2019_2020学年新教材高中数学第一章集合与常用逻辑用语1.1.3.2补集及综合应用练习含解析新人教B版必修第一册.doc

第2课时　补集及综合应用

知识点　补集
1．全集
在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集，全集通常用U表示．
2．补集

　全集并不是一个含有任何元素的集合，仅包含所研究问题涉及的所有元素．
∁UA的三层含义：
(1)∁UA表示一个集合；
(2)A是U的子集，即A ⊆U；
(3)∁UA是U中不属于A的所有元素组成的集合．
[基础自测]
1．设全集U＝R，集合P＝{x|－2≤x<3}，则∁UP等于(　　)
A．{x|x<－2或x≥3}　B．{x|x<－2或x>3}
C．{x|x≤－2或x>3} D．{x|x≤－2且x≥3}
解析：由P＝{x|－2≤x<3}得∁UP＝{x|x<－2或x≥3}．
答案：A
2．设全集U＝{1,2,3,4,5,6}，A＝{1,2}，B＝{2,3,4}，则A∩(∁UB)＝(　　)
A．{1,2,5,6} B．{1}
C．{2} D．{1,2,3,4}
解析：∵∁UB＝{1,5,6}，∴A∩(∁UB)＝{1,2}∩{1,5,6}＝{1}．
答案：B
3．已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合∁U(A∪B)等于(　　)
A．{x|x≥0} B．{x|x≤1}
C．{x|0≤x≤1} D．{x|0<x<1}
解析：A∪B＝{x|x≤0或x≥1}，
所以∁U(A∪B)＝{x|0<x<1}．故选D.
答案：D
4．已知集合U＝{2,3,6,8}，A＝{2,3}，B＝{2,6,8}，则(∁UA)∩B＝________.
解析：先计算∁UA，再计算(∁UA)∩B.
∵U＝{2,3,6,8}，A＝{2,3}，∴∁UA＝{6,8}．
∴(∁UA)∩B＝{6,8}∩{2,6,8}＝{6,8}．
答案：{6,8}

题型一　补集的运算[教材P18例5]
例1　已知A＝(－1，＋∞)，B＝(－∞，2]，求∁RA，∁RB.
【解析】　在数轴上表示出A和B，如图所示．

由图可知∁RA＝(－∞，－1]，∁RB＝(2，＋∞).

教材反思
求补集的原则和方法
(1)一个基本原则．
求给定集合A的补集，从全集U中去掉属于集合A的元素后，由所有剩下的元素组成的集合即为A的补集．
(2)两种求解方法：
①若所给的集合是有关不等式的集合，则常借助于数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后再根据补集的定义求解，注意端点值的取舍．
②若所给的集合是用列举法表示，则用Venn图求解．

跟踪训练1　(1)已知全集U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,3}，则∁UA＝(　　)
A．∅　　　　　　　　　B．{1,3}
C．{2,4,5} D．{1,2,3,4,5}
(2)设全集为R，集合A＝{x|0<x<2}，B＝{x|x≥1}，则A∩(∁RB)＝(　　)
A.{x|0<x≤1}
B．{x|0<x<1}
C．{x|1≤x<2}
D．{x|0<x<2}
解析：(1)本小题考查集合的运算．
∵U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,3}，∴∁UA＝{2,4,5}．
利用补集定义直接求．
(2)本题主要考查集合的基本运算．
由B＝{x|x≥1}，得∁RB＝{x|x<1}，
借助于数轴，可得A∩(∁RB)＝{x|0<x<1}，故选B.

利用数轴表示集合A、B，结合数轴求出结果．
答案：(1)C　(2)B
题型二　集合交、并、补的综合运算[经典例题]
例2　(1)已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A＝{2,3,5,6}，集合B＝{1,3,4,6,7}，则集合A∩(∁UB)＝(　　)
A．{2,5} B．{3,6}
C．{2,5,6} D．{2,3,5,6,8}
(2)已知全集U＝R，A＝{x|－4≤x<2}，B＝{x|－1<x≤3}，P＝，求A∩B，(∁UB)∪P，(A∩B)∩(∁UP)．
【解析】　(1)因为U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，B＝{1,3,4,6,7}，所以∁UB＝{2,5,8}．又A＝{2,3,5,6}，
所以A∩(∁UB)＝{2,5}．
先求∁UB，再求A∩∁UB.
(2)将集合A，B，P分别表示在数轴上，如图所示．

