简单的线性规划问题与基本不等式作业及答案样本.doc

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简单的线性规划问题与基本不等式作业及答案
一、 选择题:
1.( ·福建高考)在平面直角坐标系中, 若不等式组(a为常数)所表示的平面区域的面积等于2, 则a的值为 (　　)
A．－5 B．1 C．2 D．3
解析: 不等式组所围成的区域如图所示．

则A(1,0), B(0,1), C(1,1＋a)
且a>－1, ∵S△ABC＝2, ∴(1＋a)×1＝2, 解得a＝3. 答案: D
2．已知D是由不等式组所确定的平面区域, 则圆x2＋y2＝4在区域D内的弧长为 (　　)
A. B. C. D.
解析: 如图, l1、 l2的斜率分别是k1＝, k2＝－, 不等式组表示的平面区域为阴影部分．
∵tan∠AOB＝＝1,
∴∠AOB＝, ∴弧长＝·2＝. 答案: B
3.( ·天津高考)设变量x、 y满足约束条件则目标函数z＝2x＋3y的 最小值为 (　　)
A．6 B．7 C．8 D．23
解析: 约束条件 表示的平面区域如图
易知过C(2,1)时, 目标函数z＝2x＋3y取得最小值．
∴zmin＝2×2＋3×1＝7. 答案: B
4．( ·陕西高考)若x, y满足约束条件目标函数z＝ax＋2y仅在点(1,0)处取得最小值, 则a的取值范围是 (　　)
A．(－1,2) B．(－4,2) C．(－4,0] D．(－2,4)
解析: 可行域为△ABC, 如图
当a＝0时, 显然成立．当a＞0时, 直线ax＋2y－z＝0的斜率k＝－＞kAC＝－1, a＜2.
当a＜0时, k＝－＜kAB＝2, ∴a＞－4. 综合得－4＜a＜2.

