2019_2020学年新教材高中数学课时素养评价三十一直线与平面垂直二新人教A版必修2.doc
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1、课时素养评价 三十一直线与平面垂直(二)(25分钟50分)一、选择题(每小题4分,共16分,多项选择题全选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)1.四棱锥P-ABCD,PA平面ABCD,且PA=AB=AD,四边形ABCD是正方形,E是PD的中点,则AE与PC的关系是() A.垂直B.相交C.平行D.相交或平行【解析】选A.因为PA=AD,E为PD的中点,所以AEPD,又PA平面ABCD.所以PACD,又因为CDAD.PAAD=A,所以CD平面PAD,所以CDAE.又因为CDPD=D,所以AE平面PCD.所以AEPC.2.已知PA矩形ABCD所在平面,PAAD,M,N分别是AB,PC的
2、中点,则MN垂直于()A.ADB.CDC.PCD.PD【解析】选B.连接AC,取AC的中点为O,连接NO,MO,如图所示:因为N,O分别为PC,AC的中点,所以NOPA,因为PA平面ABCD,所以NO平面ABCD,所以NOCD.又因为M,O分别为AB,AC的中点,所以MOBC.因为BCCD,所以MOCD,因为NOMO=O,所以CD平面MNO,所以CDMN.3.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,若E是A1C1与B1D1的中点,则直线CE垂直于()A.ACB.BDC.A1DD.A1D1【解析】选B.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是A1C1,B1D1的中点,设O是AC,BD的交点
3、,连接EO,则EO平面ABCD,所以EOBD,又COBD,COEO=O,所以BD平面COE,因为CE平面COE,所以BDCE.4.(多选题)如图,直线PA垂直于圆O所在的平面,ABC内接于圆O,且AB为圆O的直径,点M为线段PB的中点.以下各命题中,真命题为()A.BCPCB.OM平面APCC.点B到平面PAC的距离等于线段BC的长D.三棱锥M-PAC的体积等于三棱锥P-ABC体积的一半【解析】选ABCD.因为PA圆O所在的平面,BC圆O所在的平面,所以PABC,而BCAC,PAAC=A,所以BC平面PAC,而PC平面PAC,所以BCPC,故A正确;因为点M为线段PB的中点,点O为AB的中点,
4、所以OMPA,而OM平面PAC,PA平面PAC,所以OM平面APC,故B正确;因为BC平面PAC,所以点B到平面PAC的距离等于线段BC的长,故C正确;三棱锥M-PAC和三棱锥P-ABC均可以平面PAC为底面,此时M到底面的距离是B到底面距离的一半,故三棱锥M-PAC的体积等于三棱锥P-ABC体积的一半,故D正确二、填空题(每小题4分,共8分)5.ABC的三个顶点A,B,C到平面的距离分别为2 cm、3 cm、4 cm,且它们在的同侧,则ABC的重心到平面的距离为_.【解析】如图,设A,B,C在平面上的射影分别为A,B,C,ABC的重心为G,连接CG并延长交AB于中点E,又设E,G在平面上的射
5、影分别为E,G,则EAB,GCE,EE=(AA+BB)=,CC=4,CGGE=21,在直角梯形EECC中,可求得GG=3.答案:36.如图所示,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,当底面四边形ABCD满足条件_时,有A1CB1D1.【解析】若A1CB1D1,由四棱柱ABCD-A1B1C1D1为直四棱柱,AA1B1D1,易得B1D1平面AA1C1C,则A1C1B1D1,即ACBD(或四边形ABCD为菱形).答案:ACBD或四边形ABCD为菱形三、解答题(共26分)7.(12分)如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,O为底面中心,A1O平面ABCD,AB=AA1=.证明
6、:A1C平面BB1D1D.【证明】因为A1O平面ABCD,所以A1OBD.又底面ABCD是正方形,所以BDAC,因为ACA1O=O,所以BD平面A1OC,所以BDA1C.又OA1是AC的中垂线,所以A1A=A1C=,且AC=2,所以AC2=A+A1C2,所以AA1C是直角三角形,所以AA1A1C.又BB1AA1,所以A1CBB1,因为BB1BD=B,所以A1C平面BB1D1D.8.(14分)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面BB1C1C为菱形,B1C的中点为O,且AO平面BB1C1C.(1)证明:B1CAB.(2)若ACAB1,CBB1=60,BC=1,求三棱柱ABC-A1B1C1的高.
7、【解析】(1)连接BC1,则O为B1C与BC1的交点.因为侧面BB1C1C为菱形,所以B1CBC1.又AO平面BB1C1C,所以B1CAO,故B1C平面ABO.由于AB平面ABO,故B1CAB.(2)方法一:在平面BB1C1C内作ODBC,垂足为D,连接AD.在平面AOD内作OHAD,垂足为H.由于BCAO,BCOD,故BC平面AOD,所以OHBC.又OHAD,所以OH平面ABC.因为CBB1=60,所以CBB1为等边三角形.又BC=1,可得OD=.由于ACAB1,所以OA=B1C=.由OHAD=ODOA,且AD=,得OH=.又O为B1C的中点,所以点B1到平面ABC的距离为,故三棱柱ABC-
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