2019_2020学年新教材高中数学第7章复数7.1复数的概念课时作业17复数的几何意义新人教A版必修第二册.doc

课时作业17　复数的几何意义

知识点一 复平面内的复数与点的对应
1.复数1－2i在复平面内对应的点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案　D
解析　复数1－2i在复平面内对应的点的坐标为(1，－2)，位于第四象限．
2．在复平面内的复数3i－i2对应的点的坐标为(　　)
A．(1,3) B．(3,1)
C．(－1,3) D．(3，－1)
答案　A
解析　3i－i2＝1＋3i，故复数3i－i2对应的点的坐标为(1,3)．故选A.
3．已知z＝(m2－1)＋mi在复平面内对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是(　　)
A．(－1,1) B．(－1,0)
C．(0,1) D．(－∞，1)
答案　C
解析　由z在复平面内对应的点在第二象限，得解得0<m<1.所以实数m的取值范围是(0,1)．
4．在复平面内，复数z＝5a＋(6－a2)i，表示其共轭复数的点在第三象限，则实数a满足(　　)
A．－<a<0 B．a<－
C．0<a< D．－<a<
答案　A
解析　∵根据题意，z＝5a＋(6－a2)i对应的点在第二象限，∴解得－<a<0.故选A.
知识点二 复数的模
5.已知z1＝5＋3i，z2＝5＋4i，则下列各式正确的是(　　)
A．z1>z2 B．z1<z2
C．|z1|>|z2| D．|z1|<|z2|
答案　D
解析　复数不能比较大小，排除选项A，B.
又|z1|＝，|z2|＝.∴|z1|<|z2|.
故选D.
6．已知复数z满足|z|＝1，则z＝(　　)
A．±1
B．±i
C．a＋bi(a，b∈R)，且a2＋b2＝1
D．1＋i
答案　C
解析　设z＝a＋bi(a，b∈R)，则由|z|＝1，得a2＋b2＝1.故选C.
7．已知复数z＝1－2mi(m∈R)，且|z|≤2，则实数m的取值范围是________．
答案　
解析　|z|＝≤2，解得－≤m≤.
知识点三 复数的几何意义的应用
8.设z∈C，则满足条件|z|＝|3＋4i|的复数z在复平面上对应的点Z的集合是什么图形？
解　由|z|＝|3＋4i|得|z|＝5.
这表明向量的长度等于5，即点Z到原点的距离等于5.
因此满足条件的点Z的集合是以原点O为圆心，以5为半径的圆．
9．已知两向量a，b对应的复数分别是z1＝－3，z2＝－＋mi(m∈R)，且a，b的夹角为60°，求m的值．
解　因为a，b对应的复数分别为z1＝－3，z2＝－＋mi(m∈R)，所以a＝(－3,0)，b＝.又a，b的夹角为60°，
所以cos60°＝，
即＝，解得m＝±.

一、选择题
1．已知z＝(m＋3)＋(m－1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是(　　)
A．(－3,1) B．(－1,3)
C．(1，＋∞) D．(－∞，－3)
答案　A
解析　由已知可得复数z在复平面内对应的点的坐标为(m＋3，m－1)，所以解得－3＜m＜1.故选A.
2．已知0＜a＜2，复数z＝a＋i(i是虚数单位)，则|z|的取值范围是(　　)
A．(1，) B．(1，) C．(1,3) D．(1,5)
答案　B
解析　|z|＝.∵0＜a＜2，∴0＜a2＜4.
∴1＜＜，即1＜|z|＜.故选B.
3．已知复数z＝x＋1＋(y－1)i(x，y∈R)在复平面内对应的点位于第二象限，则点(x，y)所在的平面区域是(　　)

答案　A
解析　由题意得解得故点(x，y)所在的平面区域为A项中的阴影部分．
4．复平面内，向量表示的复数为1＋i，将向右平移一个单位后得到向量，则向量与点A′对应的复数分别为(　　)
A．1＋i,1＋i B．2＋i,2＋i
C．1＋i,2＋i D．2＋i,1＋i
答案　C
解析　∵表示复数1＋i，∴点A(1,1)，
将向右平移一个单位，得对应1＋i，A′(2,1)，
∴点A′对应复数2＋i.故选C.
5．向量＝(，1)按逆时针方向旋转60°后得到的向量所对应的复数为(　　)
A．－＋i B．2i C．1＋i D．－1＋i
答案　B
解析　向量＝(，1)，设其方向与x轴正方向夹角为θ，tanθ＝＝，则θ＝30°，按逆时针方向旋转60°后与x轴正方向夹角为90°，又||＝2，所以旋转后对应的复数为2i.故选B.
二、填空题
6．在复平面内，O为坐标原点，向量O对应的复数为3－4i，如果点B关于原点的对称点为A，点A关于虚轴的对称点为C，则向量O对应的复数为________．
答案　3＋4i
解析　∵点B的坐标为(3，－4)，
∴点A的坐标为(－3,4)．
∴点C的坐标为(3,4)．
∴向量对应的复数为3＋4i.
7．复数z＝1＋cosα＋isinα(π<α<2π)的模的取值范围为________．
答案　(0,2)
解析　|z|＝＝，
∵π<α<2π，∴－1<cosα<1.
∴0<2＋2cosα<4，∴|z|∈(0,2)．
8．已知i为虚数单位，a为实数，复数z＝a＋2＋(1－2a)i在复平面内对应的点为M，则“a>”是“点M在第四象限”的________．(填“充分而不必要条件”“必要而不充分条件”“充要条件”或“既不充分也不必要条件”)
答案　充要条件
解析　由题意得，在复平面内点M的坐标为(a＋2,1－2a)，当a>时，a＋2>>0,1－2a<0，所以点M在第四象限；当点M在第四象限时，则解得a>.故“a>”是“点M在第四象限”的充要条件．
三、解答题
9．求当实数m为何实数时，复平面内表示复数z＝(1－m)＋(4－m2)i的点位于(1)虚轴上；(2)第二象限；(3)直线3x－y＋1＝0上．
解　∵m为实数，∴1－m,4－m2都是实数，
∴复数z＝(1－m)＋(4－m2)i对应的点的坐标为(1－m，4－m2)．
(1)复数z对应的点位于虚轴上，则解得m＝1.
(2)复数z对应的点位于第二象限，则
∴故1＜m＜2.
(3)复数z对应的点位于直线3x－y＋1＝0上，则3(1－m)－(4－m2)＋1＝0，解得m＝0或m＝3.
10．设z＝x＋yi(x，y∈R)，若1≤|z|≤，判断复数ω＝x＋y＋(x－y)i的对应点的集合表示什么图形，并求其面积．
解　|ω|＝＝＝|z|，而1≤|z|≤，故≤|ω|≤2.所以ω对应点的集合是以原点为圆心，半径为和2的两圆所夹圆环内点的集合(含内外圆周)，其面积S＝π[22－()2]＝2π.

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