2019_2020学年新教材高中数学第三章函数单元质量测评新人教B版必修第一册.doc

第三章 函数 单元质量测评
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题，共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．函数f(x)＝的定义域为(　　)
A．(1，＋∞) B．[1，＋∞)
C．[1,2) D．[1,2)∪(2，＋∞)
答案　D
解析　根据题意有解得x≥1且x≠2.
2．函数y＝x2－4x＋1，x∈[2,5]的值域是(　　)
A．[1,6] B．[－3,1]
C．[－3,6] D．[－3，＋∞)
答案　C
解析　因为y＝(x－2)2－3，函数在[2，＋∞)上是增函数，又f(2)＝－3，f(5)＝6，所以x∈[2,5]时的值域是[－3，6]．
3．函数f(x)＝|x－1|的图像是(　　)

答案　B
解析　因为f(x)＝|x－1|＝由分段函数的作图方法可知B正确．
4．设函数f(x)＝若f(α)＝4，则实数α＝(　　)
A．－4或－2 B．－4或2
C．－2或4 D．－2或2
答案　B
解析　当α>0时，有α2＝4，∴α＝2；
当α≤0时，有－α＝4，∴α＝－4.
因此，α＝－4或2.
5．下列选项中正确的是(　　)
A．函数f(x)＝－x2＋x－6的单调增区间为
B．函数f(x)＝－x2在[0，＋∞)上是增函数
C．函数f(x)＝在(－∞，＋∞)上是减函数
D．函数f(x)＝－x＋1是增函数
答案　A
解析　函数f(x)在上是增函数，A正确；函数f(x)＝－x2在[0，＋∞)上是减函数，B错误；函数f(x)＝在(－∞，0)和(0，＋∞)上是减函数，C错误；函数f(x)＝－x＋1在(－∞，＋∞)上是减函数，D错误．故选A.
6．某商场对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额：
(1)如果不超过200元，则不给予优惠；
(2)如果超过200元但不超过500元，则按标价给予9折优惠；
(3)如果超过500元，其500元内的按第(2)条给予优惠，超过500元的部分给予7折优惠．
某人两次去购物，分别付款168元和423元，假设他去一次购买上述同样的商品，则应付款是(　　)
A．413.7元 B．513.7元
C．548.7元 D．546.6元
答案　D
解析　因为168<200×0.9＝180，所以第一次购物原价为168元，因为200×0.9＝180<423<500×0.9＝450，所以第二次购物原价为470元，两次购物原价的和为168＋470＝638元，若合一次付款，应付500×0.9＋(638－500)×0.7＝546.6元，故选D.
7．函数f(x)＝－x＋5的零点个数为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
答案　B
解析　令f(x)＝0，得＝x－5，∵函数y＝与函数y＝x－5的图像有两个交点，∴函数f(x)＝－x＋5有两个零点．
8．函数f(x)是定义在R上的奇函数且单调递减，若f(2－a)＋f(4－a)<0，则a的取值范围是(　　)
A．a<1 B．a<3
C．a>1 D．a>3
答案　B
解析　因为函数f(x)是定义在R上的奇函数且单调递减，又由f(2－a)＋f(4－a)<0，得f(2－a)<－f(4－a)＝f(a－4)，所以2－a>a－4，即a<3.故选B.
9．设函数f(x)是R上的偶函数，且在(－∞，0)上为减函数．若x1<0，且x1＋x2>0，则(　　)
A．f(x1)>f(x2)
B．f(x1)＝f(x2)
C．f(x1)<f(x2)
D．无法比较f(x1)与f(x2)的大小
答案　C
解析　∵x1<0且x1＋x2>0，∴－x2<x1<0.
又函数f(x)在(－∞，0)上为减函数，
∴f(－x2)>f(x1)．
而函数f(x)又是偶函数，∴f(－x2)＝f(x2)．
∴f(x1)<f(x2)．
10．已知定义域为R的函数f(x)满足f(a＋b)＝f(a)·f(b)(a，b∈R)，且f(x)>0，若f(1)＝，则f(－2)等于(　　)
A．2 B．4
C. D.
答案　B
解析　令a＝b＝0，得f(0)＝1，再令b＝－a，则
f(a)f(－a)＝f(0)＝1，∴f(－a)＝，又f(2)＝f(1)f(1)＝[f(1)]2，∴f(2)＝，∴f(－2)＝＝4.
11．设函数f(x)＝x2－23x＋60，g(x)＝f(x)＋|f(x)|，则g(1)＋g(2)＋…＋g(20)＝(　　)
A．56 B．112
C．0 D．38
答案　B
解析　由二次函数图像的性质，得当3≤x≤20时，f(x)＋|f(x)|＝0，∴g(1)＋g(2)＋…＋g(20)＝g(1)＋g(2)＝112.
12．已知函数y＝f(x)和y＝g(x)在[－2,2]上的图像如图所示，则下列结论正确的是(　　)

