2019_2020学年新教材高中数学单元素养评价三新人教A版必修第一册.doc

单元素养评价(三)
(第四章)
(120分钟　150分)
一、单项选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.下列函数图象与x轴均有公共点,其中能用二分法求零点的是 (　　)

【解析】选C.能用二分法求零点的函数必须在给定区间[a,b]上连续不断,并且有f(a)·f(b)<0,A,B中不存在f(x)<0,D中函数不连续.
2.函数f(x)=x2-3x-4的零点是 (　　)
A.(1,-4) B.(4,-1)
C.1,-4 D.4,-1
【解析】选D.由x2-3x-4=0,可得x=4或-1,
所以函数f(x)=x2-3x-4的零点是4,-1.
3.已知函数y=loga(x+c)(a,c为常数,其中a>0,a≠1)的图象如图所示,则下列结论成立的是 (　　)

A.a>1,c>1 B.a>1,0<c<1
C.0<a<1,c>1 D.0<a<1,0<c<1
【解析】选D.因为函数单调递减,所以0<a<1,
当x=1时loga(x+c)=loga(1+c)<0,
即1+c>1,即c>0,当x=0时loga(x+c)=logac>0,即c<1,即0<c<1.
4.下列四个数中最小的是 (　　)
A.lo2 B.-0.30.7 C.lo3 D.-1
【解析】选C.lo3=-log23<-1,-1<-0.30.7<0,lo2=-log32∈(-1,0),所以下列四个数中,最小的是lo3.
5.方程ex+8x-8=0的根所在的区间为 (　　)
A.(-2,-1) B.(-1,0)
C. D.
【解析】选C.令函数f(x)=ex+8x-8,则方程ex+8x-8=0的根即为函数f(x)的零点,
再由f(0)=1-8=-7<0,且f(1)=e>0,可得函数f(x)在上有零点.
6.某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费x(单位:万元)对年销售量y(单位:t)的影响,对近6年的年宣传费xi和年销售量yi(i=1,2,…,6)进行整理,得数据如表所示:
x
1.00
2.00
3.00
4.00
5.00
6.00
y
1.65
2.20
2.60
2.76
2.90
3.10
根据表中数据,下列函数中,适宜作为年销售量y关于年宣传费x的拟合函数的是 (　　)
A.y=0.5(x+1) B.y=log3x+1.5
C.y=2x-1 D.y=2
【解析】选B.根据表中数据可得函数随着x的增长而增长,且增长速度越来越趋向于平缓,显然y=0.5(x+1)与y=2x-1不符合,当x=1时,y=log31+1.5=1.5,y=2 =2,当x=3时,y=log33+1.5=2.5,y=2≈3.5,故适宜作为年销售量y关于年宣传费x的拟合函数的是y=log3x+1.5.
7.函数y=的值域是 (　　)
A.[2,+∞) B.(2,+∞)
C.(0,1] D.[1,+∞)
【解析】选D.由于≥0,所以函数y=≥30=1,故函数的值域为[1,+∞).
8.为了求函数f(x)=2x+3x-7的一个零点,某同学利用计算器得到自变量x和函数f(x)的部分对应值,如表所示:
x
1.25
1.312 5
1.375
1.437 5
1.5
f(x)
-0.673 4
-0.287 4
0.123 1
0.559 9
1.024 6
则方程2x+3x=7的近似解(精确度0.1)可取为 (　　)
A.1.32 B.1.39 C.1.4 D.1.3
【解析】选A.由题表知f(1.312 5)·f(1.375)<0,且1.375-1.312 5=0.062 5<0.1,所以方程的一个近似解可取1.32.
9.设f(log2x)=2x(x>0),则f(3)的值是 (　　)
A.128 B.256 C.512 D.8
【解析】选B.设log2x=t,则x=2t,所以f(t)=,即f(x)=,则f(3)= =28=256.
10.甲、乙二人从A地沿同一方向去B地,途中都使用两种不同的速度v1与v2(v1<v2),甲前一半的路程使用速度v1,后一半的路程使用速度v2;乙前一半的时间使用速度v1,后一半的时间使用速度v2,关于甲、乙二人从A地到达B地的路程与时间的函数图象及关系,有如图所示的四个不同的图示分析(其中横轴t表示时间,纵轴s表示路程,C是AB的中点),则其中可能正确的图示分析为 (　　)

