2019_2020学年新教材高中数学第6章平面向量初步6.2.3平面向量的坐标及其运算课时33平面向量的坐标及其运算两点间的距离公式与中点坐标公式练习含解析新人教B版必修第二册.doc

课时33　平面向量的坐标及其运算、两点间的距离公式与中点坐标公式

知识点一 平面向量的坐标
1.如下图，向量a，b，c的坐标分别是________、________、________.

答案　(－4,0)　(0,6)　(－2，－5)
解析　将各向量向基底所在直线分解．
a＝－4i＋0j，∴a＝(－4,0)，
b＝0i＋6j，∴b＝(0,6)，
c＝－2i－5j，∴c＝(－2，－5)．
2．在平面直角坐标系中，点A(2,3)，B(－3,4)，如图所示，x轴、y轴正方向上的两个单位向量分别为i和j，则下列说法正确的是________(只填序号)．

①＝2i＋3j；
②＝3i＋4j；
③＝－5i＋j；
④＝5i－j.
答案　①③④
解析　i，j互相垂直，故可作为基底，由平面向量基本定理，有＝2i＋3j，＝－3i＋4j，＝－＝－5i＋j，＝－＝5i－j，故①③④正确．
知识点二 平面上向量的运算与坐标的关系
3.设平面向量a＝(3,5)，b＝(－2,1)，则a－2b＝(　　)
A．(7,3) B．(7,7)
C．(1,7) D．(1,3)
答案　A
解析　a－2b＝(3,5)－2(－2,1)＝(7,3)．
4．已知平面向量a＝(x,1)，b＝(－x，x2)，则a＋b(　　)
A．平行于x轴
B．平行于第一、三象限的角平分线
C．平行于y轴
D．平行于第二、四象限的角平分线
答案　C
解析　因为a＋b＝(0,1＋x2)，所以a＋b平行于y轴．
5．已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋nb与a－2b相等，则＝________，|na＋mb|＝________.
答案　－　
解析　ma＋nb＝(2m－n,3m＋2n)，
a－2b＝(4，－1)．
∴解得∴＝－.
na＋mb＝－2a＋b＝(－5，－4)，
∴|na＋mb|＝|－2a＋b|＝＝＝.
知识点三 两点之间的距离公式与中点坐标公式
6.在△ABC中，已知点A(3,7)，B(－2,5)，若线段AC，BC的中点都在坐标轴上．
(1)求点C的坐标；
(2)求△ABC的三边长．
解　(1)①若AC的中点在y轴上，则BC的中点在x轴上，设点C的坐标为(x，y)，由中点坐标公式得＝0，＝0，∴x＝－3，y＝－5，即C点坐标为(－3，－5)．
②若AC的中点在x轴上，则BC的中点在y轴上，则同理可得C点坐标为(2，－7)．
综上C点坐标为(－3，－5)或(2，－7)．
(2)当C点坐标为(－3，－5)时，
AB＝＝，
AC＝＝6，
BC＝＝.
当C点坐标为(2，－7)时，AB＝，
AC＝＝，
BC＝＝4.
7．已知在△ABC中，A(7,8)，B(3,5)，C(4,3)，M，N是AB，AC的中点，D是BC的中点，MN与AD交于点F，求.
解　因为A(7,8)，B(3,5)，C(4,3)，
所以＝(－4，－3)，＝(－3，－5)．
又因为D是BC的中点，
有＝(＋)＝(－3.5，－4)，
而M，N分别为AB，AC的中点，所以F为AD的中点．
故有＝＝－＝(1.75,2)．
知识点四 向量的坐标运算的应用
8.已知点O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)，且＝＋t，试问：
(1)t为何值时，点P在x轴上？点P在y轴上？点P在第二象限？
(2)四边形OABP能否为平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由．
解　由已知得＝(1,2)，＝(3,3)，
＝(1,2)＋t(3,3)＝(1＋3t,2＋3t)．
(1)若点P在x轴上，则有2＋3t＝0，t＝－；
若点P在y轴上，则有1＋3t＝0，t＝－；
若点P在第二象限，则有
解得－<t<－.
(2) ＝－＝(4,5)－(1＋3t,2＋3t)＝(3－3t，3－3t)，若四边形OABP是平行四边形，则有＝P，即有3－3t＝1，且3－3t＝2，这显然是不可能的，因此，四边形OABP不可能是平行四边形．
9．已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设＝a，＝b，＝c，且＝3c，＝－2B．
(1)求3a＋b－3c；
(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；
(3)求点M，N的坐标及的坐标．
解　由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)．
(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．
(2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)＝(5，－5)，
∴解得
(3)∵＝－＝3c，∴＝3c＋＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)，∴M(0,20)．又∵＝－＝－2b，
∴＝－2b＋＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，
∴N(9,2)．∴＝(9，－18).
易错点 转换向量关系失误
10.平面上有A(2，－1)，B(1,4)，D(4，－3)三点，点C在直线AB上，且＝，连接DC并延长至点E，使||＝||，则点E的坐标为________．
易错分析　连接DC并延长至E，即E在DC的延长线上，注意向量的方向不要判断错误．
答案　
正解　设坐标原点为O，∵＝，
∴－＝(－)．
∴＝2－＝(3，－6)．
∴点C的坐标为(3，－6)．
又∵||＝||，且E在DC的延长线上，
∴＝－.
设E(x，y)，则(x－3，y＋6)＝－(4－x，－3－y)，
得解得
∴点E的坐标为.

