2019_2020学年新教材高中数学课时跟踪检测四十正切函数的性质与图象新人教A版必修第一册.doc

课时跟踪检测（四十） 正切函数的性质与图象
A级——学考水平达标练
1．函数f(x)＝2x－tan x在上的图象大致为(　　)

解析：选D　∵f(x)为奇函数，故排除B、C，当x→时，f(x)→－∞，选D.
2．函数y＝－2＋tan的定义域是(　　)
A.，k∈Z
B.，k∈Z
C.，k∈Z
D.，k∈Z
解析：选A　由－＋kπ＜x＋＜＋kπ，k∈Z，解得－π＋2kπ＜x＜＋2kπ，k∈Z.
3．下列函数中，以π为周期且在内是增函数的为(　　)
A．y＝tan　　　 　B．y＝sin
C．y＝cos 2x D．y＝sin
解析：选A　由π为周期，可排除D项；A项，易知y＝tan在上单调递增，而是的一个子区间，所以y＝tan在上单调递增；C选项中的函数在上单调递减，故排除C；B项，由x∈得＜2x＋＜，所以y＝sin在上不单调，排除B，故选A.
4．函数f(x)＝lg(tan x＋ )(　　)
A．是奇函数
B．既是奇函数又是偶函数
C．是偶函数
D．既不是奇函数又不是偶函数
解析：选A　∵＞|tan x|≥－tan x，
∴f(x)的定义域为，关于原点对称，
又f(－x)＋f(x)＝lg(－tan x＋)＋lg(tan x＋)＝lg 1＝0，
∴f(x)为奇函数，故选A.
5．下列不等式中，成立的是(　　)
A．tan＞tan
B．tan＜tan
C．tan＜tan
D．tan＞tan
解析：选D　tan＝tan＜tan；
tan＝tan＜tan；
tan＝tan，tan＝tan，
∵tan＞tan，
∴tan＞tan；
tan＝tan＝tan＝－tan，
tan＝tan＝tan＝－tan，
又tan＞tan，所以tan＜tan.
6．函数y＝的最小正周期为________．
解析：y＝＝

其图象如图所示：

由图象知y＝的最小正周期为π.
答案：π
7．函数y＝tan的值域是________．
解析：∵－1≤cos x≤1，且函数y＝tan x在[－1,1]上为增函数，∴tan(－1)≤tan x≤tan 1.
即－tan 1≤tan x≤tan 1.
答案：[－tan 1，tan 1]
8．若tan x＞tan且x是第三象限角，则x的取值范围是________．
解析：∵tan x＞tan＝tan且x是第三象限角，∴2kπ＋＜x＜2kπ＋(k∈Z)，即x的取值范围是(k∈Z)．
答案：(k∈Z)
9．判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝sin x＋tan x；(2)f(x)＝.
解：(1)f(x)的定义域为，关于原点对称．
因为f(－x)＝sin(－x)＋tan(－x)＝－sin x－tan x＝－f(x)，
所以函数f(x)＝sin x＋tan x是奇函数．
(2)由题意，得tan x≠1，且x≠kπ＋，k∈Z，
所以函数f(x)的定义域为，不关于原点对称．
所以函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．
10．设函数f(x)＝tan(ωx＋φ)，已知函数y＝f(x)的图象与x轴相邻两个交点的距离为，且图象关于点M对称．
(1)求f(x)的解析式；
(2)求f(x)的单调区间．

解：(1)由题意，知函数f(x)的最小正周期T＝，即＝.
因为ω＞0，所以ω＝2，所以f(x)＝tan(2x＋φ)．
因为函数y＝f(x)的图象关于点M对称，
所以2×＋φ＝，k∈Z，即φ＝＋，k∈Z.
又0＜φ＜，所以φ＝.
故f(x)＝tan.
(2)令－＋kπ＜2x＋＜＋kπ，k∈Z，得－＋kπ＜2x＜kπ＋，k∈Z，即－＋＜x＜＋，k∈Z，
所以函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z，无单调递减区间．
B级——高考水平高分练
1．函数y＝tan x＋sin x－|tan x－sin x|在区间内的图象大致是(　　)

解析：选D　令x＝，则y＝－2，排除A、B、C，故选D.
2．若直线x＝(|k|≤1)与函数y＝tan的图象不相交，则k＝________.
解析：直线x＝＋nπ，n∈Z与函数y＝tan x的图象不相交，
由题意可知，2×＋＝＋nπ，n∈Z，
得到k＝n＋，n∈Z，而|k|≤1，
故n＝0或－1，
所以k＝或k＝－.
答案：或－
3．画出函数y＝|tan x|的图象，并根据图象判断其单调区间和奇偶性．
解：由函数y＝|tan x|得
y＝
根据正切函数图象的特点作出函数的图象，图象如图．

由图象可知，函数y＝|tan x|是偶函数．
函数y＝|tan x|的单调增区间为，k∈Z，单调减区间为，k∈Z.
4．设函数f(x)＝tan.
(1)求函数f(x)的最小正周期，图象的对称中心；
(2)作出函数f(x)在一个周期内的简图．
解：(1)∵ω＝，
∴最小正周期T＝＝＝2π.
令－＝(k∈Z)，得x＝kπ＋(k∈Z)，
∴f(x)的图象的对称中心是(k∈Z)．
(2)令－＝0，得x＝；令－＝，得x＝；令－＝－，得x＝－.
∴函数f(x)＝tan的图象与x轴的一个交点坐标是，在这个交点左、右两侧相邻的两条渐近线方程分别是x＝－，x＝，从而得到函数y＝f(x)在一个周期内的简图，如图所示．

5．是否存在实数a，且a∈Z，使得函数y＝tan在x∈上是单调递增的？若存在，求出a的一个值；若不存在，请说明理由．
解：∵y＝tan θ在区间(k∈Z)上为增函数，∴a＜0.
又x∈，∴－ax∈，
∴－ax∈，
∴
解得－－≤a≤6－8k(k∈Z)．
令－－＝6－8k，解得k＝1，此时－2≤a≤－2，
∴a＝－2＜0，∴存在a＝－2∈Z，满足题意．

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