【解析】选A.由题意可知,开始时,甲、乙速度均为v1,所以图象是重合的线段,由此排除C,D.再根据v1<v2可知两人的运动情况均是先慢后快,图象是折线且前“缓”后“陡”,故图示A分析正确.
二、多项选择题(本大题共3小题,每小题4分,共12分,在每小题给出的四个选项中,有多项是符合题目要求的.全部选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)
11.已知函数f(x)=f(a)=2,则a=
(　　)
A.-2 B.2 C.6 D.3
【解析】选A、B.因为f(x)=f(a)=2,
所以当a>0时,
f(a)=log2(a+2)=2,解得a=2;
a≤0时,f(a)==2,
解得a=-2或a=6(舍),
综上,a=±2.
12.方程x3+3x-m=0在[0,1]上有实数根,则m可取的值有
(　　)
A.0 B.-2 C.3 D.5
【解析】选A、C.方程x3+3x-m=0,化为x3+3x=m,
令f(x)=x3+3x,
则f(x)在[0,1]上单调递增,
所以f(x)的值域为[0,4],方程x3+3x-m=0在[0,1]上有实数根,
即f(x)在[0,1]上与y=m有交点,
所以m∈[0,4].
13.设函数f(x)=若f(x)-b=0有三个不等实数根,则b可取的值有 (　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】选B、C.作出函数f(x)=的图象如图:

f(x)-b=0有三个不等实数根,
即函数y=f(x)的图象与y=b有3个不同交点,
由图可知,b的取值范围是(1,3],故b可取2,3.
【加练·固】
(多选题)若关于x的方程x2-4|x|+5=m有四个不同的实数解,则实数m可取的值有 (　　)
A.1 B.2 C.4 D.6
【解析】选B、C.因为关于x的方程x2-4|x|+5=m有四个不同的实数解,
所以令f(x)=|x|2-4|x|+5=(|x|-2)2+1,h(x)=m,
画出函数f(x)的图象,

