2019_2020学年新教材高中物理第二章匀变速直线运动的探究3匀变速直线运动的位移与时间的关系练习含解析新人教版必修第一册.doc

3．匀变速直线运动的位移与时间的关系

1．理解v­t图像中“面积”与位移的关系，了解匀变速直线运动位移与时间的关系式的推导过程。
2．理解匀变速直线运动位移与时间的关系式，并会用其解决实际问题。
3．理解速度与位移的关系式的推导过程，理解速度与位移关系式，并会应用其解决实际问题。

一、匀变速直线运动的位移
1．位移在v­t图像中的表示

做匀变速直线运动的物体的位移，对应着v­t图像中的图线和t轴所包围的面积。如图所示，在0～t时间内的位移大小等于着色部分的梯形的面积。
2．位移公式：x＝v0t＋at2。
(1)公式中x、v0、a均是矢量，应用公式解题前应先根据正方向明确它们的正、负值；
(2)当v0＝0时，x＝at2，表示初速度为零的匀加速直线运动的位移与时间的关系。
二、匀变速直线运动的速度与位移的关系
1．匀变速直线运动的速度与位移的关系式
v2－v＝2ax，若v0＝0，则关系式为v2＝2ax。
2．公式推导
速度公式：v＝v0＋at①
位移公式：x＝v0t＋at2②
将上述两个公式联立，消去时间t，可得v2－v＝2ax。
3．速度与位移的关系式是矢量式，使用时应先规定正方向，以便确定v0、v、a、x的正负。
判一判
(1)初速度越大，时间越长，匀变速直线运动物体的位移一定越大。(　　)
(2)匀变速直线运动的位移与初速度、加速度、时间三个因素有关。(　　)
(3)位移公式x＝v0t＋at2仅适用于匀加速直线运动。(　　)
(4)公式v2－v＝2ax适用于所有的直线运动。(　　)
(5)因为v2－v＝2ax，v2＝v＋2ax，所以物体的末速度v一定大于初速度v0。(　　)
(6)在公式v2－v＝2ax中，a为矢量，与规定的正方向相反时，a取负值。(　　)
提示：(1)×　(2)√　(3)×　(4)×　(5)×　(6)√
想一想
(1)v­t图像中图线与时间轴所围的图形有时在时间轴上方，有时在时间轴下方，这与物体的位移有何关系？
提示：根据v­t图像的物理意义，图线在时间轴上方，表明物体向正方向运动，图线与时间轴所围的图形在时间轴上方，其面积表示的物体的位移为正值，位移为正方向；同理，图线在时间轴的下方，表明物体向负方向运动，图线与时间轴所围的图形在时间轴下方，其面积表示的位移是负值，位移为负方向。
(2)匀速直线运动的位移公式为x＝vt，由此式可以得出它的位移x与时间t呈线性关系，作出的x­t图像为倾斜直线；匀变速直线运动的位移公式为x＝v0t＋at2，那么它的x­t图像应为什么形状？
提示：匀变速直线运动的位移x是时间t的二次函数，由数学知识可知匀变速直线运动的x­t图像应为抛物线。
(3)应用v2－v＝2ax分析匀变速直线运动有何优势？
提示：因为公式v2－v＝2ax不涉及物体运动的时间，故在不要求计算时间时，应用该式分析匀变速直线运动较方便。

