2019_2020学年新教材高中数学章末质量检测二含解析新人教A版必修第一册.doc

章末质量检测(二)　一元二次函数、方程和不等式
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知a，b，c∈R，则下列命题正确的是(　　)
A．a>b⇒ac2>bc2　B.>⇒a>b
C.⇒> D.⇒a2b<ab2
解析：A项，c＝0时不成立；B项，c<0时不成立；C项，因为a>b，ab<0，所以<，即<，正确；D项，因为a>b，ab>0，所以a·ab>b·ab，即a2b>ab2，不成立．
答案：C
2．设a＝3x2－x＋1，b＝2x2＋x，则(　　)
A．a>b B．a<b
C．a≥b D．a≤b
解析：a－b＝(3x2－x＋1)－(2x2＋x)
＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，所以a≥b.
答案：C
3．已知b<2a,3d<c，则下列不等式一定成立的是(　　)
A．2a－c>b－3d B．2ac>3bd
C．2a＋c>b＋3d D．2a＋3d>b＋c
解析：由于b<2a,3d<c，则由不等式的性质得b＋3d<2a＋c，故选C.
答案：C
4．设集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|2x－3>0}，则A∩B＝(　　)
A. B.
C. D.
解析：由题意得，A＝{x|1<x<3}，B＝，则A∩B＝.
答案：D
5．若α，β满足－<α<β<，则α－β的取值范围是(　　)
A．－π<α－β<π B．－π<α－β<0
C．－<α－β< D．－<α－β<0
解析：从题中－<α<β<可分离出三个不等式：－<α<　①，－<β<　②，α<β　③.根据不等式的性质，②式同乘以－1得－<－β<　④，根据同向不等式的可加性，可得－π<α－β<π.由③式得α－β<0，所以－π<α－β<0.
答案：B
6．设A＝＋，其中a、b是正实数，且a≠b，B＝－x2＋4x－2，则A与B的大小关系是(　　)
A．A≥B B．A>B
C．A<B D．A≤B
解析：因为a，b都是正实数，且a≠b，
所以A＝＋>2＝2，即A>2，
B＝－x2＋4x－2＝－(x2－4x＋4)＋2
＝－(x－2)2＋2≤2，
即B≤2，所以A>B.
答案：B
7．已知关于x的不等式x2－bx＋c≤0的解集是{x|－5≤x≤1}，则b－c的值为(　　)
A．1 B．－1
C．9 D．－9
解析：∵不等式x2－bx＋c≤0的解集是{x|－5≤x≤1}，
∴x1＝－5，x2＝1是x2－bx＋c＝0的两个实数根，
∴由韦达定理知∴
∴b－c＝－4－(－5)＝1.故选A.
答案：A
8．已知a>0，b>0，a，b的等差中项是，且α＝a＋，β＝b＋.则α＋β的最小值是(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：因为α＋β＝a＋＋b＋＝·(a＋b)
＝1＋1＋1＋＋≥5.当且仅当a＝b＝时，等号成立．
答案：C
9．设a>0，不等式－c<ax＋b<c的解集是{x|－2<x<1}，则a∶b∶c等于(　　)
A．1∶2∶3 B．2∶1∶3
C．3∶1∶2 D．3∶2∶1
解析：∵－c<ax＋b<c，又a>0，
∴－<x<.
∵不等式的解集为{x|－2<x<1}，
∴∴
∴a∶b∶c＝a∶∶＝2∶1∶3.
答案：B
10．若实数a，b满足＋＝，则ab的最小值为(　　)
A. B．2
C．2 D．4
解析：方法一　由已知得＋＝＝，且a>0，b>0，∴ab＝b＋2a≥2，∴ab≥2.
方法二　由题设易知a>0，b>0，∴＝＋≥2，即ab≥2.
答案：C
11．若不等式ax2＋4x＋a>1－2x2对任意实数x均成立，则实数a的取值范围是(　　)
A．a≥2或a≤－3 B．a>2或a≤－3
C．a>2 D．－2<a<2
解析：原不等式可化为(a＋2)x2＋4x＋a－1>0，显然a＝－2时不等式不恒成立，所以要使不等式对于任意的x均成立，必须有a＋2>0，且Δ<0，即解得a>2.
答案：C
12．已知不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为(　　)
A．2 B．4
C．6 D．8
解析：不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，则(x＋y)≥(1＋)2≥9，∴≥2，即a≥4，故正实数a的最小值为4.
答案：B
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)
13．如果a<b<0，那么下列不等式成立的是________．
①< ②ab<b2
③－ab<－a2 ④－<－
解析：令a＝－2，b＝－1，则＝－>＝－1，故①不成立；ab＝2>b2＝1，故②不成立．因为a<b<0，所以－ab－(－a2)＝－a(b－a)>0，所以－ab>－a2，故③不成立．选④.
答案：④
14．某小型服装厂生产一种风衣，日销货量x件与货价p元/件之间的关系为p＝160－2x，生产x件所需成本为C＝500＋30x元，问：该厂日产量________时，日获利不少于1 300元？
解析：由题意，得(160－2x)x－(500＋30x)≥1 300，
化简得x2－65x＋900≤0，
解之得20≤x≤45.
因此，该厂日产量在20件至45件时，日获利不少于1 300元．
答案：20件至45件
15．已知x≥0，y≥0，且x＋y＝1，则x2＋y2的取值范围是________．
解析：x2＋y2≥＝.当且仅当x＝y时等号成立．
当x＝0或x＝1时，x2＋y2取最大值，为1.
所以x2＋y2的取值范围是.
答案：
16．若关于x的方程x2＋ax＋a2－1＝0有一正根和一负根，则a的取值范围为________．
解析：由题意可知，Δ>0且x1x2＝a2－1<0，故－1<a<1.
答案：－1<a<1
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)比较x2＋3与3x的大小(其中x∈R)．
解析：因为(x2＋3)－3x＝x2－3x＋3＝＋3－2＝2＋≥>0，所以x2＋3>3x.
18．(12分)解不等式组
解析：≤1⇒≤0⇒x∈[－2,6)，
6x2－x－1>0⇒(3x＋1)(2x－1)>0⇒x∈∪，
所以原不等式组的解集为x∈∪.
19．(12分)若不等式(1－a)x2－4x＋6>0的解集是{x|－3<x<1}．
(1)解不等式2x2＋(2－a)x－a>0；
(2)b为何值时，ax2＋bx＋3≥0的解集为R.
解析：(1)由题意，知1－a<0且－3和1是方程(1－a)x2－4x＋6＝0的两根，
所以解得a＝3.
所以不等式2x2＋(2－a)x－a>0，
即为2x2－x－3>0，
解得x<－1或x>.
所以所求不等式的解集为.
(2)ax2＋bx＋3≥0，
即为3x2＋bx＋3≥0，若此不等式解集为R，
则b2－4×3×3≤0，
所以－6≤b≤6.
20．(12分)正数x，y满足＋＝1.
(1)求xy的最小值；
(2)求x＋2y的最小值．
解析：(1)由1＝＋≥2得xy≥36，当且仅当＝，即y＝9x＝18时取等号，故xy的最小值为36.
(2)由题意可得x＋2y＝(x＋2y)＝19＋＋≥19＋2＝19＋6，当且仅当＝，即9x2＝2y2时取等号，故x＋2y的最小值为19＋6.
21．(12分)

