2019_2020学年新教材高中数学章末综合检测一指数函数对数函数与幂函数新人教B版必修第二册.doc

章末综合检测（一） 指数函数、对数函数与幂函数
A卷——学业水平考试达标练
(时间：60分钟　满分：100分)
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在区间(0，＋∞)上为减函数的是(　　)
A．y＝x2　　　　　　　 B．y＝x
C．y＝x D．y＝ln x
解析：选C　y＝x2在(0，＋∞)上为增函数，y＝x在(0，＋∞)上为增函数，y＝x在(0，＋∞)上为减函数，y＝ln x在(0，＋∞)上为增函数．
2．计算27×7log72－log4＋ln e2－2lg 2－lg 25＝(　　)
A．20　　　　　　　　 B．21
C．9 D．11
解析：选B　原式＝(33)×2＋3＋2－(lg 4＋lg 25)＝21.
3．下列函数关系中，可以看作是指数型函数y＝kax(k∈R，a>0且a≠1)的模型的是(　　)
A．竖直向上发射的信号弹，从发射开始到信号弹到达最高点，信号弹的高度与时间的关系(不计空气阻力)
B．我国人口年自然增长率为1%时，我国人口总数与年份的关系
C．如果某人t s内骑车行进了1 km，那么此人骑车的平均速度v与时间t的函数关系
D．信件的邮资与其重量间的函数关系
解析：选B　A中的函数模型是二次函数；B中的函数模型是指数型函数；C中的函数模型是反比例函数；D中的函数模型是一次函数．故选B.
4．(2019·全国卷Ⅰ)已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则(　　)
A．a<b<c B．a<c<b
C．c<a<b D．b<c<a
解析：选B　因为a＝log20.2<0，b＝20.2>1,0<c＝0.20.3<1，所以b>c>a.
5．已知函数f(x)＝，则其图像(　　)
A．关于x轴对称 B．关于y＝x对称
C．关于原点对称 D．关于y轴对称
解析：选D　函数f(x)的定义域为{x|x≠0}，f(－x)＝＝＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数，其图像关于y轴对称．
6．设函数f(x)＝则满足f(x)≤2的x的取值范围是(　　)
A．[－1,2] B．[0,2]
C．[1，＋∞) D．[0，＋∞)
解析：选D　当x≤1时，由21－x≤2，得1－x≤1，即x≥0，∴0≤x≤1.
当x>1时，由1－log2x≤2，得log2x≥－1，
即x≥，∴x>1.
综上，满足f(x)≤2的x的取值范围是[0，＋∞)．
7．函数y＝－x2＋x＋2的单调递增区间是(　　)
A. B.
C. D.
解析：选C　设u＝－x2＋x＋2，
则u＝－2＋.
则u＝－x2＋x＋2在上递增，
在上递减，
又y＝u是减函数，
故y＝－x2＋x＋2的单调递增区间为.
8．已知函数y＝loga(3－ax)在[0,1]上是减函数，则a的取值范围是(　　)
A．(0,1) B．(1,3)
C．(0,3) D．(3，＋∞)
解析：选B　当0<a<1时，u＝3－ax是减函数，y＝logau是减函数，所以y＝loga(3－ax)在[0,1]上是增函数，不满足题意；当a>1时，u＝3－ax是减函数，y＝logau是减函数，所以y＝loga(3－ax)在[0,1]上是减函数，又3－ax在[0,1]上大于0，所以3－a>0，故a<3，所以1<a<3.

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
9．已知f(x3)＝lg x，则f(2)＝________.
解析：令x3＝2，则x＝，所以f(2)＝lg ＝lg 2.
答案：lg 2
10．函数y＝的定义域是________．
解析：由log (x－4)≥0得0<x－4≤1，所以4<x≤5.故函数的定义域为(4,5]．
答案：(4,5]
11．设0≤x≤2，则函数y＝4x－－3·2x＋5的最大值是________，最小值是________．
解析：y＝4－3·2x＋5＝(2x)2－3·2x＋5.