因为A＝{x|－4≤x<2}，B＝{x|－1<x≤3}，
所以A∩B＝{x|－1<x<2}，∁UB＝{x|x≤－1或x>3}．
又P＝，
所以(∁UB)∪P＝.
又∁UP＝，所以(A∩B)∩(∁UP)＝{x|－1<x<2}∩＝{x|0<x<2}．
根据集合的交集、补集、并集运算，画数轴，即可求解．
【答案】　(1)A　(2)见解析

方法归纳
求集合交、并、补运算的方法

跟踪训练2　已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3<x≤3}．求∁UA，A∩B，∁U(A∩B)，(∁UA)∩B.
解析：把全集U和集合A，B在数轴上表示如下：

由图可知，∁UA＝{x|x≤－2或3≤x≤4}，
A∩B＝{x|－2<x<3}，
∁U(A∩B)＝{x|x≤－2或3≤x≤4}，
(∁UA)∩B＝{x|－3<x≤－2或x＝3}．
借助数轴求出∁UA，∁UB再运算．
题型三　补集思想的应用[经典例题]
例3　已知集合A＝{x|x2－4x＋2m＋6＝0}，B＝{x|x<0}，若A∩B≠∅，求实数m的取值范围．
【解析】　先求A∩B＝∅时m的取值范围．
(1)当A＝∅时，①
方程x2－4x＋2m＋6＝0无实根，所以Δ＝(－4)2－4(2m＋6)＜0，解得m＞－1.
(2)当A≠∅，A∩B＝∅时，方程x2－4x＋2m＋6＝0的根为非负实根．②
设方程x2－4x＋2m＋6＝0的两根为x1，x2，则
③
即解得－3≤m≤－1，
综上，当A∩B＝∅时，
m的取值范围是{m|m≥－3}．
又因为U＝R，④
所以当A∩B≠∅时，
m的取值范围是∁R{m|m≥－3}＝{m|m<－3}．
所以，A∩B≠∅时，
m的取值范围是{m|m<－3}．
　①A∩B＝∅，对于集合A而言，分A＝∅与A≠∅两种情况. A＝∅表示方程无实根．
②B＝{x|x<0}，而A∩B＝∅，故A {x|x≥0}，即已知方程的根为非负实根．
③Δ≥0保证了A≠∅，即原方程有实根；x1＋x2≥0与x1x2≥0保证了原方程两根非负. 如果两根都大于1，则等价形式为
而不是
④由于A∩B≠∅，故方程x2－4x＋2m ＋6＝0一定有解，故我们还可以设全集U＝{m|Δ≥0}＝{m|m≤－1}．此时，{m|－3≤m≤－1}关于U的补集也是{m|m<－3}，结果相同.

方法归纳
(1)运用补集思想求参数范围的方法：
①否定已知条件，考虑反面问题；
②求解反面问题对应的参数范围；
③将反面问题对应参数的范围取补集．
(2)补集思想适用的情况：
从正面考虑，情况较多，问题较复杂的时候，往往考虑运用补集思想．

跟踪训练3　设全集U＝{3,6，m2－m－1}，A＝{|3－2m|,6}，∁UA＝{5}，求实数m.
解析：因为∁UA＝{5}，所以5∈U但5∉A，
所以m2－m－1＝5，

解得m＝3或m＝－2.
当m＝3时，|3－2m|＝3≠5，
此时U＝{3,5,6}，A＝{3,6}，满足∁UA＝{5}；
当m＝－2时，|3－2m|＝7≠5，
此时U＝{3,5,6}，A＝{6,7}，不符合题意舍去．
综上，可知m＝3.
根据补集的定义，得到关于m的方程m2－m－1＝5，解得m的值后还需检验．

课时作业 4

一、选择题
1．已知集合A＝{x|x2－x－2>0}，则∁RA＝(　　)
A．{x|－1<x<2}　　　B．{x|－1≤x≤2}
C．{x|x<－1}∪{x|x>2} D．{x|x≤－1}∪{x|x≥2}
解析：本题主要考查集合的基本运算及一元二次不等式的解法．
化简A＝{x|x<－1或x>2}，∴∁RA＝{x|－1≤x≤2}．故选B.
答案：B
2．已知A，B均为集合U＝{1,3,5,7,9}的子集，且A∩B＝{3}，(∁UB)∩A＝{9}，则A＝(　　)
A．{1,3} B．{3,7,9}
C．{3,5,9} D．{3,9}
解析：因为A∩B＝{3}，所以3∈A，又(∁UB)∩A＝{9}，所以9∈A.若5∈A，则5∉B(否则5∈A∩B)，从而5∈∁UB，则(∁UB)∩A＝{5,9}，与题中条件矛盾，故5∉A.同理1∉A，7∉A，故A＝{3,9}．
答案：D
3．设全集U＝R，M＝{x|x<－2或x>2}，N＝{x|1<x<3}，则图中阴影部分所表示的集合是(　　)

