2019_2020学年新教材高中数学单元素养评价四新人教A版必修2.doc

单元素养评价(四)
(第九章)
(120分钟　150分)
一、单项选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的)
1.在实际生活中，有的问题适合普查，例如人口变化，有的问题适合抽样调查，例如产品质量.下列最适合抽样调查的是 (　　)
A.高一1班数学作业完成情况
B.了解一批牛奶的质量
C.某汽车4S店想知晓新客户对服务的评价
D.环保局调查管辖范围内湖泊的水质情况
【解析】选B.A适合普查.B适合抽样调查.C适合普查.D普查所有湖泊，不是调查某一个湖泊的水质.
2.一个容量为35的样本数据，分组后，组距与频数如下：[5，10)，5；[10，15)，12；[15，20)，7；[20，25)，5；[25，30)，4；[30，35)，2.则样本在区间[20，35)上的频率约为 (　　)
A.20%　　B.69%　　C.31%　　D.27%
【解析】选C.由已知，样本中落在[20，35)上的频数为5+4+2=11，所以在区间[20，35)上的频率为≈0.31.
3.某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20)，[20，22.5)，[22.5，25)，[25，27.5)，[27.5，30].根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是 (　　)

A.56 B.60 C.120 D.140
【解析】选D.由频率分布直方图可知，这200名学生每周自习时间不少于22.5小时的频率为(0.16+0.08+0.04)×2.5=0.7，故该区间内的人数为200×0.7=140.
4.《九章算术》第三章“衰分”中有如下问题：“今有甲持钱五百六十，乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百钱，欲以钱数多少衰出之，问各几何？”其意为：“今有甲带了560钱，乙带了350钱，丙带了180钱，三人一起出关，共需要交关税100钱，依照钱的多少按比例出钱”，则乙应出(所得结果四舍五入，保留整数)钱数为 (　　)
A.17 B.28 C.30 D.32
【解析】选D.根据分层随机抽样原理，
抽样比例为=，
所以乙应交关税为350×≈32(钱).
5.经过中央电视台《魅力中国城》栏目的三轮角逐，黔东南州以三轮竞演总分排名第一名问鼎“最具人气魅力城市”.如图统计了黔东南州从2010年到2017年的旅游总人数(万人次)的变化情况，从一个侧面展示了大美黔东南的魅力所在.根据这个图表，在下列给出的黔东南州从2010年到2017年的旅游总人数的四个判断中，错误的是 (　　)

A.旅游总人数逐年增加
B.2017年旅游总人数超过2015，2016两年的旅游总人数的和
C.年份数与旅游总人数成正相关
D.从2014年起旅游总人数增长加快
【解析】选B.从图表中看出：
在A中，旅游总人数逐年增加，故A不符合题意；
在B中，2017年旅游总人数没有超过2015，2016两年的旅游总人数的和，故B符合题意；
在C中，年份数与旅游总人数成正相关，故C不符合题意；
在D中，从2014年起旅游总人数增长加快，故D不符合题意.
6.样本中共有五个个体，其值分别为0，1，2，3，m.若该样本的平均值为1，则其方差为 (　　)
A. B. C. D.2
【解析】选D.由已知，m=5×1-(0+1+2+3)=-1，样本方差s2=[(-1)2+02+12+22+(-2)2]=2，即所求的样本方差为2.
7.为了规定工时定额，需要确定加工某种零件所需的时间，为此进行了5次试验，得到5组数据：(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，(x4，y4)，(x5，y5)，由最小二乘法求得回归直线方程为=0.67x+54.9.若已知x1+x2+x3+x4+x5=150，则y1+y2+y3+y4+y5= (　　)
A.75 B.155.4 C.375 D.466.2
【解析】选C.==30，回归直线方程为
=0.67x+54.9.可得：=0.67×30+54.9=75.
则y1+y2+y3+y4+y5=·n=75×5=375.
8.某高校进行自主招生，先从报名者中筛选出400人参加笔试，再按笔试成绩择优选出100人参加面试，现随机调查了24名笔试者的成绩，如表所示：
分数
段
[60，
65)
[65，
70)
[70，
75)
[75，
80)
[80，
85)
[85，
90]
人数
2
3
4
9
5
1
据此估计允许参加面试的分数线大约是 (　　)
A.75 B.80 C.85 D.90
【解析】选B.400人参加笔试，择优选出100人参加面试，随机抽查了24名笔试者的成绩，则×24=6，即抽查的笔试者中有6人被选出.由表格，分数在[80，85]有5人，在[85，90)有1人，所以估计参加面试的分数线为80.
9.某高中在校学生2 000人，高一与高二人数相同并都比高三多1人.为了响应“阳光体育运动”号召，学校举行了“元旦”跑步和登山比赛活动.每人都参加而且只参与了其中一项比赛，各年级参与比赛人数情况如下表：