课堂任务　匀变速直线运动的位移
仔细观察下列图片，认真参与“师生互动”。

活动1：以速度v做匀速直线运动的物体，时间t内的位移是什么？在图甲所示的图像中可以用什么来表示？
提示：位移x＝vt，在图甲所示的v­t图像上可以用图线与时间轴所包围的矩形面积来表示。
活动2：从活动1的结论可以得到什么启示？在图乙上有什么体现？
提示：匀变速直线运动的位移大小也能用v­t图像中图线与时间轴所包围图像的面积来表示，即初速度为v0，末速度为v，运动时间为t的匀变速直线运动的位移可用图乙中着色部分的梯形面积表示。
活动3：观察图丙和图丁，分析活动2的推测合理吗？
提示：把匀变速直线运动近似看成几段匀速直线运动，如图丙，其位移就可以近似表示为图丙中几个矩形面积的和。把运动过程划分为更多的小段，如图丁，用这些小段的位移之和近似代表物体在整个过程中的位移，小矩形越窄，多个小矩形的面积之和越接近物体的位移。如果把整个运动过程分割得非常细，很多小矩形的面积之和就能非常精确地代表物体的位移，这些小矩形合在一起便形成了图乙中的梯形，所以活动2的推测合理。
活动4：若已知匀变速直线运动的初速度v0、加速度a，如何推导出位移x与时间t的关系式？
提示：根据梯形面积公式可知，x＝(v0＋v)t，将v＝v0＋at代入得，x＝v0t＋at2。
活动5：讨论、交流、展示，得出结论。
1．位移与面积的关系
匀变速直线运动v­t图像与时间轴所围成的“梯形面积”等于“位移”。
2．匀变速直线运动的位移公式：x＝v0t＋at2
(1)公式推导

方法一：如图为匀变速直线运动的v­t图像，其阴影部分的面积等于物体的位移。由梯形的面积公式知物体的位移：x＝·t，再代入v＝v0＋at得：x＝·t，整理得x＝v0t＋at2。

方法二：仍然利用v­t图像中阴影部分的面积等于物体的位移，但把阴影部分分割为两部分(如图所示)：x1＝v0t，x2＝at2，所以x＝x1＋x2，即x＝v0t＋at2。
图线在时间轴上方，图线与时间轴所围的图形的面积为正值，表示的位移为正；图线在时间轴下方，图线与时间轴所围的图形的面积为负值，表示的位移为负；图线与时间轴有交叉，总位移为上、下面积的代数和。例如：如果一个物体的v­t图像如图所示，图线与t轴围成两个三角形，面积分别为x1和x2，此时x1<0，x2>0，则0～t2时间内该物体的总位移x＝|x2|－|x1|，若x>0，位移为正，若x<0，位移为负。

(2)公式特点
①公式x＝v0t＋at2是位移公式，而不是路程公式。利用该公式求的是位移，而不是路程，只有在单方向直线运动中，所求的位移大小才等于路程。
②矢量性：位移公式为矢量式，该公式中除t外各量均为矢量，注意其方向。x、a、v0必须选取统一的正方向，一般选取初速度的方向为正方向。若取初速度方向为正方向，其情况列表如下。
若物体做匀加速直线运动
a与v0同向，a取正值
若物体做匀减速直线运动
a与v0反向，a取负值
若位移的计算结果为正值
说明这段时间内位移的方向与规定的正方向相同
若位移的计算结果为负值
说明这段时间内位移的方向与规定的正方向相反
③此公式只适用于匀变速直线运动，对非匀变速直线运动不适用。
3．公式的特殊形式
(1)当a＝0时，x＝v0t(匀速直线运动)。
(2)当v0＝0时，x＝at2(由静止开始的匀加速直线运动)。

例1　一物体做匀加速直线运动，初速度大小为v0＝5 m/s，加速度大小为a＝0.5 m/s2，求：
(1)物体在前3 s内的位移大小；
(2)物体在第3 s内的位移大小。
(1)两问分别要求的是哪段时间内的位移？
提示：第一问要求的是0～3 s内的位移，即所求位移的时间间隔是3 s；第二问要求的是第3 s内的位移，所求位移的时间间隔是1 s，即第2 s末到第3 s末的位移。
(2)选用什么公式来求解位移？
提示：因为物体做匀加速直线运动，v0、a、t已知，可以运用x＝v0t＋at2来计算。
[规范解答]　(1)用位移公式求解，前3 s内物体的位移：
x3＝v0t3＋at＝5×3 m＋×0.5×32 m＝17.25 m。
(2)同理2 s内物体的位移：
x2＝v0t2＋at＝5×2 m＋×0.5×22 m＝11 m。
因此，第3 s内的位移
x＝x3－x2＝17.25 m－11 m＝6.25 m。
[完美答案]　(1)17.25 m　(2)6.25 m

