan的n的取值范围.命题意图该题考查的是有关数列的问题,涉及的知识点有等差数列的通项公式,等差数列的前n项和公式,在解题的过程中,认真分析题意,熟练掌握基础知识是正确解题的关键.3.(2021全国乙卷)记Sn为数列an的前n项和,bn为数列Sn的前n项积,已知(1)证明:数列bn是等差数列;(2)求an的通项公式.命题意图本题考查等差数列的证明,考查数列的前n项和与项的关系,数列的前n项积与项的关系,其中由,得到,进而得到是关键一步;要熟练掌握前n项和,积与数列的项的关系,消和(积)得到项(或项的递推关系),或者消项得到和(积)的递推关系是常用的重要的思想方法.二、课中例析题例1(2019全国卷)已知数列an和bn满足a1=1,b1=0,4an+1=3an-bn+4,4bn+1=3bn-an-4.(1)证明:an+bn是等比数列,an-bn是等差数列;(2)求an和bn的通项公式.命题意图掌握证明(或判断)数列是等差(比)数列的四种基本方法(1)定义法:an+1-an=d(常数)(nN*)an是等差数列；=q(q是非零常数)an是等比数列.(2)等差(比)中项法:2an+1=an+an+2(nN*)an是等差数列;=anan+2(nN*)an是等比数列.(3)通项公式法:an=pn+q(p,q为常数)an是等差数列;an=a1qn-1(其中a1,q为非零常数,nN*)an是等比数列.(4)前n项和公式法:Sn=An2+Bn(A,B为常数)an是等差数列;Sn=Aqn-A(A为非零常数,q0,1)an是等比数列.例2 已知数列an是首项为2,公差为1的等差数列,bn是首项为1,公比为2的等比数列,n2时,则()A. B. C. D.大小不能确定命题意图等差、等比数列的通项公式是利用首项与公差、公比来表示,同时还要能用函数的角度来看待它们.例3 (2021新高考卷)已知数列an满足a1=1,an+1=(1)记bn=a2n,写出b1,b2,并求数列bn的通项公式;(2)求an的前20项和.命题意图掌握对于数列的交叉递推关系,一般利用已知的关系得到奇数项的递推关系或偶数项的递推关系,再结合已知数列的通项公式、求和公式等来求解.例4 (2020浙江名校协作体考试)已知等比数列an中a5=1,若,则a2+a4+a6+a8等于()A.4 B.5 C.16 D.25命题意图掌握等差、等比数列的性质主要是指m+n=p+q,am,an,ap,aq的关系以及结合等差、等比通项、前n项和衍生得到的一些结论.三、课后巩固题1.(2020浙大附中测试)等比数列an中,首项是a1,公比是q,则q1是数列an单调递增的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.设Sn为等差数列an的前n项和,(n+1)SnnSn+1(nN*).若4时有S8=20,S2n-1-S2n-9=116,则an等于()A.6 B. C.39 D.786.(2020浙江名校协作体考试)已知数列an为等差数列,公差为d(d0),且满足a3a4+2a4a6+a5a12=2 019d,则=.7.(2020海宁桐乡月考)等比数列an的相邻两项an,an+1是方程x2-2nx+cn=0(nN*)的两个实根,记Tn是数列cn的前n项和,则Tn=.8.设Sn为数列an的前n项和,已知a2=3,an+1=2an+1.(1)证明:an+1为等比数列;(2)求an的通项公式,并判断n,an,Sn是否成等差数列,说明理由.9.(2019全国卷)已知an是各项均为正数的等比数列,a1=2,a3=2a2+16.(1)求an的通项公式;(2)设bn=log2an,求数列bn的前n项和.10.在等差数列an中,a10-a2=16,且a3=6.(1)求an的通项公式;(2)若bn=,证明:数列bn为等比数列,并求其前n项和Sn.11.已知数列an满足a1=,an+1an=2an+1-1,令bn=an-1.(1)求证:数列为等差数列;(2)设cn=,求证:数列cn的前n项和Tnn+.