一、选择题
1．已知向量a＝(－2,3)，b＝(2，－3)，则下列结论正确的是(　　)
A．向量a的终点坐标为(－2,3)
B．向量a的起点坐标为(－2,3)
C．向量a与b互为相反向量
D．向量a与b关于原点对称
答案　C
解析　a＝(－2,3)，b＝(2，－3)，故a＝－B．故选C．
2．已知a＝(－2,3)，b＝(1,5)，则3a＋b等于(　　)
A．(－5,14) B．(5,14)
C．(7,4) D．(5,9)
答案　A
解析　3a＋b＝3(－2,3)＋(1,5)＝(－5,14)，故选A．
3．如图所示，{e1，e2}为正交基底，则向量2a＋b的坐标为(　　)

A．(3,4) B．(2,4)
C．(3,4)或(4,3) D．(4,2)或(2,4)
答案　A
解析　由图可知2a＝2e1＋e2，b＝e1＋3e2，所以2a＋b＝3e1＋4e2＝(3,4)．
4．设向量a＝(1,2)，b＝(－3,5)，c＝(4，x)，若a＋b＝λc(λ∈R)，则λ＋x的值是(　　)
A．－ B．
C．－ D．
答案　C
解析　a＋b＝(1,2)＋(－3,5)＝(－2,7)，λc＝(4λ，xλ)，又a＋b＝λc，故解得
则λ＋x＝－.
5．已知M(2，－1)，N(0,5)，且点P在MN的延长线上，|MP|＝2|PN|，则P点坐标为(　　)
A．(－2,11) B．
C． D．(－2,12)
答案　A
解析　因为P在MN的延长线上且|MP|＝2|PN|，
所以＝2，则－＝2(－)，
所以＝2－＝2(0,5)－(2，－1)，
即＝(－2,11)．
二、填空题
6．如图，正方形ABCD中，O为中心，且＝(1,1)，试用基底向量i，j表示下列向量：

＝________，＝________，
＝________，＝________.
答案　－i＋j　－i－j　－2i　－2i－2j
解析　如题图所示，＝(1,1)＝i＋j，
∴＝i，＝j.
∴＝－＝－i，＝＝j，＝－＝－j.
∴＝＋＝－i＋j；＝＋＝－i－j；＝－＝－i＋j－(i＋j)＝－2i.
同理，＝－＝－i－j－(－i＋j)＝－2j，
＝＋＝－2i＋(－2j)＝－2i－2j.
7．已知a＋b＝(2，－8)，a－b＝(－8,16)，则|a|＋|b|＝________.
答案　18
解析　联立
由①＋②得，a＝(－3,4)，
由①－②得，b＝(5，－12)．
故|a|＋|b|＝＋＝5＋13＝18.
8．已知点A(－1，－1)，B(1,3)，C(x,5)，若对于平面上任意一点O，都有＝λ＋(1－λ) ，λ∈R，则x＝________.
答案　2
解析　取O(0,0)，
由＝λ＋(1－λ) 得，
(x,5)＝λ(－1，－1)＋(1－λ)(1,3)，
∴解得
9．已知边长为1的正方形ABCD，若点A与坐标原点重合，边AB，AD分别落在x轴、y轴的正方向上，则向量2＋3＋的坐标为________．
答案　(3,4)
解析　根据题意建立坐标系如图，则

A(0,0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)．
∴＝(1,0)，＝(0,1)，＝(1,1)．
∴2＋3＋＝(2,0)＋(0,3)＋(1,1)＝(3,4)．
三、解答题
10．(1)已知平面上三个点A(4,6)，B(7,5)，C(1,8)，求，，＋，－，2＋的坐标；
(2)已知a＝(1,2)，b＝(－3,4)，求向量a＋b，a－b,3a－4b的坐标．
解　(1)∵A(4,6)，B(7,5)，C(1,8)．
∴＝(7,5)－(4,6)＝(3，－1)；
＝(1,8)－(4,6)＝(－3,2)；
＋＝(3，－1)＋(－3,2)＝(0,1)；
－＝(3，－1)－(－3,2)＝(6，－3)；
2＋＝2(3，－1)＋(－3,2)
＝(6，－2)＋＝.
(2)a＋b＝(1,2)＋(－3,4)＝(－2,6)；
a－b＝(1,2)－(－3,4)＝(4，－2)；
3a－4b＝3(1,2)－4(－3,4)＝(15，－10)．
11．已知点A(6,3)，O为坐标原点，点P在直线OA上，且＝，若P是线段OB的中点，求点B的坐标及PB的长．
解　设点P(x1，y1)，B(x，y)，∵＝，
∴(x1，y1)＝(6－x1,3－y1)，
∴解得
∴点P的坐标为(2,1)．
∵点P是OB的中点，
∴2＝，1＝⇒x＝4，y＝2，
∴点B的坐标为(4,2)．
∴PB的长为＝.
12．已知a＝(2，－4)，b＝(－1,3)，c＝(6,5)，p＝a＋2b－c，
(1)求p的坐标；
(2)若以a，b为基底，求p的表达式．
解　(1)p＝(2，－4)＋2(－1,3)－(6,5)＝(－6，－3)．
(2)设p＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则(－6，－3)＝λ(2，－4)＋μ(－1，3)＝(2λ－μ，－4λ＋3μ)，
∴
∴
∴p＝－a－15b．

- 9 -