(1)使用公式x＝v0t＋at2时要注意v0、a、x是矢量。式中包含v0、a、x、t四个物理量，当其中三个量已知时，可求第四个未知量。
(2)应用位移公式x＝v0t＋at2解题的基本思路
①确定研究对象，并分析判断物体是否做匀变速直线运动。
②选择研究过程。
③分清已知量和待求量，找出与所选研究过程相对应的v0、a、t、x的值，特别要注意v0并不一定是物体运动的初速度，而是与研究过程相对应的初速度。
④规定正方向，判定各矢量的正、负，然后代入公式。
⑤统一已知量的单位，求解方程。

　一小球沿斜面由静止开始匀加速滚下(斜面足够长)，已知小球在第4 s末的速度为4 m/s。求：
(1)第6 s末小球的速度；
(2)前6 s内小球的位移；
(3)第6 s内小球的位移。
答案　(1)6 m/s　(2)18 m　(3)5.5 m
解析　根据加速度公式得
a＝＝ m/s2＝1 m/s2。
(1)第6 s末小球的速度：v′＝at′＝1×6 m/s＝6 m/s。
(2)前6 s内小球的位移：
x＝at′2＝×1×62 m＝18 m。
(3)第6 s内小球的位移：
Δx＝x－a(t′－1)2＝ m＝5.5 m。
例2　汽车以10 m/s的速度行驶5分钟后突然刹车，如果刹车过程汽车做匀变速直线运动，加速度大小为5 m/s2，则刹车后3秒内汽车行驶的距离是多少？
(1)刹车问题先求什么？如何求解？
提示：先求刹车时间，由匀变速直线运动速度和时间的关系可以求解。
(2)能直接将所给刹车后的时间代入位移公式计算该段时间的位移吗？
提示：不能。物理解题需要符合实际，要先判断所给时间是否就是运动时间。
[规范解答]　依题意画出运动草图如图所示。

设经时间t速度减为零，根据匀变速直线运动速度公式v＝v0＋at，
有0＝10－5t，解得t＝2 s，
由于汽车在运动2 s时就停下了，所以有
x3＝x2＝v0t＋at2＝10×2 m＋×(－5)×22 m＝10 m。
[完美答案]　10 m

刹车类问题的处理思路
实际交通工具刹车后在摩擦力作用下可认为是做匀减速直线运动且运动过程不可逆，即当速度减小到零时，车辆就会停止。解答此类问题的思路是：
(1)先求出它们从刹车到静止的刹车时间t刹＝；
(2)比较所给时间与刹车时间的关系确定运动时间，最后再利用运动学公式求解。若t>t刹，不能直接将所给时间t代入公式求解；若t<t刹，则在t时间内未停止运动，可直接将时间t代入公式求解。

　骑自行车的人以5 m/s的初速度匀减速地上一个斜坡(如图所示)，加速度的大小为0.4 m/s2，斜坡长30 m，骑自行车的人通过斜坡需要多长时间？

答案　10 s
解析　知道初速度、加速度和位移三个量自然想到公式x＝v0t＋at2，代入数据得：30＝5t－×0.4t2，解得：t1＝10 s，t2＝15 s。
将t1＝10 s和t2＝15 s分别代入速度公式v＝v0＋at计算得两个时间分别对应的末速度：v1＝1 m/s和v2＝－1 m/s。
v2＝－1m/s与上坡的速度方向相反，与实际情况不符，应该舍去，所以人通过斜坡需要的时间为10 s。
课堂任务　速度与位移的关系
仔细观察下列图片，认真参与“师生互动”。