因为要使f(x)的图象与h(x)的图象有四个交点,
则直线h(x)=m应该在直线l和直线n之间,
所以1<m<5,故可取2,4.
三、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分,将答案填在题中的横线上)
14.若函数f(x)=mx2-2x+3只有一个零点,则实数m的取值是________. 
【解析】若m≠0,则Δ=4-12m=0,m=,又m=0也符合要求,所以m=0或.
答案:0或
15.化简:
(a2·)÷(·)=________(用分数指数幂表示). 
【解析】(a2·)÷(·)
=÷=÷
=÷==.
答案:
16.已知函数f(x)=为定义在区间[-2a,3a-1]上的奇函数,则a=______, b=________.  
【解析】因为f(x)是定义在[-2a,3a-1]上的奇函数,
所以定义域关于原点对称,即-2a+3a-1=0,所以a=1,
因为函数f(x)=为奇函数,
所以f(-x)===-,
即b·2x-1=-b+2x,所以b=1.
答案:1　1
17.已知函数f(x)=
(1)若f(1)=3,则实数a=________. 
(2)若函数y=f(x)-2有且仅有两个零点,则实数a的取值范围是__________. 
【解析】(1)由f(1)=12-a=3得,a=-2.
(2)当x>1时,f(x)=log3 x,由f(x)=2得,log3x=2,得x=9满足x>1,
当x≤1时f(x)=x2-ax,
因为y=f(x)-2有且仅有两个零点,
所以f(x)=2有且仅有两个实根,
所以x2-ax-2=0在(-∞,1]上有且仅有一个实根,令g(x)=x2-ax-2,
则g(1)<0,即12-a-2<0,解得:a>-1.
答案:(1)-2　(2)(-1,+∞)
四、解答题(本大题共6小题,共82分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
18.(12分)(1)已知log2(16-2x)=x,求x的值.
(2)计算:+810.75-×+log57·log725.
【解析】(1)因为log2(16-2x)=x,
所以2x=16-2x,化简得2x=8,所以x=3.
(2)原式=1+(34-3×(23+·
=1+27-12+2=18.
19.(14分)已知函数f(x)=2x-1+a(a为常数,且a∈R)过点(1,2).
(1)求a的值.
(2)若f(x)≥2x,求实数x的取值范围.
【解析】(1)f(1)=20+a=1+a=2,解得a=1.
(2)由f(x)=2x-1+1=+1≥2x,得≤1,即2x-1≤1=20,即x-1≤0,解得x≤1,
因此,实数x的取值范围是(-∞,1].
20.(14分)某种放射性元素的原子数N随时间t的变化规律是N=N0e-λ t,其中N0,λ是正的常数,e为自然对数的底数.
(1)判断函数是增函数还是减函数.
(2)把t表示成原子数N的函数.
【解析】(1)由已知可得N=N0,
因为λ是正的常数,e>1,
所以e λ>1,即0<<1,
又N0是正的常数,
所以N=N0是关于t的减函数.
(2)因为N=N0e-λ t,
所以e-λ t=,
所以-λt=ln,
即t=-ln(其中0<N≤N0).
21.(14分)设函数f(x)=ax2+bx+b-1(a≠0).
(1)当a=1,b=-2时,求函数f(x)的零点.
(2)若对任意b∈R,函数f(x)恒有两个不同零点,求实数a的取值范围.
【解析】(1)当a=1,b=-2时,f(x)=x2-2x-3,令f(x)=0,得x=3或x=-1.
所以函数f(x)的零点为3或-1.
(2)依题意,f(x)=ax2+bx+b-1=0有两个不同实根,所以b2-4a(b-1)>0恒成立,
即对于任意b∈R,b2-4ab+4a>0恒成立,
所以有(-4a)2-4×(4a)<0⇒a2-a<0,
解得0<a<1,
因此实数a的取值范围是(0,1).
22.(14分)已知函数f(x)=2a·9x-3x+1+1.
(1)当a=1时,求函数f(x)的零点.
(2)若f(x)有零点,求实数a的取值范围.
【解析】(1)当a=1时,f(x)=2·9x-3·3x+1.
令f(x)=0,即2·(3x)2-3·3x+1=0,
解得3x=1或3x=.
所以x=0或x=-log32,
函数f(x)的零点为0,-log32.
(2)若f(x)有零点,则方程2a·9x-3x+1+1=0有解,于是2a==-
=-+,
所以2a≤,即a≤.
所以实数a的取值范围为.
23.(14分)已知函数f(x)=
(1)计算f的值.
(2)讨论函数f(x)的单调性,并写出f(x)的单调区间.
(3)设函数g(x)=f(x)+c,若函数g(x)有三个零点,求实数c的取值范围.
【解析】(1)由已知得f=f(-2)
=-2×(-2)2-4×(-2)+1=1.
所以f=f(1)=1+1=2.
(2)当x≤0时,f(x)=-2x2-4x+1=
-2(x+1)2+3.
根据抛物线的性质知,f(x)在区间(-∞,-1)上单调递增,在区间[-1,0]上单调递减;
当x>0时,f(x)=x+1,
显然f(x)在区间(0,+∞)上单调递增.
综上,f(x)的单调增区间是(-∞,-1)和(0,+∞),单调减区间是[-1,0].
(3)作出f(x)的图象,如图:

函数g(x)有三个零点,
即方程f(x)+c=0有三个不同实根,
又方程f(x)+c=0等价于方程f(x)=-c,
所以当f(x)的图象与直线y=-c有三个交点时,函数g(x)有三个零点.
数形结合得,c满足:1<-c<3,即-3<c<-1.
因此,函数g(x)有三个零点,实数c的取值范围是(-3,-1).

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