令t＝2x，x∈[0,2]，则1≤t≤4，
于是y＝t2－3t＋5＝(t－3)2＋，1≤t≤4.
当t＝3时，ymin＝；
当t＝1时，ymax＝×(1－3)2＋＝.
答案：　
12．定义区间[x1，x2](x1<x2)的长度为x2－x1，已知函数y＝2|x|的定义域为[a，b]，值域为[1,2]，则区间[a，b]的长度的最大值与最小值的差为________．
解析：作出函数y＝2|x|的图像(如图所示)
当x＝0时，y＝20＝1，当x＝－1时，y＝2|－1|＝2，当x＝1时，y＝21＝2，所以当值域为[1,2]时，区间[a，b]的长度的最大值为2，最小值为1，它们的差为1.
答案：1
三、解答题(本大题共4小题，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
13．(8分)计算：
(1)7－3＋6＋；
(2)lg－lg＋lg.
解：(1)7－3－6＋＝7×3－3×24－6×3＋3＝8×3－3×2×3－6×3＝2×3－2×3＝0.
(2)lg－lg＋lg＝lg－lg 2＋lg＝lg －×lg 2＝lg －2lg 2＝lg＝lg ＝lg＝lg 10＝.
14．(10分)已知函数f(x)＝ax，a为常数，且函数的图像过点(－1,2)．
(1)求a的值．

(2)若g(x)＝4－x－2，且g(x)＝f(x)，求满足条件的x的值．
解：(1)由已知得－a＝2，解得a＝1.
(2)由(1)知f(x)＝x，
又g(x)＝f(x)，则4－x－2＝x，即x－x－2＝0，即2－x－2＝0.令x＝t，则t2－t－2＝0，即(t－2)(t＋1)＝0.
又t>0，故t＝2，即x＝2，解得x＝－1.
15．(10分)已知函数f(x)＝log2(x＋1)，当点(x，y)是函数f(x)图像上的点时，点是函数g(x)图像上的点．
(1)写出函数g(x)的表达式；
(2)当2g(x)－f(x)≥0时，求x的取值范围．
解：(1)令x′＝，y′＝，
把x＝3x′，y＝2y′代入y＝log2(x＋1)，
得y′＝log2(3x′＋1)，
∴g(x)＝log2(3x＋1)．
(2)2g(x)－f(x)≥0，
即log2(3x＋1)－log2(x＋1)≥0，
∴解得x≥0，
故x的取值范围为[0，＋∞)．
16．(12分)已知函数f(x)＝logax(a>0且a≠1)．
(1)若f(3a＋4)≥f(5a)，求实数a的取值范围．
(2)当a＝时，设g(x)＝f(x)－3x＋4，判断g(x)在(1,2)上零点的个数并证明：对任意λ>0，都存在μ>0，使得g(x)<0在x∈(λμ，＋∞)上恒成立．
解：(1)当a>1时，3a＋4≥5a，所以1<a≤2；
当0<a<1时，3a＋4≤5a，所以a≥2(舍)．
所以a的取值范围为(1,2]．
(2)g(x)＝logx－3x＋4为(0，＋∞)上的减函数，
因为g(1)＝1>0，g(2)＝－6<0，所以g(x)在(1,2)上存在唯一的零点x0，即g(x0)＝0，x0∈(1,2)，
所以当x∈(x0，＋∞)时，g(x)<0，所以对任意λ>0，存在μ＝>0，使得g(x)<0在x∈(λμ，＋∞)上恒成立．
B卷——高考应试能力标准练
(时间：90分钟　满分：120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列函数中，随x的增大，增长速度最快的是(　　)
A．y＝1　　　　　　　　 B．y＝x
C．y＝3x D．y＝log3x
解析：选C　结合函数y＝1，y＝x，y＝3x及y＝log3x的图像可知(图略)，随着x的增大，增长速度最快的是y＝3x.
