2019_2020学年新教材高中数学课时素养评价六充分条件与必要条件新人教A版必修第一册.doc

课时素养评价 六
　充分条件与必要条件
(20分钟·40分)
一、选择题(每小题4分,共16分,多项选择题全选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)
1.“a和b都是奇数”是“a+b也是偶数”的 (　　)
A.充分条件
B.必要条件
C.既是充分条件也是必要条件
D.既不是充分条件也不是必要条件
【解析】选A.两个奇数的和是偶数,但和为偶数的两个数有可能是两个偶数,不一定是两个奇数,所以“a和b都是奇数”⇒“a+b也是偶数”,“a+b也是偶数”“a和b都是奇数”.所以“a和b都是奇数”是“a+b也是偶数”的充分条件.
【加练·固】已知p:>0,q:xy>0,则p是q的 (　　)
A.充分条件
B.必要条件
C.既是充分条件也是必要条件
D.既不是充分条件也不是必要条件
【解析】选C.>0⇔“x>0且y>0”或“x<0且y<0”⇔xy>0,所以p是q的充分条件也是必要条件.
2.已知命题“若p,则q”,假设“若q,则p”为真,则p是q的 (　　)
A.充分条件
B.必要条件
C.既是充分条件也是必要条件
D.既不是充分条件也不是必要条件
【解析】选B.“若q,则p”为真,即q⇒p,所以p是q的必要条件.
3.a<b,b<0的一个必要条件是 (　　)
A.a+b<0 B.a-b>0
C.>1 D.<-1
【解析】选A.因为a<b,b<0⇒a<0,b<0⇒a+b<0.所以a+b<0是a<b,b<0的一个必要条件.
4.(多选题)有以下说法,其中正确的为 (　　)
A.“m是有理数”是“m是实数”的充分条件
B.“x∈A∩B”是“x∈A”的必要条件
C.“x2-2x-3=0”是“x=3”的必要条件
D.“x>3”是“x2>4”的充分条件
【解析】选A、C、D.A正确,因为“m是有理数”⇒“m是实数”,
所以“m是有理数”是“m是实数”的充分条件;
B不正确,因为“x∈A”“x∈A∩B”,所以“x∈A∩B”不是“x∈A”的必要条件;
C正确,由于“x=3”⇒“x2-2x-3=0”,故“x2-2x-3=0”是“x=3”的必要条件;
D正确.由于“x>3”⇒“x2>4”,所以“x>3”是“x2>4”的充分条件.
二、填空题(每小题4分,共8分)
5.用“充分”或“必要”填空:
(1)“x≠3”是“|x|≠3”的______条件. 
(2)“个位数字是5的自然数”是“这个自然数能被5整除”的______条件. 
【解析】(1)当|x|≠3时,x≠±3,
所以“x≠3”“|x|≠3”,“|x|≠3”⇒“x≠3”,所以“x≠3”是“|x|≠3”的必要条件.
(2)因为个位数字是5或0的自然数都能被5整除,所以“个位数字是5的自然数”⇒“这个自然数能被5整除”;“这个自然数能被5整除”“个位数字是5的自然数”,所以“个位数字是5的自然数”是“这个自然数能被5整除”的充分条件.
答案:(1)必要　(2)充分
6.若集合A={1,m2},B={2,4},则“m=2”是“A∩B={4}”的______条件.(填“充分”或“必要”) 
【解析】当A∩B={4}时,m2=4,
所以m=±2.所以“m=2”是“A∩B={4}”的充分条件.
答案:充分
三、解答题
7.(16分)下列“若p,则q”形式的命题中,哪些命题中的p是q的充分条件?哪些命题中的p是q的必要条件?
(1)p:数a能被6整除,q:数a能被3整除.
(2)p:x>1,q:x2>1.
(3)p:△ABC有两个角相等,q:△ABC是正三角形.
(4)p:A∩B=A,q:UB⊆UA.
【解析】(1)数a能被6整除,则一定能被3整除,反之不一定成立.即p⇒q,qp,
所以p是q的充分条件,但p不是q的必要条件.
(2)因为x2>1⇒x>1或x<-1,
所以p⇒q,且qp.
所以p是q的充分条件,但p不是q的必要条件.
(3)△ABC中,有两个角相等时为等腰三角形,不一定为正三角形,即pq,且q⇒p,
所以p不是q的充分条件,但p是q的必要条件.
(4)画出Venn图(如图)可得.