交通事故中，交警为了了解汽车开始刹车时的车速，判断汽车是否超速，只要知道刹车时的加速度大小，再测出刹车痕迹长度就行。这是怎么办到的？

活动1：汽车刹车时做匀减速直线运动，刹车痕迹的长度即刹车时位移x的大小，x怎么表示？
提示：x＝v0t＋at2。
活动2：刹车开始的速度v0如何表示？
提示：v＝v0＋at。
活动3：根据已知量a、x、v＝0，用什么方法可以求出汽车刹车时的速度v0?
提示：由以上活动可知时间t是未知的，但是由速度公式v＝v0＋at和位移公式x＝v0t＋at2联立，消去t，可得速度与位移的关系式v2－v＝2ax，末速度v为零，测量出刹车距离x，并将已知的加速度a代入关系式即可计算出汽车刹车时的速度v0。
活动4：讨论、交流、展示，得出结论。
1．速度与位移关系式的推导
⇒x＝＋·⇒x＝⇒v2－v＝2ax。
2．速度与位移关系式v2－v＝2ax的理解及应用
(1)公式的适用条件：公式表述的是匀变速直线运动的速度与位移的关系，适用于匀变速直线运动。
(2)公式的意义：公式v2－v＝2ax反映了初速度v0、末速度v、加速度a、位移x之间的关系，当其中三个物理量已知时，可求第四个未知的量。
(3)公式的矢量性：公式中v0、v、a、x都是矢量，解题时先要规定正方向。若规定v0的方向为正方向，则：
①物体做加速运动时，a取正值，做减速运动时，a取负值。
②x＞0，说明物体通过的位移方向与初速度方向相同；x＜0，说明位移的方向与初速度的方向相反。或者已知位移时，位移的方向与正方向相同，取正值；位移的方向与正方向相反，取负值。
(4)两种特殊形式
①当v0＝0时，v2＝2ax。(初速度为零的匀加速直线运动)
②当v＝0时，－v＝2ax。(末速度为零的匀减速直线运动，例如刹车问题)

例3　在某城市的一条道路上，规定车辆行驶速度不得超过30 km/h。在一次交通事故中，肇事车是一辆客车，量得这辆车紧急刹车(车轮被抱死)时留下的刹车痕迹长为7.6 m(如图)，已知该客车刹车时的加速度大小为7 m/s2。请判断该车是否超速？

(1)汽车的末速度是多少？
提示：汽车的末速度为零。
(2)题中的已知量是什么？如何求解初速度？
提示：题中已知量为v、a、x；求初速度v0，缺时间t，用公式v2－v＝2ax求解比较简单。
[规范解答]　规定v0的方向为正方向，则刹车时位移x＝7.6 m，刹车时加速度a＝－7 m/s2，客车的末速度v＝0。
由匀变速直线运动位移与速度的关系式v2－v＝2ax得：0－v＝2×(－7)×7.6 m2/s2
解得：v0≈10.3 m/s≈37.1 km/h＞30 km/h，所以该客车超速。
[完美答案]　客车超速

(1)对于匀变速直线运动，会涉及5个物理量：v0、v、a、x、t，如果已知量和待求量中缺t，用公式v2－v＝2ax解题会比较简便。如果已知量和待求量中缺v，用公式x＝v0t＋at2解题会比较简便。如果已知量和待求量中缺x，用公式v＝v0＋at解题会比较简便。
(2)匀变速直线运动的5个物理量：v0、v、a、x、t，若已知其中3个物理量，便可由以上公式求出剩下的2个量。即5个量中只有3个是独立的。

　一辆在绵遂高速公路上以108 km/h的速度行驶的小汽车，突然发现同一车道的正前方100 m处停有一辆故障车，由于无法从其他车道避让，司机从发现前方故障车到开始制动有1 s的反应时间，制动后小汽车以a＝－6 m/s2的加速度做匀减速直线运动，请你通过计算判定这辆小汽车是否会与前方故障车发生追尾事故？
答案　这辆小汽车会与前方故障车发生追尾事故
解析　司机反应时间内小汽车做匀速直线运动，
v0＝ m/s＝30 m/s
由x1＝v0t，代入数据解得x1＝30 m，
随后小汽车做匀减速直线运动，设减速到停下的位移为x2，则v＝2ax2，代入数据解得x2＝ m＝75 m，
从发现故障车到停下来通过的距离
x＝x1＋x2＝105 m，
x＞100 m，故会发生追尾。