2．(2019·北京高考)下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的是(　　)
A．y＝x B．y＝2－x
C．y＝logx D．y＝
解析：选A　y＝x＝，y＝2－x＝x，y＝logx，y＝的图像如图所示．

由图像知，只有y＝x在(0，＋∞)上单调递增．故选A.
3．函数f(x)＝ln x＋ 的定义域为(　　)
A．(0,1) B．(1,2]
C．(0,4] D．(0,2]
解析：选C　由题意得，∴0<x≤4，故选C.
4．春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了(　　)
A．10天 B．15天
C．19天 D．2天
解析：选C　荷叶覆盖水面面积y与生长时间x天的函数关系式为y＝2x，当x＝20时，长满池塘水面，所以生长19天时，布满水面面积的一半，故选C.
5．已知f(x)＝则f[f(2)]的值为(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选C　f(2)＝log3(22－1)＝1，f(1)＝2e1－1＝2，∴f[f(2)]＝2，故选C.
6．某人2019年7月1日到银行存入a元，若按年利率x复利计算，则到2022年7月1日可取款(　　)
A．a(1＋x)2元 B．a(1＋x)4元
C．a＋(1＋x)3元 D．a(1＋x)3元
解析：选D　由题意知，2020年7月1日可取款a(1＋x)元，2021年7月1日可取款a(1＋x)·(1＋x)＝a(1＋x)2元，2022年7月1日可取款a(1＋x)2·(1＋x)＝a(1＋x)3元．
7．下列函数中，其定义域和值域分别与函数y＝10lg x的定义域和值域相同的是(　　)
A．y＝x B．y＝lg x
C．y＝2x D．y＝
解析：选D　函数y＝10lg x的定义域与值域均为(0，＋∞)．
函数y＝x的定义域与值域均为(－∞，＋∞)．
函数y＝lg x的定义域为(0，＋∞)，值域为(－∞，＋∞)．
函数y＝2x的定义域为(－∞，＋∞)，值域为(0，＋∞)．
函数y＝的定义域与值域均为(0，＋∞)．故选D.
8．已知函数f(x)＝log3x的反函数的值域为，则函数f(x)的值域为(　　)
A．[0,1] B．[－1,1]
C．[0,2] D.
解析：选B　函数f(x)＝log3x的反函数的值域即为它的定义域，所以函数f(x)＝log3x的定义域为.又函数f(x)＝log3x在定义域内是单调递增函数，所以函数f(x)的值域为[－1,1]，故选B.
9．已知x，y∈R，且2－x＋3－y>2y＋3x，则下列各式中正确的是(　　)
A．x－y>0 B．x＋y<0
C．x－y<0 D．x＋y>0
解析：选B　将不等式变形为2－x－3x>2y－3－y，令F(x)＝2－x－3x，则F(x)为减函数，又F(x)>F(－y)，∴x<－y，∴x＋y<0，故选B.
10．已知函数f(x)＝9x－m·3x＋1在[0，＋∞)上的图像恒在x轴上方，则m的取值范围是(　　)
A．(2，＋∞) B．(－∞，2)
C．(－∞，2] D．[2，＋∞)
解析：选B　由已知得9x－m·3x＋1>0，∴m<，即m<3x＋，设3x＝t，∵x≥0，∴t≥1，∴y＝t＋，在[1，＋∞)上递增，有最小值2，∴m<2，故选B.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
11．函数y＝loga(2x－3)＋8的图像恒过定点A，且点A在幂函数f(x)的图像上，则f(3)＝________.
解析：由题意得定点A为(2,8)，设f(x)＝xα，则2α＝8，α＝3，∴f(x)＝x3，∴f(3)＝33＝27.
答案：27
12．函数y＝lg(2x－4)的定义域为________．
解析：由题意，得2x－4>0，∴2x>4，∴x>2.
答案：(2，＋∞)
13．如果函数y＝logax在区间[2，＋∞)上恒有y>1，那么实数a的取值范围是________．
解析：当x∈[2，＋∞)时，y>1>0，所以a>1，所以函数y＝logax在区间[2，＋∞)上是增函数，最小值为loga2，所以loga2>1＝logaa，所以1<a<2.