如图，动物园要围成相同的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．
(1)现有可围36 m长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？
(2)若使每间虎笼面积为24 m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋总长度最小？
解析：(1)设每间虎笼长为x m，宽为y m，则由条件，知4x＋6y＝36，即2x＋3y＝18.
设每间虎笼的面积为S，则S＝xy.
方法一　由于2x＋3y≥2＝2，
∴2≤18，得xy≤，即S≤.
当且仅当2x＝3y时等号成立．
由解得
故每间虎笼长为4.5 m，宽为3 m时，可使面积最大．
方法二　由2x＋3y＝18，得x＝9－y.
∵x>0，∴0<y<6.
S＝xy＝y＝(6－y)y.
∵0<y<6，∴6－y>0.∴S≤2＝.
当且仅当6－y＝y，即y＝3时，等号成立，此时x＝4.5.
故每间虎笼长4.5 m，宽3 m时，可使面积最大．
(2)由条件知S＝xy＝24.
设钢筋网总长为l，则l＝4x＋6y.
方法一　∵2x＋3y≥2＝2＝24，
∴l＝4x＋6y＝2(2x＋3y)≥48，当且仅当2x＝3y时，等号成立．
由解得
故每间虎笼长6 m，宽4 m时，可使钢筋网总长最小．
方法二　由xy＝24，得x＝.
∴l＝4x＋6y＝＋6y＝6≥6×2＝48，
当且仅当＝y，即y＝4时，等号成立，此时x＝6.
故每间虎笼长6 m，宽4 m时，可使钢筋总长最小．
22．(12分)已知f(x)＝x2－x＋1.
(1)当a＝时，解不等式f(x)≤0；
(2)若a>0，解关于x的不等式f(x)≤0.
解析：(1)当a＝时，
有不等式f(x)＝x2－x＋1≤0，
所以(x－2)≤0，
所以原不等式的解集为.
(2)因为不等式f(x)＝(x－a)≤0，
当0<a<1时，有>a，所以不等式的解集为；
当a>1时，有<a，所以不等式的解集为；
当a＝1时，不等式的解集为{x|x＝1}．

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