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一次函数与正比例函数教学设计

第六届全国北师大版初中数学优质课评比与观摩活动 作品欣赏
一次函数与正比例函数
江西省萍乡市湘东区萍钢中学 邓子清
一、教材分析
《一次函数与正比例函数》是北师大版八年级上册第四章第二节的内容，在学生掌握了变量之间的关系、函数概念的基础上继续学习本节内容。一次函数的研究方法具有一般性和代表性，为学习后面的反比例函数、二次函数奠定了基础，起着承上启下的作用。
二、学情分析
认知基础：学生刚刚学习了函数的概念，在应用与理解时并不是很熟练、透彻，需要通过本节内容进一步加深巩固，对于规律性的问题，需进一步加强训练。
活动经验基础：在第一节函数的学习中，学生已经接触了较为丰富的生活实例，他们的参与意识和活动能力都很强，有一定的生活经验，因此在教学时，教师应结合学生的生活实际和认知状况，选择丰富的生活素材，启发学生从实例中归纳出一次函数的概念，加深理解，体会数学的广泛应用。
三、教学任务分析
新课改的核心理念是以学生发展为本，能力培养为重，根据数学课程标准的课程目标、课程内容、课程要求和学生实际情况的分析，我制定了以下教学目标：
知识与技能目标
(1)掌握一次函数和正比例函数的概念。
(2) 能根据所给条件写出正比例函数和简单的一次函数表达式。
过程与方法目标
(1)经历一次函数概念的抽象过程。
(2)体会模型思想，发展符号意识与数学应用能力。
情感与态度价值观目标
(1) 感受数学与人类生活的密切联系，激发学生学数学、用数学的兴趣。
（2）在探索过程中体验成功的喜悦，树立学生学习的自信心。
教学重点：（1）掌握一次函数概念；（2）根据已知信息写出一次函数的表达式。
教学难点：会用一次函数的知识解决实际问题。
四、教法与学法分析
说教学方法：针对八年级学生的年龄特点和本班的实际情况，遵循学生的认知规律，我采用分组讨论法、引导发现法、讲练结合法为主的教法，让学生充分经历抽象一次函数模型的过程。同时借助多媒体为辅进行演示、以增加课堂容量和教学的直观性。
学法指导：结合本节课的内容以及学生的心理特点，在学法上，引导学生采用自主探究与合作交流相结合的方法，让学生经历观察思考，交流讨论，归纳总结，以及将结论推广应用的过程。
五、教学过程分析
（一） 第一环节：创设情境，初步感知
操作弹簧测力器，小组体验。问：你发现了什么？
弹簧测力器演示：学生发现问题并提出问题（弹簧的长度与所挂物体的质量之间的关系）究竟是一种什么样的关系呢?这就是我们今天要学习的----板书课题4.2正比例函数和一次函数
（二） 第二环节：探索研究，形成概念
1、做一做（1） 某弹簧的自然长度为3cm,在弹簧限度内,所挂物体的质量x每增加1kg,弹簧长度y增加0.5cm.
(1)计算所挂物体的质量分别为1kg、2kg、3kg、4kg、5kg时的弹簧长度,并填入下表:
x/kg
0
1
2
3
4
5
y/cm

(2)你能写出x与y之间的关系式吗?
答案 (1) 3、3.5、4、4.5、5、5.5 ；(2) . (y是x的函数吗）
做一做（2）某辆汽车油箱有汽油60L,汽车每行驶50km耗油6L.
(1)完成下表:
汽车行驶路程x/km
0
50
100
150
200
300
油箱剩余汽油量y/L