答案: B
5.( ·湖北高考)在”家电下乡”活动中, 某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇．现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用．每辆甲型货车运输费用400元, 可装洗衣机20台; 每辆乙型货车运输费用300元, 可装洗衣机10台．若每辆车至多只运一次, 则该厂所花的最少运输费用为 (　　)
A．2 000元 B．2 200元 C．2 400元 D．2 800元
解析: 设需使用甲型货车x辆, 乙型货车y辆, 运输费用z元, 根据题意, 得线性约束条件求线性目标函数z＝400x＋300y的最小值．
解得当时, zmin＝2 200. 答案: B
6．( ·四川高考)某企业生产甲、 乙两种产品．已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、 B原料2吨; 生产每吨乙产品要用A原料1吨、 B原料3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元、 每吨乙产品可获得利润3万元 .该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨、 B原料不超过18吨, 那么该企业可获得最大利润是 (　　)
A．12万元 B．20万元 C．25万元 D．27万元
解析: 设该企业生产甲产品为x吨, 乙产品为y吨, 则该企业可获得利润为
z＝5x＋3y, 且联立解得
由图可知, 最优解为P(3,4), ∴z的最大值为z＝5×3＋3×4＝27(万元)．
答案: D
7.设x、 y均为正实数, 且＋＝1, 则xy的最小值为 (　　)
A．4 B．4 C．9 D．16
解析: 由＋＝1可得xy＝8＋x＋y. ∵x, y均为正实数,
∴xy＝8＋x＋y≥8＋2(当且仅当x＝y时等号成立), 即xy－2－8≥0,
可解得≥4, 即xy≥16, 故xy的最小值为16. 答案: D
8．( ·天津高考)设a>0, b>0.若是3a与3b的等比中项, 则＋的最小值为 (　　)
A．8 B．4 C．1 D.
解析: ∵是3a与3b的等比中项, ∴()2＝3a·3b. 即3＝3a＋b, ∴a＋b＝1.
此时＋＝＋＝2＋(＋)≥2＋2＝4(当且仅当a＝b＝取等号)． 答案: B
9．已知不等式(x＋y)(＋)≥9对任意正实数x, y恒成立, 则正实数a的最小值为 (　　)
A．8 B．6 C．4 D．2
解析: (x＋y)(＋)＝1＋a·＋＋a≥a＋1＋2 ＝a＋2 ＋1,
当且仅当a·＝等号成立, 因此()2＋2＋1≥9,
即()2＋2－8≥0, 得≥2或≤－4(舍), 因此a≥4, 即a的最小值为4.
答案: C
10．设a、 b是正实数, 以下不等式
①>; ②a>|a－b|－b; ③a2＋b2>4ab－3b2; ④ab＋>2恒成立的
序号为 (　　)
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
解析: ∵a、 b是正实数, ∴①a＋b≥2⇒1≥⇒≥.
当且仅当a＝b时取等号, ∴①不恒成立; ②a＋b>|a－b|⇒a>|a－b|－b恒成立;
③a2＋b2－4ab＋3b2＝(a－2b)2≥0, 当a＝2b时, 取等号, ∴③不恒成立;
④ab＋≥2 ＝2 >2恒成立． 答案: D
11.若a是－b与＋b的等比中项, 则的最大值为 (　　)
A. B．1 C. D.
解析: ∵a是－b与＋b的等比中项, ∴a2＝2－b2⇒a2＋b2＝2.
根据基本不等式知≤≤＝1. 即的最大值为1. 答案: B
12．若a, b是正常数, a≠b, x, y∈(0, ＋∞), 则＋≥, 当且仅当＝时取等号．利用以上结论, 函数f(x)＝＋(x∈(0, ))取得最小值时x的值为 (　　)
A．1 B. C．2 D.
解析: 由＋≥得, f(x)＝＋≥＝25.
当且仅当＝时取等号, 即当x＝时f(x)取得最小值25. 答案: B
二、 填空题:
13．点(3,1)和(－4,6)在直线3x－2y＋a＝0的两侧, 则a的取值范围是________．
解析: 点(3,1)和(－4,6)在直线3x－2y＋a＝0的两侧,
说明将这两点坐标代入3x－2y＋a后, 符号相反,
因此(9－2＋a)(－12－12＋a)＜0, 解之得－7＜a＜24. 答案: (－7,24)
14. 设m为实数,
若⊆{(x, y)|x2＋y2≤25},
则m的取值范围是____________．
解析: 由题意知, 可行域应在圆内, 如图:
如果－m>0, 则可行域取到x＜－5的点, 不能在圆内;
故－m≤0, 即m≥0.
当mx＋y＝0绕坐标原点旋转时, 直线过B点时为边界位置．此时－m＝－,
∴m＝.∴0≤m≤. 答案: 0≤m≤
15．( ·太原模拟)若直线ax－by＋2＝0(a>0, b>0)和函数f(x)＝ax＋1＋1(a>0且a≠1)的图象恒过同一个定点, 则当＋取最小值时, 函数f(x)的解析式是________．
解析: 函数f(x)＝ax＋1＋1的图象恒过(－1,2), 故a＋b＝1, ＋＝(a＋b)(＋)＝＋＋≥＋.当且仅当b＝a时取等号, 将b＝a代入a＋b＝1得a＝2－2, 故f(x)＝(2－2)x＋1＋1.
答案: f(x)＝(2－2)x＋1＋1
16．已知关于x的不等式2x＋≥7在x∈(a, ＋∞)上恒成立, 则实数a的最小值为________．
解析: 因为x>a, 因此2x＋＝2(x－a)＋＋2a≥2 ＋2a
＝2a＋4, 即2a＋4≥7, 因此a≥, 即a的最小值为. 答案:
三、 解答题:
17．已知关于x、 y的二元一次不等式组
(1)求函数u＝3x－y的最大值和最小值;
(2)求函数z＝x＋2y＋2的最大值和最小值．
解: (1)作出二元一次不等式组表示的平面区域, 如图所示．

由u＝3x－y, 得y＝3x－u, 得到斜率为3, 在y轴上的截距为－u, 随u变化的一组平行线,
由图可知, 当直线经过可行域上的C点时, 截距－u最大, 即u最小,
解方程组得C(－2,3), ∴umin＝3×(－2)－3＝－9.
当直线经过可行域上的B点时, 截距－u最小, 即u最大,
解方程组得B(2,1), ∴umax＝3×2－1＝5.
∴u＝3x－y的最大值是5, 最小值是－9.
(2)作出二元一次不等式组表示的平面区域, 如图所示．

