2019_2020学年新教材高中数学第3章函数的概念与性质3.3幂函数课后课时精练新人教A版必修第一册.doc

3.3 幂函数

A级：“四基”巩固训练
一、选择题
1．下列函数中是偶函数，且在(－∞，0]上单调递增的是(　　)
A．y＝x－1 B．y＝x2
C．y＝x3 D．y＝
答案　D
解析　显然A，C中的函数是奇函数，B中的函数在(－∞，0]上单调递减．故选D.
2．给出下列说法：
①幂函数图象均过点(1,1)；
②幂函数的图象均在两个象限内出现；
③幂函数在第四象限内可以有图象；
④任意两个幂函数的图象最多有两个交点．
其中说法正确的有(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
答案　A
解析　根据幂函数图象的特征可知①正确，②③④错误．
3．下列函数在(－∞，0)上单调递减的是(　　)
A．y＝x B．y＝x2 C．y＝x3 D．y＝x－2
答案　B
解析　∵A，C两项在(－∞，0)上单调递增；D项中y＝x－2＝在(－∞，0)上也是单调递增的．故选B.
4．设a＝－2，b＝－2，c＝－2，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．a>b>c B．c>a>b
C．a<b<c D．b>c>a
答案　A
解析　∵a＝－2＝－2，函数y＝x－2在(0，＋∞)上单调递减，且<<，∴－2>－2>－2，即a>b>c.故选A.
5．若幂函数y＝(m2＋3m＋3)xm2＋2m－3的图象不过原点，且关于原点对称，则(　　)
A．m＝－2 B．m＝－1
C．m＝－2或m＝－1 D．－3≤m≤－1
答案　A
解析　由幂函数的定义，得m2＋3m＋3＝1，解得m＝－1 或m＝－2.若m＝－1，则y＝x－4，其图象不关于原点对称，所以不符合题意，舍去；若m＝－2，则y＝x－3，其图象不过原点，且关于原点对称．故选A.
二、填空题
6．若幂函数y＝(m2－m－1)xm2－2m－1在(0，＋∞)上单调递增，则m＝________.
答案　－1
解析　由幂函数的定义可知m2－m－1＝1，解得m＝－1或m＝2，当m＝－1时，y＝x2，在(0，＋∞)上单调递增，符合题意；当m＝2时，y＝x－1，在(0，＋∞)上单调递减，不符合题意，所以m＝－1.
7．幂函数y＝x－1在[－4，－2]上的最小值为________．
答案　－
解析　∵y＝x－1在[－4，－2]上单调递减，∴y＝x－1在[－4，－2]上的最小值是－.
8．已知幂函数f(x)＝x，若f(a＋1)<f(10－2a)，则a的取值范围是________．
答案　(3,5)
解析　∵f(x)＝x＝(x>0)，易知f(x)在(0，＋∞)上单调递减，又f(a＋1)<f(10－2a)，
∴解得
∴3<a<5.
三、解答题
9．比较下列各组数的大小：
(1)3－1和3.1－1；(2)－8－3和－3；
(3)－2和－2.
解　(1)函数y＝x－1在(0，＋∞)上单调递减，
因为3<3.1，所以3－1>3.1－1.
(2)－8－3＝－3，
函数y＝x3在(0，＋∞)上单调递增，
因为>，则3>3.
从而－8－3<－3.
(3)－2＝－2，－2＝－2，
函数y＝x－2在(0，＋∞)上单调递减，
因为>，所以－2<－2，
即－2<－2.
10．已知幂函数f(x)＝x3m－5(m∈N)在(0，＋∞)上单调递减，且f(－x)＝f(x)，求m的值．
解　因为f(x)＝x3m－5(m∈N)在(0，＋∞)上单调递减，所以3m－5<0，故m<.
又因为m∈N，所以m＝0或m＝1，
当m＝0时，f(x)＝x－5，
f(－x)≠f(x)，不符合题意；
当m＝1时，f(x)＝x－2，
f(－x)＝f(x)，符合题意．
综上可知，m＝1.
B级：“四能”提升训练
1．已知(a＋1)－1<(3－2a)－1，求a的取值范围．
解　解法一(运用幂函数的单调性)：
①当a＋1>0，且3－2a>0时，
∵(a＋1)－1<(3－2a)－1，
∴解得<a<.
②当a＋1<0，且3－2a>0时，
(a＋1)－1<0，(3－2a)－1>0，
符合题意，可得解得a<－1.
③当a＋1<0，且3－2a<0时，
∵(a＋1)－1<(3－2a)－1，
∴不等式组的解集为∅.
综上所述，a的取值范围为
a<－1或<a<))．
解法二(此法供学有余力的同学参考)：
∵(a＋1)－1<(3－2a)－1，即<.移项，通分得<0.
即(a＋1)(3a－2)(2a－3)<0，
解得a<－1或<a<.
故a的取值范围是(－∞，－1)∪.
2．已知幂函数f(x)＝x－2m2－m＋3，其中m∈{n|－2<n<2，n∈Z}，满足：
①在区间(0，＋∞)上单调递增；
②对任意的x∈R，都有f(－x)＋f(x)＝0.
求同时满足①，②的幂函数f(x)的解析式，并求x∈[0，3]时，f(x)的值域．
解　因为m∈{n|－2<n<2，n∈Z}，
所以m＝－1,0,1.
因为对任意x∈R，都有f(－x)＋f(x)＝0，
即f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．
当m＝－1时，
f(x)＝x2只满足条件①而不满足条件②；
当m＝1时，f(x)＝x0，条件①、②都不满足．
当m＝0时，f(x)＝x3，条件①、②都满足，且在区间[0,3]上单调递增．
所以x∈[0,3]时，函数f(x)的值域为[0,27]．

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