(2)你能写出x与y之间的关系式吗?
(3)汽车行驶的路程x可以无限增大吗?有没有一个取值范围?剩余油量y呢?
答案 (1) 0、6、12、18、24、36；
(2) x与y之间的关系式为 y=0.12x(y是x的函数吗）
(3) z =60-0.12x(z是x的函数吗）
2、接下来请学生观察三个关系式 ， z =-0.12x+60 ，y=0.12x
的共同特征，小组内部交流合作，请同学们找出这些关系式的共同点，并回答问题：
（1)这些变化过程中自变量分别是什么？因变量分别是什么？
（2）这些关系式是关于自变量的几次式？
（3）关于x的一次式的一般形式是什么？
3、总结：上面的关系式都是关于自变量的一次式。一般地,若两个变量x,y间的关系式可以表示成(为常数,≠0)的形式,则称是的一次函数(是自变量,为因变量).如y=0.5x+3 K=0.5 b=3
一次函数
正比例函数
特别地,当时,则是的正比例函数.思考：一次函数与正比例函数的关系式是什么？

练一练：判断下列函数关系式中，y是否为x一次函数？是否为正比例函数？
（1）y=x-3

是一次函数的是 ，是正比例函数的是 。
学生思考后举手回答，教师听取学生的回答后追问判断的理由，并给以点评。
易错点津：已知函数是一次函数，则m的值为 。
小亮说：嗨，我是小亮，我认为这道题根据一次函数的指数为1列出方程
小颖说：嗨，我是小颖，我认为这道题根据一次函数的定义得得m=-3
你认为他们谁说得有道理？
归纳一次例函数的判定条件：(1)系数k≠0，(2)x的次数为1次；
学生类比归纳正比例函数的判定条件：（1）系数k≠0，b=0;(2)x的次数为1
（三）第三环节：例题讲解，运用新知
内容：
1、写出下列各题中与之间的关系式,并判断:是否为的一次函数?是否为正比例函数?
(1)汽车以60千米/时的速度匀速行驶,行驶路程(千米)与行驶时间(时)之间的关系；
(2)圆的面积(厘米2)与它的半径(厘米)之间的关系；
(3)一棵树现在高50厘米,每个月长高2厘米,个月后这棵树的高度为(厘米),则与的关系.
答案: (1)由路程=速度×时间,得,是的一次函数,也是的正比例函数；
(2)由圆的面积公式,得,不是的一次函数,也不是的正比例函数；
(3)这棵树每月长高2厘米,个月长高了厘米,因而,是 的一次函数,但不是的正比例函数.
2、我国自2011年9月1日起，个人工资、薪金所得税征收办法规定：月收入低于3500元的部分不收税；月收入超过3500元但低于5000元的部分征收3%的所得税……如某人月收入3860元，他应缴纳个人工资、薪金所得税为(3860-3500)×3%= 10.8(元)
(1)当月收入大于3500元而又小于5000元时，写出应缴纳所得税y(元)与月收入x(元) 之间的关系式
(2)某人月收入为4160元，他应缴纳个人工资薪金所得税多少元？
(3)如果某人本月缴所得税19.2元，那么此人本月工资、薪金收入是多少元？
（播放录音，朗读例题）
解：(1)当月收入大于3500元而小于5000元时，
y= (x-3500)× 3%，即y= 0.03 x-105
(2)当x=4160时， y=0.03×4160-105=19.8（元）
(3)因为（5000-3500）× 3%=45（元）19.2 45元，所以此人本月工资、薪金收入低于5000元。设此人本月工资、薪金是x元，则
19.2=0.03x-105
x=4140
即此人本月工资、薪金收入是4140元。
（四）第四环节：回顾总结，强化新知
本节课你学到了哪些知识？有没有困惑？有没有新的发现？
1、一次函数与正比例函数的概念和关系：

一般形式
一次函数

正比例函数

注意:正比例函数是一种特殊的一次函数.
2、依据实际问题的意义，会列出一次函数与正比例函数的表达式；
（五）第五环节：反馈矫正，专题突破
活动内容：学生根据自己掌握知识的程度自主选择智慧版（1)(2)和超人版(3）（4)习题并解决自己选择的试题
1、以下函数是一次函数的是：__________
①；②； ③ ；
④ ；⑤ ；⑥
② ④ ⑤ ⑥
2、某种大米的单价是2.2元/千克，当购买x千克大米时，花费为y元。y是x 的一次函数吗？ 是正比例函数 吗？
y=2.2x y是 x的一次函数，也是x的正比例函数。
3、是关于x的正比例函数，则m = -2 ;若是x的
一次函数，则m ≠2 .
4、如图，甲、乙两地相距100千米，现有一列火车从乙地出发，以80千米/时的速度向丙地行驶。设x（时）表示火车行驶的时间，y（km)表示火车与甲地的距离。（1)写出y 与 x之间的关系式，并判断y是否为x的一次函数；（2）当x=0.5时，求y的值