A组：合格性水平训练
1.(多选)做匀减速直线运动的质点，它的加速度大小为a，初速度大小为v0，经过时间t速度减小到零，则它在这段时间内的位移大小可表示为(　　)
A．v0t＋at2 B．v0t
C．v0t－at2 D.at2
答案　CD
解析　质点做匀减速直线运动，取初速度方向为正方向，则加速度为－a；根据匀变速直线运动的位移与时间的关系式，可得位移大小为x＝v0t－at2，A错误，C正确；此运动可逆向看作初速度为零的匀加速直线运动，则x＝at2，D正确；易知B错误。
2.一质点由静止开始做匀加速直线运动，它在第10 s内的位移为19 m，则其加速度大小为(　　)
A．1.9 m/s2 B．2.0 m/s2
C．9.5 m/s2 D．3.0 m/s2
答案　B
解析　质点是从静止开始运动的，设加速度为a，则位移x＝at2，第10 s内的位移等于前10 s内的位移与前9 s内的位移之差，故第10 s内的位移为a·102 m－a·92 m＝19 m，解得a＝2.0 m/s2，B正确。
3.一质点以一定的初速度向东做匀变速直线运动，其位移与时间的关系为：x＝(10t－t2) m，则(　　)
A．质点初速度为10 m/s
B．质点的加速度大小是1 m/s2
C．质点的加速度大小是4 m/s2
D．在第2 s末，质点在出发点西边距出发点24 m处
答案　A
解析　由x＝v0t＋at2＝(10t－t2) m，则初速度v0＝10 m/s，a＝－2 m/s2，A正确，B、C错误；第2 s末，质点位移x′＝(10t′－t′2) m＝(10×2－22) m＝16 m，为正值，故质点在出发点东边距出发点16 m处，D错误。
4．(v2－v＝2ax的理解)(多选)关于关系式v2－v＝2ax，下列说法正确的是(　　)
A．此关系式对非匀变速直线运动也适用
B．x、v0、a都是矢量，应用时必须选取统一的正方向
C．不管是加速运动还是减速运动，a都取正值
D．v0和v是初、末时刻的速度，x是这段时间内的位移
答案　BD
解析　此关系式的适用范围是匀变速直线运动，A错误；该关系式为矢量式，x、v0、a都为矢量，应用时必须选取统一的正方向，一般选初速度v0的方向为正方向，方向与规定的正方向相同，取正值，方向与规定的正方向相反，则取负值，B正确，C错误；v0和v分别是初、末时刻的速度，x是这段时间内的位移，D正确。
5．(v2－v＝2ax的应用)做匀加速直线运动的物体，速度由v增加到2v时的位移为x，则当速度由3v增加到4v时，它的位移是(　　)
A.x B.x C．3x D．4x
答案　B
解析　根据匀变速直线运动的速度与位移关系式，得速度从v增加到2v时有(2v)2－v2＝2ax，速度从3v增加到4v时有(4v)2－(3v)2＝2ax′，联立两式得，x′＝x，B正确。
6．(v2－v＝2ax的应用)如图所示，木块A、B并排且固定在水平桌面上，A的长度是L，B的长度是2L。一颗子弹沿水平方向以速度v1射入A，以速度v2穿出B。子弹可视为质点，其运动可视为匀变速直线运动，则子弹穿出A时的速度为(　　)

A. B.
C. D.v1
答案　C
解析　设子弹的加速度为a，则：
v－v＝2a·3L
v－v＝2a·L
由两式得子弹穿出A时的速度vA＝ ，C正确。
7.一辆汽车在平直公路上做匀变速直线运动，公路边每隔15 m有一棵树，如图所示，汽车通过A、B两棵相邻的树用了3 s，通过B、C两棵相邻的树用了2 s，求汽车运动的加速度和通过树A时的速度为多少？

答案　1 m/s2　3.5 m/s
解析　设汽车经过A点时的速度为v0，加速度为a，对AB段运动，由位移与时间关系式得，x1＝v0t1＋at，
对AC段运动，由位移与时间关系式得，
x2＝v0t2＋at，
其中x1＝15 m，x2＝30 m，t1＝3 s，t2＝5 s，
联立两式，并代入数据得：
a＝1 m/s2，v0＝3.5 m/s。
8．(v2－v＝2ax的应用)某同学坐在沿直线匀加速行驶的小汽车中观察速度计指针的位置变化，若开始时指针在图中a位置，经5 s指针在图中b位置，求：