答案：(1,2)
14．(2019·全国卷Ⅱ)已知f(x)是奇函数，且当x<0时，f(x)＝－eax.若f(ln 2)＝8，则a＝________.
解析：设x>0，则－x<0.
∵当x<0时，f(x)＝－eax，∴f(－x)＝－e－ax.
∵f(x)是奇函数，
∴当x>0时，f(x)＝－f(－x)＝e－ax，
∴f(ln 2)＝e－aln 2＝(eln 2)－a＝2－a.
又∵f(ln 2)＝8，∴2－a＝8，∴a＝－3.
答案：－3
三、解答题(本大题共5小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(8分)求下列各式的值：
(1)－(2－π)0－＋0.25；
(2)log3＋lg 25＋lg 4＋7log72.
解：(1)原式＝－1－＋＝－1－＋＝－－2＋
－3＝－＋8＝.
(2)原式＝log33－＋lg(25×4)＋2＝－＋2＋2＝.
16．(10分)已知函数y＝loga(x＋3)－(a＞0且a≠1)的图像恒过定点A，若点A也在函数f(x)＝3x＋b的图像上，求b的值．
解：当x＋3＝1，即x＝－2时，对任意的a＞0且a≠1都有y＝loga1－＝0－＝－，所以函数y＝loga(x＋3)－的图像恒过定点A，
若点A也在函数f(x)＝3x＋b的图像上，则－＝3－2＋b，所以b＝－1.
17．(10分)已知函数f(x)＝ax＋k(a>0且a≠1)的图像过点(－1,1)，其反函数f－1(x)的图像过点(8,2)．
(1)求a，k的值；
(2)若将f－1(x)的图像向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，就得到函数g(x)的图像，写出g(x)的解析式．
解：(1)由题意，得解得
(2)由(1)，知f(x)＝2x＋1，得f－1(x)＝log2x－1，
将f－1(x)的图像向左平移2个单位长度，得到y＝log2(x＋2)－1的图像，再向上平移1个单位长度，得到y＝log2(x＋2)的图像．所以g(x)＝log2(x＋2)．
18．(10分)声强级L(单位：dB)由公式L＝10lg给出，其中I为声强(单位：W/m2)．
(1)一般正常人听觉能忍受的最高声强为1 W/m2，能听到的最低声强为10－12 W/m2，求人听觉的声强级范围；
(2)在一演唱会中，某女高音的声强级高出某男低音的声强级20 dB，请问该女高音的声强是该男低音声强的多少倍？
解：(1)由题知10－12≤I≤1，∴1≤≤1012，
∴0≤lg≤12，∴0≤L≤120，
∴人听觉的声强级范围是[0,120](单位：dB)．
(2)设该女高音的声强级为L1，声强为I1，该男低音的声强级为L2，声强为I2，
由题知L1－L2＝20，
则10lg－10lg＝20，
∴lg＝2，∴I1＝100I2.
故该女高音的声强是该男低音声强的100倍．
19．(12分)已知函数f(x)＝log9(9x＋1)＋kx是偶函数．
(1)求k的值；
(2)若方程f(x)＝x＋b有实数根，求b的取值范围．
解：(1)∵f(x)为偶函数，∴∀x∈R，有f(－x)＝f(x)，∴log9(9－x＋1)－kx＝log9(9x＋1)＋kx对x∈R恒成立．
∴2kx＝log9(9－x＋1)－log9(9x＋1)＝log9－log9(9x＋1)＝－x对x∈R恒成立，
∴(2k＋1)x＝0对x∈R恒成立，∴k＝－.
(2)由题意知，log9(9x＋1)－x＝x＋b有实数根，即log9(9x＋1)－x＝b有解．
令g(x)＝log9(9x＋1)－x，则函数y＝g(x)的图像与直线y＝b有交点．g(x)＝log9(9x＋1)－x＝log9＝log9.∵1＋>1，∴g(x)＝log9>0，∴b的取值范围是(0， ＋∞)．

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