2019_2020学年新教材高中数学第3章函数的概念与性质3.4函数的应用一课后课时精练新人教A版必修第一册.doc

3.4 函数的应用（一）

A级：“四基”巩固训练
一、选择题
1．据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为4000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.3元，普通车存车费是每辆一次0.2元，若普通车存车数为x辆次，存车费总收入为y元，则y关于x的函数关系式是(　　)
A．y＝0.1x＋800(0≤x≤4000)
B．y＝0.1x＋1200(0≤x≤4000)
C．y＝－0.1x＋800(0≤x≤4000)
D．y＝－0.1x＋1200(0≤x≤4000)
答案　D
解析　y＝0.2x＋0.3(4000－x)＝－0.1x＋1200.
2．某厂日产手套的总成本y(元)与日产量x(双)之间的关系为y＝5x＋40000.而手套出厂价格为每双10元，要使该厂不亏本至少日产手套(　　)
A．2000双 B．4000双
C．6000双 D．8000双
答案　D
解析　由题意得5x＋40000≤10x，解得x≥8000，即日产手套至少8000双才不亏本．
3．为了改善某地的生态环境，政府决定绿化荒山，计划第一年先植树0.5万亩，以后每年比上年增加1万亩，结果每年植树亩数是时间(年数)的一次函数，则这个函数的图象是图中的(　　)

答案　A
解析　函数解析式为y＝0.5＋(x－1)＝x－0.5，实际问题取值范围是x≥1，故选A.
4．李华经营了甲、乙两家电动轿车销售连锁店，其月利润(单位：元)分别为L1＝－5x2＋900x－16000，L2＝300x－2000(其中x为销售辆数)，若某月两连锁店共销售了110辆，则能获得的最大利润为(　　)
A．11000元 B．22000元
C．33000元 D．40000元
答案　C
解析　设甲连锁店销售了x辆，则乙连锁店销售了(110－x)辆，∴利润L＝L1＋L2＝－5x2＋900x－16000＋300(110－x)－2000＝－5x2＋600x＋15000＝－5(x－60)2＋33000，∴当x＝60时，最大利润为33000元．故选C.
5．某工厂的大门是一抛物线型水泥建筑物，大门的地面宽度为8 m，两侧距地面3 m高处各有一个壁灯，两壁灯之间的水平距离为6 m，如图所示，则厂门的高为(水泥建筑物厚度忽略不计，精确到0.1 m)(　　)

A．6.9 m B．7.0 m C．7.1 m D．6.8 m
答案　A
解析　建立如图所示的坐标系，由题设条件知抛物线对应的函数解析式为y＝ax2.设A点的坐标为(4，－h)，则C点的坐标为(3，3－h)．

将这两点的坐标分别代入y＝ax2，
可得解得
所以厂门的高为6.9 m.
二、填空题
6．某航空公司规定，乘机所携带行李的重量x(kg)与运费y(元)之间的函数关系如图所示，那么乘客免费可携带行李的最大重量为________．

答案　19 kg
解析　设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b，将点(30,330)，(40,630)代入得y＝30x－570，令y＝0可得x＝19.
7．某商品进货单价为45元，若按50元一个销售，能卖出50个；若销售单价每涨1元，其销售量就减少2个，为了获得最大利润，此商品的最佳售价应为每个________元．
答案　60
解析　设涨价x元时，获得的利润为y元，有y＝(5＋x)·(50－2x)＝－2x2＋40x＋250.∴当x＝10时，y取得最大值，此时售价为60元．
8．已知甲、乙两种商品在过去一段时间内的价格走势如图所示．假设某商人持有资金120万元，他可以在t1至t4的任意时刻买卖这两种商品，且买卖能够立即成交(其他费用忽略不计)．如果他在t4时刻卖出所有商品，那么他将获得的最大利润是________万元．

答案　120
解析　甲6元时该商人全部买入甲商品，可以买120÷6＝20(万份)，在t2时刻全部卖出，此时获利20×2＝40(万元)，乙4元时该商人买入乙商品，可以买(120＋40)÷4＝40(万份)，在t4时刻全部卖出，此时获利40×2＝80(万元)，共获利40＋80＝120(万元)．
三、解答题
9. 某医疗研究所开发一种新药，如果成人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y(μg)与时间t(h)之间近似满足如图所示的曲线．

(1)写出服药后y与t之间的函数关系式；
(2)据测定：每毫升血液中含药量不少于4 μg时治疗疾病有效，假若某病人一天中第一次服药为上午7：00，问一天中怎样安排服药时间(共4次)效果最佳？
解　(1)依题意得y＝
(2)设第二次服药时在第一次服药后t1小时，则－t1＋＝4，解得t1＝4，因而第二次服药应在11：00.
设第三次服药在第一次服药后t2小时，则此时血液中含药量应为前两次服药后的含药量的和，即有－t2＋－(t2－4)＋＝4，解得t2＝9小时，故第三次服药应在16：00.
设第四次服药在第一次服药后t3小时(t3>10)，则此时第一次服进的药已吸收完，血液中含药量应为第二、第三次的和－(t3－4)＋－(t3－9)＋＝4，解得t3＝13.5小时，故第四次服药应在20：30.
10．国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若每团人数不超过30，则游客需付给旅行社每人900元；若每团人数多于30，则给予以下优惠：每多1人，每人减少10元，直到达到规定人数75为止．旅行社需付给航空公司包机费每团15000元．
(1)写出每位游客需付的费用y(单位：元)关于每团的人数x(单位：人)的函数关系式；
(2)每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？
解　(1)由题意，得
y＝
即y＝
(2)设旅行社获利S(x)元，则
S(x)＝
即S(x)＝
因为S(x)＝900x－15000在区间(0,30]上单调递增，
所以当x＝30时，S(x)取得最大值12000元，
又在区间(30,75]上，S(x)＝－10(x－60)2 ＋21000，
所以当x＝60时，S(x)取得最大值21000.
故当每团人数为60时，旅行社可获得最大利润．
B级：“四能”提升训练
1．国家为了加强对烟酒生产的宏观调控，实行征收附加税政策，现知某种酒每瓶70元，不加收附加税时，每年大约产销100万瓶，若政府征收附加税，每销售100元要征税R元(叫做税率R%)，则每年的销售量减少10R万瓶，要使每年在此项经营中所收附加税金额不少于112万元，则R应怎样确定？
解　设产销量每年为x万瓶，则销售收入为每年70x万元，
从中征收的附加税金额为70x·R%万元，
其中x＝100－10R.
由题意，得70(100－10R)·R%≥112，
整理，得R2－10R＋16≤0.
因为Δ＝36>0，
所以方程R2－10R＋16＝0的两个实数根分别为R1＝2，R2＝8.
由二次函数y＝R2－10R＋16的图象，得不等式的解集为{R|2≤R≤8}．
所以当2≤R≤8时，每年在此项经营中所收附加税金额不少于112万元．
2．某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y＝x2－200x＋80000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．
(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使单位不亏损？
解　(1)由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为＝x＋－200≥2－200＝200，
当且仅当x＝，即x＝400时等号成立，故该单位月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元．
(2)不获利．设该单位每月获利为S元，则S＝100x－y＝100x－＝－x2＋300x－80000＝－(x－300)2－35000，因为x∈[400,600]，所以S∈[－80000，－40000]．
故该单位每月不获利，需要国家每月至少补贴40000元才能不亏损．

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