(1)指针在图中a、b位置时小汽车的速度大小；
(2)小汽车做匀加速运动的加速度大小；
(3)这5 s内小汽车运动的位移大小。
答案　(1)10 m/s　30 m/s　(2)4 m/s2　(3)100 m
解析　(1)小汽车在a位置时v0＝36 km/h＝10 m/s；
小汽车在b位置时vt＝108 km/h＝30 m/s。
(2)小汽车的速度由a到b的过程有，vt＝v0＋at，
解得：a＝4 m/s2。
(3)小汽车的速度由a到b的过程有，v－v＝2ax，
解得：x＝100 m。
B组：等级性水平训练
9．(综合)一辆汽车以20 m/s的速度沿平直路面行驶，当汽车以5 m/s2的加速度刹车时，则汽车在刹车后2 s内与刹车后6 s内的位移之比为(　　)
A．1∶1 B．3∶4 C．3∶1 D．4∶3
答案　B
解析　汽车刹车后最终停下，应先求汽车由开始刹车到静止的时间，由v＝v0＋at，得t＝＝ s＝4 s，即刹车后汽车仅能运动4 s，刹车后6 s内的位移即刹车后4 s内的位移。因为x2＝v0t1＋at＝ m＝30 m，x6＝x4＝ m＝40 m，所以x2∶x6＝3∶4，B正确。
10．(v2－v＝2ax的应用)一辆汽车在平直公路上做刹车实验，0时刻起，运动的位移与速度的关系式为x＝(10－0.1v2) m，则下列分析正确的是(　　)
A．上述过程的加速度大小为10 m/s2
B．刹车过程持续的时间为5 s
C．0时刻的速度为10 m/s
D．刹车过程的位移为5 m
答案　C
解析　根据公式v2－v＝2ax，将x＝(10－0.1v2) m整理，可得－10x＝v2－100，即－10＝2a，v＝100，解得a＝－5 m/s2，v0＝10 m/s，A错误，C正确；所以刹车过程持续时间为t＝＝2 s，B错误；刹车过程中的位移为x＝ m＝10 m，D错误。
11．(综合)如图所示，杂技演员爬上高h＝9 m的固定竖直竹竿，然后双腿夹紧竹竿倒立，头顶离地面高h′＝7m，演员通过双腿对竹竿的压力来控制身体的运动情况，首先演员匀加速下滑3 m，速度达到v＝4 m/s，然后匀减速下滑，当演员头顶刚接触地面时速度刚好减到零，求：

(1)演员匀加速下滑时的加速度大小；
(2)完成全程运动所需要的时间。
答案　(1)2.7 m/s2　(2)3.5 s
解析　(1)设演员匀加速下滑时加速度大小为a1，下滑的高度为x1，则x1＝3 m，由运动学公式有v2＝2a1x1，代入数据可得a1＝2.7 m/s2。
(2)设演员匀加速下滑时间为t1，匀减速下滑的加速度大小为a2，下滑时间为t2，下滑高度为x2，则由运动学公式可得，
v＝a1t1，v2＝2a2x2，
x2＝h′－x1＝7 m－3 m＝4 m，
v＝a2t2，t＝t1＋t2，
联立以上各式，并代入数据得t＝3.5 s。
12．(综合)一辆汽车以10 m/s的初速度在水平地面上做匀减速直线运动，加速度大小为2 m/s2，求：
(1)汽车在2 s末的速度；
(2)汽车在6秒内的位移；
(3)汽车在最后1 s内的平均速度。
答案　(1)6 m/s　(2)25 m　(3)1 m/s
解析　(1)由v＝v0＋at得2 s末的速度
v＝v0＋at＝(10－2×2) m/s＝6 m/s。
(2)设汽车经过时间t0减速到停下，
则t0＝＝ s＝5 s，
而t＝6 s>5 s，此时汽车已停止运动。
所以6 s内的位移x＝at＝×2×52 m＝25 m。
(3)前4 s内汽车的位移
x1＝v0t1＋at＝ m＝24 m，
所以最后1 s内汽车的位移
x2＝x－x1＝25 m－24 m＝1 m，
＝＝＝1 m/s。

- 14 -