结合图形可知,A∩B=A⇒A⊆B⇒UB⊆UA,
反之也成立.所以p是q的充分条件,且p是q的必要条件.
(15分钟·30分)
1.(4分)若非空集合A,B,C满足A∪B=C,且B不是A的子集,则 (　　)
A.“x∈C”是“x∈A”的充分条件但不是必要条件
B.“x∈C”是“x∈A”的必要条件但不是充分条件
C.“x∈C”是“x∈A”的充分条件也是“x∈A”的必要条件
D.“x∈C”既不是“x∈A”的充分条件也不是“x∈A”的必要条件
【解析】选B.x∈A必有x∈C,但反之不一定成立,所以“x∈C”是“x∈A”的必要条件但不是充分条件.
2.(4分)设甲、乙、丙是三个命题,如果甲是乙的必要条件,丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件,那么 (　　)
A.丙是甲的充分条件,但不是甲的必要条件
B.丙是甲的必要条件,但不是甲的充分条件
C.丙既是甲的充分条件,也是甲的必要条件
D.丙既不是甲的充分条件,也不是甲的必要条件
【解析】选A.因为甲是乙的必要条件,
所以乙⇒甲.
又因为丙是乙的充分条件,但不是乙的必要条件,
所以丙⇒乙,但乙丙,如图.

综上,有丙⇒甲,但甲丙,
即丙是甲的充分条件,但不是甲的必要条件.
3.(4分)给出下列四个条件:①a>0,b>0;②a<0,b<0;③a=3,b=-2;④a>0,b<0且|a|>|b|,其中________是a+b>0的充分条件.(填序号)  
【解析】问题是“谁”是“a+b>0”的充分条件;对应即为“谁”⇒“a+b>0”.“a>0,b>0”⇒“a+b>0”,“a=3,b=-2”⇒“a+b=1>0”,“a>0,b<0且|a|>|b|”⇒“a+b>0”故①③④正确,而②中“a<0,b<0”⇒“a+b<0”不正确.
答案:①③④
4.(4分)条件p:1-x<0,条件q:x>a,若p是q的充分条件,则a的取值范围________.  
【解析】x>1⇒x>a,令A={x|x>1},
B={x|x>a},则A⊆B,所以a≤1.
答案:a≤1
5.(14分)已知a,b是实数,求证:a4-b4-2b2=1成立的充分条件是a2-b2=1,该条件是否是必要条件?证明你的结论.
【解析】若a2-b2=1,
则a4-b4-2b2=(a2+b2)(a2-b2)-2b2
=a2+b2-2b2=a2-b2=1,
所以a2-b2=1是a4-b4-2b2=1的充分条件.
a2-b2=1是a4-b4-2b2=1的必要条件,
证明如下:若a4-b4-2b2=1,则a4-b4-2b2-1=0,
即a4-(b2+1)2=0,
所以(a2+b2+1)(a2-b2-1)=0,
因为a2+b2+1≠0,所以a2-b2=1,
所以a2-b2=1是a4-b4-2b2=1的必要条件.
【加练·固】已知a,b是实数,且ab≠0,求证:a3+b3+ab-a2-b2=0成立的充分条件是a+b=1,该条件是否是必要条件?证明你的结论.
【解析】若a+b=1,即b=1-a,
a3+b3+ab-a2-b2=a3+(1-a)3+a(1-a)-a2-(1-a)2
=a3+1-3a+3a2-a3+a-a2-a2-1+2a-a2=0.
所以a+b=1是a3+b3+ab-a2-b2=0成立的充分条件,
a+b=1是a3+b3+ab-a2-b2=0成立的必要条件,
证明如下:因为a3+b3+ab-a2-b2=0,
即(a+b)(a2-ab+b2)-(a2-ab+b2)=0,
所以(a+b-1)(a2-ab+b2)=0.
因为ab≠0,
所以a≠0且b≠0,
所以a2-ab+b2≠0,
故a+b=1.

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