高一
高二
高三
跑步
a
b
c
登山
x
y
z
其中a∶b∶c=2∶3∶5，全校参与登山的人数占总人数的.为了了解学生对本次活动的满意程度，从中抽取一个200人的样本进行调查，则高二参与跑步的学生中应抽取 (　　)
A.36人 B.60人 C.24人 D.30人
【解析】选A.由题意知高一、高二、高三的人数分别为667，667，666.设a=2k，b=3k，c=5k，
则a+b+c=×2 000，即k=120.
所以b=3×120=360.
又2 000人中抽取200人的样本，即每10人中抽取一人，则360人中应抽取36人.
10.已知数据x1，x2，…，x10，2的平均值为2，方差为1，则数据x1，x2，…，x10相对于原数据 (　　)

A.一样稳定
B.变得比较稳定
C.变得比较不稳定
D.稳定性不可以判断
【解析】选C.数据x1，x2，…，x10，2的平均值为2，方差为1，故[(x1-2)2+(x2-2)2+…+(x10-2)2+(2-2)2]=1，数据x1，x2，…，x10的方差s2=[(x1-2)2+(x2-2)2+…+(x10-2)2]>1，故相对于原数据变得比较不稳定.
二、多项选择题(本大题共3小题，每小题4分，共12分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)
11.为了反映各行业对仓储物流业务需求变化的情况，以及重要商品库存变化的动向，中国物流与采购联合会和中储发展股份有限公司通过联合调查，制定了中国仓储指数.由2017年1月至2018年7月的调查数据得出的中国仓储指数，绘制出如下的折线图.

根据该折线图，下列结论错误的是 (　　)
A.2017年各月的仓储指数最大值是在3月份
B.2018年1月至7月的仓储指数的中位数为55
C.2018年1月与4月的仓储指数的平均数为52
D.2017年1月至4月的仓储指数相对于2018年1月至4月，波动性更大
【解析】选ABC.2017年各月的仓储指数最大值是在11月份，所以A错误；由图知，2018年1月至7月的仓储指数的中位数约为53，所以B错误；2018年1月与4月的仓储指数的平均数为=53，所以C错误；由图可知，2017年1月至4月的仓储指数比2018年1月至4月的仓储指数波动更大.
12.为了解户籍、性别对生育二胎选择倾向的影响，某地从育龄人群中随机抽取了容量为100的样本，其中城镇户籍与农村户籍各50人；男性60人，女性40人，绘制不同群体中倾向选择生育二胎与倾向选择不生育二胎的人数比例图(如图所示)，其中阴影部分表示倾向选择生育二胎的对应比例，则下列叙述中正确的是 (　　)

A.是否倾向选择生育二胎与户籍有关
B.是否倾向选择生育二胎与性别无关
C.倾向选择生育二胎的人员中，男性人数与女性人数相同
D.倾向选择不生育二胎的人员中，农村户籍人数少于城镇户籍人数
【解析】选ABD.由题图，可得是否倾向选择生育二胎与户籍有关、性别无关，倾向选择不生育二胎的人员中，农村户籍人数少于城镇户籍人数，倾向选择生育二胎的人员中，男性人数为60×60%=36，女性人数为40×60%=24，不相同.
13.为了了解某校九年级1 600名学生的体能情况，随机抽查了部分学生，测试1分钟仰卧起坐的成绩(次数)，将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图，根据统计图的数据，下列结论错误的是 (　　)

A.该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数的中位数估计值为25
B.该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数的众数估计值为27.5
C.该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数超过30次的人数约为320
D.该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数少于20次的人数约为32
【解析】选AD.由图知，中位数是26.25，众数是27.5，1分钟仰卧起坐的次数超过30次的频率为0.2，所以估计该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数超过30次的人数约有320人；1分钟仰卧起坐的次数少于20次的频率为0.1，所以该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数少于20次的人数约有160人.
三、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，将答案填在题中的横线上)
14.某公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异.为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层随机抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是________. 
【解析】因为不同年龄段客户对服务评价有较大差异，则最合适的抽样方法是分层随机抽样.
答案：分层随机抽样
15.(2019·马鞍山高二检测)已知样本容量为200，在样本的频率分布直方图中，共有n个小矩形，若中间一个小矩形的面积等于其余(n-1)个小矩形面积和的，则该组的频数为________. 
【解析】设除中间一个小矩形外的(n-1)个小矩形面积的和为P，则中间一个小矩形面积为P，P+P=1，P=，则中间一个小矩形的面积等于P=，200×=50，即该组的频数为50.
答案：50
16.对某市“四城同创”活动中800名志愿者的年龄抽样调查统计后得到频率分布直方图(如图)，但是年龄组为[25，30)的数据不慎丢失，则依据此图可得：