A．{x|－2≤x<1} B．{x|－2≤x≤2}
C．{x|1<x≤2} D．{x|x<2}
解析：阴影部分所表示集合是N∩(∁UM)，
又∵∁UM＝{x|－2≤x≤2}，
∴N∩(∁UM)＝{x|1<x≤2}．
答案：C
4．设集合M＝{x|－1≤x<2}，N＝{x|x－k≤0}，若(∁RM)⊇(∁RN)，则k的取值范围是(　　)
A．k≤2 B．k≥－1
C．k>－1 D．k≥2
解析：由(∁RM)⊇(∁RN)可知M⊆N，则k的取值范围为k≥2.
答案：D
二、填空题
5．设全集U＝{x∈N*|x≤9}，∁U(A∪B)＝{1,3}，A∩(∁UB)＝{2,4}，则B＝________.
解析：∵全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，
由∁U(A∪B)＝{1,3}，得A∪B＝{2,4,5,6,7,8,9}，
由A∩(∁UB)＝{2,4}知，{2,4}⊆A，{2,4}⊆∁UB，
∴B＝{5,6,7,8,9}．
答案：{5,6,7,8,9}
6．已知全集U＝R，M＝{x|－1<x<1}，∁UN＝{x|0<x<2}，那么集合M∪N＝________.
解析：∵U＝R，∁UN＝{x|0<x<2}，
∴N＝{x|x≤0或x≥2}，
∴M∪N＝{x|－1<x<1}∪{x|x≤0或x≥2}＝{x|x<1或x≥2}．
答案：{x|x<1或x≥2}
7．已知U＝R，A＝{x|a≤x≤b}，∁UA＝{x|x<3或x>4}，则ab＝________.
解析：因为A∪(∁UA)＝R，A∩(∁UA)＝∅，
所以a＝3，b＝4，
所以ab＝12.
答案：12
三、解答题
8．已知全集U＝R，集合A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|0<x≤3}．
求：(1)A∩B；
(2)∁U(A∪B)；
(3)A∩(∁UB)．
解析：(1)因为A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|0<x≤3}，
所以A∩B＝{x|－1<x<2}∩{x|0<x≤3}＝{x|0<x<2}．
(2)A∪B＝{x|－1<x<2}∪{x|0<x≤3}
＝{x|－1<x≤3}，
∁U(A∪B)＝{x|x≤－1或x>3}．
(3)A∩(∁UB)＝{x|－1<x<2}∩{x|x>3或x≤0}＝{x|－1<x≤0}．
9．已知全集U＝{不大于20的素数}，M，N为U的两个子集，且满足M∩(∁UN)＝{3,5}，(∁UM)∩N＝{7,19}，(∁UM)∩(∁UN)＝{2,17}，求M，N.
解析：方法一　U＝{2,3,5,7,11,13,17,19}，
如图，

∴M＝{3,5,11,13}，N＝{7,11,13,19}．
方法二　∵M∩(∁UN)＝{3,5}，
∴3∈M,5∈M且3∉N,5∉N.
又∵(∁UM)∩N＝{7,19}，∴7∈N,19∈N且7∉M,19∉M.
又∵(∁UM)∩(∁UN)＝{2,17}，
∴∁U(M∪N)＝{2,17}，
∴M＝{3,5,11,13}，N＝{7,11,13,19}．
[尖子生题库]
10．已知A＝{x|－1<x≤3}，B＝{x|m≤x<1＋3m}．
(1)当m＝1时，求A∪B；
(2)若B⊆(∁RA)，求实数m的取值范围．
解析：(1)m＝1时，B＝{x|1≤x<4}，
A∪B＝{x|－1<x<4}．
(2)∁RA＝{x|x≤－1或x>3}．
当B＝∅，即m≥1＋3m时，
得m≤－，满足B⊆(∁RA)，
当B≠∅时，要使B⊆(∁RA)成立，
则或
解之得m>3.
综上可知，实数m的取值范围是m>3或m≤－.

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