由z＝x＋2y＋2, 得y＝－x＋z－1, 得到斜率为－, 在y轴上的截距为z－1,
随z变化的一组平行线,
由图可知, 当直线经过可行域上的A点时, 截距z－1最小, 即z最小,
解方程组得A(－2, －3), ∴zmin＝－2＋2×(－3)＋2＝－6.
当直线与直线x＋2y＝4重合时, 截距 z－1最大, 即z最大, ∴zmax＝4＋2＝6.
∴z＝x＋2y＋2的最大值是6, 最小值是－6.
18．某人上午7时乘摩托艇以匀速v km/h(4≤v≤20)从A港出发到距50 km的B港去, 然后乘汽车以匀速w km/h(30≤w≤100)自B港向距300 km的C市驶去．应该在同一天下午4至9点到达C市．设乘摩托艇、 汽车去所需要的时间分别是x h、 y h．若所需的经费p＝100＋3(5－y)＋2(8－x)元, 那么v、 w分别为多少时, 所需经费最少? 并求出这时所花的经费．
解: 依题意, 考查z＝2x＋3y的最大值, 作出可行域, 平移直线2x＋3y＝0, 当直线经过点(4,10)时, z取得最大值38.
故当v＝12.5、 w＝30时所需要经费最少, 此时所花的经费为93元．
19．已知a、 b、 c∈(0, ＋∞)且a＋b＋c＝1,
求证: (－1)(－1)(－1)≥8.
证明: ∵a、 b、 c∈(0, ＋∞)且a＋b＋c＝1,
∴(－1)(－1)(－1)＝
＝≥＝8. 当且仅当a＝b＝c＝时取等号．
20．某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池, 池的深度一定(平面图如图所示), 如果池四周围墙建造单价为400元/米, 中间两道隔墙建造单价为248元/米, 池底建造单价为80元/米2, 水池所有墙的厚度忽略不计．
(1)试设计污水处理池的长和宽, 使总造价最低, 并求出最低总造价;
(2)若由于地形限制, 该池的长和宽都不能超过16米, 试设计污水池的长和宽, 使总造价最低, 并求出最低总造价．
解: (1)设污水处理池的宽为x米, 则长为米． 则总造价
f(x)＝400×(2x＋)＋248×2x＋80×162＝1 296x＋＋12 960
＝1 296(x＋)＋12 960≥1 296×2 ＋12 960＝38 880(元),
当且仅当x＝(x>0), 即x＝10时取等号．
∴当长为16.2米, 宽为10米时总造价最低, 最低总造价为38 880元．
(2)由限制条件知, ∴10≤x≤16.
设g(x)＝x＋(10≤x≤16), 由函数性质易知g(x)在[10, 16]上是增函数,
∴当x＝10时(此时＝16), g(x)有最小值, 即f(x)有最小值
1 296×(10＋)＋12 960＝38 882(元)．
∴当长为16米, 宽为10米时, 总造价最低, 为38 882元．
21.为了提高产品的年产量, 某企业拟在 进行技术改革．经调查测算, 产品当年的产量x万件与投入技术改革费用m万元(m≥0)满足x＝3－(k为常数)．如果不搞技术改革, 则该产品当年的产量只能是1万件．已知 生产该产品的固定投入为8万元, 每生产1万件该产品需要再投入16万元．由于市场行情较好, 厂家生产的产品均能销售出去．厂家将每件产品的销售价格定为每件产品生产成本的1.5倍(生产成本包括固定投入和再投入两部分资金)．
(1)将 该产品的利润y万元(利润＝销售金额－生产成本－技术改革费用)表示为技术改革费用m万元的函数;
(2)该企业 的技术改革费用投入多少万元时, 厂家的利润最大?
解: (1)由题意可知, 当m＝0时, x＝1(万件),
∴1＝3－k, ∴k＝2, ∴x＝3－,
每件产品的销售价格为1.5×(元),
∴ 的利润
y＝x·[1.5×]－(8＋16x)－m＝－[＋(m＋1)]＋29(元)(m≥0)．
(2)∵m≥0, ∴＋(m＋1)≥2＝8,
∴y≤29－8＝21,
当＝m＋1, 即m＝3, ymax＝21.
∴该企业 的技术改革费用投入3万元时, 厂家的利润最大．