（1）y=100+80x y是x的一次函数
（2）当x=0.5时 y=100+80×0.5=140
(六)作业布置，分层落实
【必做题】教材第82页习题4.2第2.3.4题.
【选做题】教材第82页习题4.2第5题.
六、教学设计总体思路
1、创设情境，初步新知

（幻灯片情境引入）为了让学生亲身体验生活中的函数问题，精心设计了小组活动“操作弹簧测力器”指导学生发现问题，提出问题。
设计意图： 这样设计的目的是：渗透“主动、体验、探究”的理念，让学生在生活中去发现数学，探究数学，认识并掌握数学。
2、探索研究，形成概念
安排了2个引例进入第2个环节，由环节一中的操作过程，让学生感受到弹簧伸长的长度与所挂物体的质量存在函数关系，很自然地过渡到引例1，对于引例2汽车油箱中的余油量的设计，应给予学生充分的思考时间和空间.对于根据实际问题建立数学模型列出函数关系式，一部分学生可能有一定困难，教师要进行适当引导。
（幻灯片小组讨论）对于抽象一次函数与正比例函数概念的过程中，通过小组讨论来共同解决。
设计意图：通过学生观察、比较、分析、探索共性，再加以总结归纳，抽象出一次函数与正比例函数的概念。这样有助于学生把握概念的本质特征，培养其抽象思维能力和归纳概括能力，感受从特殊到一般的数学思想方法。
（幻灯片 练习与易错点津）接着完成增加的练习和易错点津来巩固概念。从而得出一次函数的两个重要特征，一是k≠0,二是自变量的次数是1.类比得到正比例函数的判定条件：（1）系数k≠0，b=0;(2)x的次数为1次；
本环节设计意图：拓展学生思维，让学生真正理解并掌握基本的数学知识和技能，打开本节课的研究空间。
3、例题讲解，运用新知
（幻灯片例1） 投影显示例1，要求学生独立完成此题，请学生口答。
设计意图：根据已知信息写出一次函数表达式是本节课的难点，此处设计了一组比较简单的问题，使学生进一步理解、巩固一次函数与正比例函数的概念，为后续的例题2突破难点打下了基础。
（幻灯片例2）播放录音，朗读例题例2，教师启发学生分析此题，给学生足够的审题和思考时间，审题时划去对解决问题无关的文字，明确已知与所求；小组讨论交流，由小组派代表回答，对学生精彩的发言，教师要及时的给予肯定和鼓励。
设计意图：例题通过由浅到深巩固一次函数的概念，引导学生以小组合作方式，感受数学的趣味和作用，让学生体会数学就在我们身边，数学源于生活并服务于生活，从而获得良好的情感体验。
4、回顾总结，强化新知
本节课你学到了哪些知识？有没有困惑？有没有新的发现？
设计意图：让学生归纳小结，提炼升华，不仅使知识更加系统化，也培养了学生概括能力、语言表达能力，使每个学生都体验到成功的喜悦，同时也养成良好的反思习惯。
5、反馈矫正，专题突破
男生女生向前冲：学生根据自己掌握知识的程度自主选择智慧版（1)(2)和超人版(3）（4)习题并解决自己选择的试题
设计意图：智慧版题：是面向全体学生的，目的是让学生进一步复习巩固和掌握所学知识，加深理解，举一反三。
超人版题：是在学生掌握本节知识的基础上充分利用基本知识点解题，再现数学基本知识的应用过程。
本环节以游戏作为练习的呈现方式，能促进师生、生生之间的情感交流。体现了“做中学”“乐中学”的数学新理念。
6.作业布置，分层落实
【必做题】 教材第82页习题4.2第2，3，4题。
【选做题】 教材第82页习题4.2第5题。
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