(1)[25，30)年龄组对应小矩形的高度为________. 
(2)据此估计该市“四城同创”活动中志愿者年龄在[25，35)的人数为________. 
【解析】设[25，30)年龄组对应小矩形的高度为h，则5×(0.01+h+0.07+0.06+0.02)=1，解得h=0.04.则志愿者年龄在[25，35)年龄组的频率为5×(0.04+0.07)=0.55，故志愿者年龄在[25，35)年龄组的人数约为0.55×800=440.
答案：(1)0.04　(2)440
【加练·固】
　　 如图是100位居民月均用水量的频率分布直方图，则月均用水量为[2，2.5)范围内的居民数有________人. 

【解析】由图可知，在[2，2.5)范围内的居民人数有100×0.5×(2.5-2)=25.
答案：25
17.样本容量为100的频率分布直方图如图所示，根据样本频率分布直方图估计平均数为________. 

【解析】平均数为×(6×10+20×12+40×14+24×16+10×18)=14.24.
答案：14.24
四、解答题(本大题共6小题，共82分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
18.(12分)为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A药，B药)的疗效，随机地选取20位患者服用A药，20位患者服用B药，这40位患者在服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间(单位：h).试验的观测结果如下：
服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间：
0.6　1.2　2.7　1.5　2.8　1.8　2.2　2.3
3.2　3.5　2.5　2.6　1.2　2.7　1.5　2.9
3.0　3.1　2.3　2.4
服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间：
3.2　1.7　1.9　0.8　0.9　2.4　1.2　2.6
1.3　1.4　1.6　0.5　1.8　0.6　2.1　1.1
2.5　1.2　2.7　0.5
(1)分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？
(2)根据两组数据，分别计算第10百分位数，并据此判断哪种药的疗效更好？
【解析】(1)设A药观测数据的平均数为，B药观测数据的平均数为，由观测结果可得=×(0.6+1.2+2.7+1.5+2.8+1.8+2.2+2.3+3.2+3.5+2.5+2.6+
1.2+2.7+1.5+2.9+3.0+3.1+2.3+2.4)=2.3，=×(3.2+1.7+1.9+0.8+0.9+2.4+1.2+2.6+1.3+1.4+1.6+0.5+1.8+0.6+2.1
+1.1+2.5+1.2+2.7+0.5)=1.6.由以上计算结果可得>，因此可看出A药的疗效更好.
(2)因为20×10%=2，所以第10百分位数为数据从小到大排列后，第2项与第3项的平均数，所以A药的第10百分位数为1.2，B药的第10百分位数为=0.55，由此可看出A药的疗效更好.
19.(14分)某市2018年4月1日-4月30日对空气污染指数的监测数据如下(主要污染物为可吸入颗粒物)：
61，76，70，56，81，91，92，91，75，81，88，67，101，103，95，91，77，86，81，83，82，82，64，79，86，85，75，71，49，45.
(1)列出频率分布表.
(2)作出频率分布直方图.
【解析】(1)频率分布表：
分组
频数
频率
[41，51)
2

[51，61)
1

[61，71)
4

[71，81)
6

[81，91)
10

[91，101)
5

[101，111]
2

(2)频率分布直方图如图所示.

20.(14分)某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，将其成绩(均为整数)分成六段[40，50)，[50，60)，…，[90，100]后画出如图部分频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题：
(1)求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图.
(2)估计这次考试的及格率(60分及以上为及格)，众数和中位数.(保留整数)

【解析】(1)因为各组的频率和等于1，故第四组的频率：f4=1-(0.025+0.015×2+0.01+0.005)×10=0.3，
补全频率分布直方图如图所示：

(2)依题意，60及以上的分数所在的第三、四、五、六组，频率和为(0.015+0.03+0.025+0.005)×10=0.75，
所以抽样学生成绩的及格率是75%，
众数为最高小矩形底边的中点，是75；
由0.1+0.15+0.15=0.4，知中位数在[70，80)内，
设中位数为x，则(x-70)×0.03+0.4=0.5，解得x≈73.3；
所以估计中位数是73.3分.
21.(14分)为选派一名学生参加全市实践活动技能竞赛，A，B两位同学在学校学习基地现场进行加工直径为20 mm的零件的测试，他俩各加工的10个零件的相关数据如下面的图表所示(单位：mm).

