2019_2020学年新教材高中数学课时素养评价五十三两角和与差的正弦余弦正切公式二新人教A版必修第一册.doc

课时素养评价 五十三
　两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题4分,共16分,多项选择题全选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)
1.(多选题)已知cos α=-,则tan= (　　)
A.- B.-7 C. D.7
【解析】选C、D.因为cos α=-,
所以sin α=±=±,
所以tan α=±.
当tan α=时,tan==;
当tan α=-时,tan==7.
2.（2019·全国卷Ⅰ）tan 255°=( )
A.-2- B.-2+
C.2- D.2+
【解析】选D.tan 255°=tan(180°+75°)=tan 75°
=tan(45°+30°)=
3.已知α为锐角,且tan(α+β)=3,tan(α-β)=2,则角α等于 (　　)
A. B. C.π D.
【解析】选C.因为tan 2α=tan[(α+β)+(α-β)]
===-1,
所以2α=-+kπ(k∈Z),
所以α=-+(k∈Z).
又因为α为锐角,所以α=-=.
4.已知sin α=2cos α,则tan= (　　)
A.-3 B.3 C.-2 D.2
【解析】选A.由sin α=2cos α,得tan α=2,
所以tan===-3.
二、填空题(每小题4分,共8分)
5.已知tan α=2,tan β=-3,其中0°<α<90°,90°<β<180°,则 =______,α-β=______. 
【解析】==-7.
因为tan(α-β)==-1,
又0°<α<90°,90°<β<180°,
所以-180°<α-β<0°,所以α-β=-45°.
答案:-7　-45°
6.若tan=,则tan α=________. 
【解析】方法一:tan α=tan
===.
方法二:因为tan===,所以tan α=.
答案:
三、解答题(共26分)
7.(12分)已知α,β∈,且tan α,tan β是方程x2+3x+4=0的两个根,求α+β.
【解析】因为tan α,tan β是方程x2+3x+4=0的两个根,
所以tan α+tan β=-3,tan αtan β=4,
所以tan(α+β)===.
因为两根之和小于0,两根之积大于0,故两根同时为负数.
又α,β∈,所以α,β∈,所以α+β∈(-π,0),故α+β=-.
8.(14分)已知A,B,C是△ABC的三内角,sin A=1+cos A.
(1)求角A.
(2)若tan=-3,求tan C.
【解析】(1)因为sin A=1+cos A,
即sin A-cos A=1,2sin=1.
所以sin=.
因为0<A<π,所以-<A-<,
所以A-=,即A=.
(2)由tan==-3,解得tan B=2.又A=,所以tan A=.
所以tan C=tan[π-(A+B)]=-tan(A+B)
=-=-
=.
【加练·固】
已知tan(π+α)=-,tan(α+β)=.
(1)求tan(α+β)的值.
(2)求tan β的值.
【解析】(1)因为tan(π+α)=-,所以tan α=-,
因为tan(α+β)==
=
=
==,
所以tan(α+β)==.
(2)因为tan β=tan[(α+β)-α]=,
所以tan β==.
(15分钟·30分)
1.(4分)(1+tan 17°)(1+tan 18°)(1+tan 27°)(1+tan 28°)的值是 (　　)
A.2 B.4 C.8 D.16
【解析】选B.(1+tan 17°)(1+tan 28°)
=1+tan 17°+tan 28°+tan 17°·tan 28°,①
又tan 45°=tan(17°+28°)=,
所以①式=1+(1-tan 17°tan 28°)+tan 17°tan 28°=2.
同理(1+tan 18°)(1+tan 27°)=2.所以原式=4.
2.(4分)tan 20°+tan 40°+tan 20°tan 40°的值是
(　　)
A.2 B. C. D.
【解析】选C.因为tan 60°=tan(20°+40°)=,
所以(1-tan 20°tan 40°)=tan 20°+tan 40°,
所以原式=-tan 20°tan 40°+
tan 20°tan 40°=.
3.(4分)tan 20°tan 30°+tan 30°tan 40°+tan 40°tan 20°=________.  
【解析】原式=(tan 20°+tan 40°)+tan 40°tan 20°=tan 60°(1-
tan 20°tan 40°)+tan 40°tan 20°
=1-tan 20°tan 40°+tan 40°tan 20°=1.
答案:1
4.(4分)已知tan=,tan=-,则tan=________.  
【解析】tan=tan
==.
答案:
5.(14分)在△ABC中,tan B+tan C+tan Btan C=且tan A+tan B+1
=tan Atan B,判断△ABC的形状.
【解析】由tan A=tan[π-(B+C)]=-tan(B+C)
===-,
而0°<A<180°,所以A=120°.
由tan C=tan[π-(A+B)]=
==,
而0°<C<180°,所以C=30°,所以B=30°,所以△ABC是顶角为120°的等腰三角形.

1.在△ABC中,角C=60°,且tan+tan=1,则sinsin=________. 
【解析】因为角C=60°,所以+=60°,
所以tan 60°==tan ,
即=,
所以=,
解得tan tan =.
即=, ①
又cos 60°=cos
=coscos-sinsin=, ②
由①②得:sinsin=.
答案:
2.是否存在锐角α,β,使得(1)α+2β=,(2)tan tan β=2-同时成立?若存在,求出锐角α,β的值;若不存在,请说明理由.
【解析】假设存在锐角α,β使得(1)α+2β=,
(2)tan tan β=2-同时成立.
由(1)得+β=,所以tan ==.
又tan tan β=2-,
所以tan +tan β=3-,
因此tan ,tan β可以看成是方程x2-(3-)x+2-=0的两个根,解得:x1=1,x2=2-.
若tan =1,则α=,这与α为锐角矛盾,
所以tan =2-,tan β=1,
所以α=,β=,所以满足条件的α,β存在,且α=,β=.

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