数据
平均数
方差
完全符合要求的个数
A
20
0.026
2
B
20

5
根据测试得到的有关数据，试解答下列问题：
(1)考虑平均数与完全符合要求的个数，你认为谁的成绩好些.
(2)计算出的大小，考虑平均数与方差，说明谁的成绩好些.
(3)考虑图中折线走势及竞赛中加工零件个数远远超过10个的实际情况，你认为派谁去参赛较合适？说明你的理由.
【解析】(1)因为A，B两位同学成绩的平均数相同，B同学加工的零件中完全符合要求的个数较多，由此认为B同学的成绩好些.
(2)因为=×[5×(20-20)2+3×(19.9-20)2+(20.1-20)2+(20.2-20)2]=0.008，且=0.026，所以>，在平均数相同的情况下，B同学的波动小，所以B同学的成绩好些.
(3)从题干图中折线走势可知，尽管A同学的成绩前面起伏大，但后来逐渐稳定，误差小，预测A同学的潜力大，而B同学前期稳定，后面起伏变大，潜力小，所以选派A同学去参赛较合适.
22.(14分)“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称，某市为了了解人们对“一带一路”的认知程度，对不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分(90分及以上为认知程度高)，现从参赛者中抽取了x人，按年龄分成5组(第一组：[20，25)，第二组：[25，30)，第三组：[30，35)，第四组：[35，40)，第五组：[40，45])，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有6人.
(1)求x.
(2)求抽取的x人的年龄的中位数(结果保留整数).
(3)从该市大学生、军人、医务人员、工人、个体户五种人中用分层抽样的方法依次抽取6人，42人，36人，24人，12人，分别记1～5组，从这5个按年龄分的组和5个按职业分的组中每组各选派1人参加知识竞赛代表相应的成绩，年龄组中1～5组的成绩分别为93，96，97，94，90，职业组中1～5组的成绩分别为93，98，94，95，90.
①分别求5个年龄组和5个职业组成绩的平均数和方差.
②以上述数据为依据，评价5个年龄组和5个职业组对“一带一路”的认知程度，并谈谈你的感想.

【解析】(1)根据频率分布直方图得第一组频率为0.01×5=0.05，所以=0.05，所以x=120.
(2)设中位数为a，则0.01×5+0.07×5+(a-30)×0.06=0.5，解得a=≈32.所以中位数为32.
(3)①5个年龄组的平均数为
=(93+96+97+94+90)=94，
方差为=[(-1)2+22+32+02+(-4)2]=6，
5个职业组的平均数为=(93+98+94+95+90)=94，
方差为=[(-1)2+42+02+12+(-4)2]=6.8.
②评价：从平均数来看两组的认知程度相同，
从方差来看年龄组的认知程度更好.
感想：一带一路”是指“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称.它将充分依靠中国与有关国家既有的双多边机制，借助既有的、行之有效的区域合作平台.“一带一路”战略目标是要建立一个政治互信、经济融合、文化包容的利益共同体、命运共同体和责任共同体，是包括亚欧大陆在内的世界各国，构建一个互惠互利的利益、命运和责任共同体.
23.(14分)(2017·北京高考)某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20，30)，[30，40)，…，[80，90]，并整理得到如下频率分布直方图.

(1)从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率.
(2)已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40，50)内的人数.
(3)已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等.试估计总体中男生和女生人数的比例.
【解析】(1)根据频率分布直方图可知，样本中分数不小于70的频率为(0.02+0.04)×10=0.6，
所以样本中分数小于70的频率为1-0.6=0.4，所以从总体的400名学生中随机抽取一人，其分数小于70的概率估计为0.4.
(2)根据题意，样本中分数不小于50的频率为(0.01+0.02+0.04+0.02)×10=0.9，分数在区间[40，50)内的人数为100-100×0.9-5=5，所以总体中分数在区间[40，50)内的人数估计为400×=20.
(3)由题意可知，样本中分数不小于70的学生人数为(0.02+0.04)×10×100=60，
所以样本中分数不小于70的男生人数为60×=30，所以样本中的男生人数为30×2=60，女生人数为100-60=40，所以样本中男生和女生人数的比例为60∶40=3∶2，所以根据分层抽样原理，估计总体中男生和女生人数的比例为3∶2.

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