A．方程f[g(x)]＝0有且仅有6个实根
B．方程g[f(x)]＝0有且仅有5个实根
C．方程f[f(x)]＝0有且仅有4个实根
D．方程g[g(x)]＝0有且仅有5个实根
答案　A
解析　A中满足f(x)＝0的x值在区间[－2,2]上有三个，把这三个看作g(x)对应的y值，则当g(x)等于这三个值中的每个时，都有两个值与之对应，故方程f[g(x)]＝0有且仅有6个根；B中满足g(x)＝0的x值在区间[－2,2]上有两个，一个在区间(－2，－1)上，一个在区间(0,1)上，把这两个看作f(x)对应的y值，则当f(x)等于这两个值时，在区间(－2，－1)上只有一个x值与之对应，在区间(0,1)上有三个x值与之对应，故方程g[f(x)]＝0有且只有4个根；C中满足f(x)＝0的x值在区间[－2,2]上有三个，把这三个再看作f(x)对应的y值，在区间(－2，－1)上只有一个x值与之对应，在区间(1,2)上也只有一个x值与之对应，而f(x)＝0所对应的x值有三个，故方程f[f(x)]＝0有且仅有5个根；D中同样的方法可知方程g[g(x)]＝0有且仅有4个根．故选A.
第Ⅱ卷(非选择题，共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)
13．若函数f(x)＝4x4＋3x3＋2x2＋x，则f(x)______(填序号)．
①是奇函数；
②是偶函数；
③既不是奇函数也不是偶函数；
④既是奇函数又是偶函数．
答案　③
解析　∵f(－x)＝4x4－3x3＋2x2－x，
∴f(－x)≠f(x)且f(－x)≠－f(x)，故f(x)既不是奇函数也不是偶函数．
14．某批发商批发某种商品的单价P(单位：元/千克)与数量Q(单位：千克)之间的函数关系如图所示，现此零售商仅有现金2700元，他最多可购买这种商品________千克．

答案　90
解析　由题意可得批发这种商品所需费用y(元)与数量Q(千克)之间的函数关系式为
y＝
从而易得30×50<2700<30×100，故该零售商购买这种商品的数量应在50与100之间，故所购商品的数量最多为＝90千克．
15．已知函数f(x)＝4x2－mx＋5在区间[－2，＋∞)上是增函数，则f(1)的取值范围是________．
答案　[25，＋∞)
解析　因为函数f(x)的增区间为，函数在区间[－2，＋∞)上是增函数，
所以≤－2，m≤－16，－m≥16.
f(1)＝4－m＋5≥4＋16＋5＝25.
16．对任意的实数x1，x2，min{x1，x2}表示x1，x2中较小的那个数，若f(x)＝2－x2，g(x)＝x，则min{f(x)，g(x)}的最大值是________．
答案　1
解析　不妨设h(x)＝min{f(x)，g(x)}，
当2－x2>x，即－2<x<1时，h(x)＝x.
当2－x2≤x，即x≥1或x≤－2时，h(x)＝2－x2.
故h(x)＝

其图像如图中实线部分，当x≤－2或x≥1时，为抛物线的一部分，当－2<x<1时，为线段．
由图像可知，当x取1时，h(x)取最大值1.
所以min{f(x)，g(x)}的最大值为1.
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)用单调性的定义证明函数f(x)＝－x3＋1在(－∞，＋∞)上是减函数．
证明　设x1，x2是(－∞，＋∞)内的任意两个不相等的实数，且x1<x2，则x1－x2<0，f(x2)－f(x1)＝(－x＋1)－(－x＋1)＝x－x＝(x1－x2)(x＋x1x2＋x)＝(x1－x2).因为x1－x2<0，2＋x>0，所以f(x2)－f(x1)<0，因此函数f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数．
18．(本小题满分12分)已知两函数f(x)＝8x2＋16x－k，g(x)＝2x2＋4x＋4，其中k为实数．
(1)对任意x∈[－3,3]，都有f(x)≤g(x)成立，求k的取值范围；
(2)存在x∈[－3,3]，使f(x)≤g(x)成立，求k的取值范围；
(3)对任意x1，x2∈[－3,3]，都有f(x1)≤g(x2)，求k的取值范围．
解　(1)设h(x)＝f(x)－g(x)＝6x2＋12x－4－k，问题转化为x∈[－3,3]时，h(x)≤0恒成立，故h(x)max≤0.由二次函数性质可知h(x)max＝h(3)＝86－k，有86－k≤0，得k≥86.
(2)由题意，存在x∈[－3,3]，使f(x)≤g(x)成立，即h(x)＝f(x)－g(x)＝6x2＋12x－4－k≤0在x∈[－3，3]时有解，故h(x)min≤0.由二次函数的性质可知h(x)min－h(－1)＝－10－k，有－10－k≤0，得k≥－10.
(3)对任意x1，x2∈[－3,3]，都有f(x1)≤g(x2)成立，所以f(x)max≤g(x)min，x∈[－3,3]．由二次函数的性质可得f(x)max＝f(3)－120－k，g(x)min＝g(－1)＝2.故有120－k≤2，得k≥118.
19．(本小题满分12分)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2＋3x－1，求f(x)的解析式．
解　∵函数f(x)是定义在R上的奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)．
∵当x<0时，－x>0，
∴f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2＋3(－x)－1]
＝－x2＋3x＋1.
又奇函数f(x)在x＝0处有意义，∴f(0)＝0.
∴f(x)＝
20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)，2a＋3b＋6c＝0，证明方程f(x)＝0至少有一个根在区间(0,1)上．
证明　取区间(0,1)的中点，
f＝a＋b＋c＝a＋b＋＝－a<0，
下面只需证明区间(0,1)的两个端点处的函数值f(0)，f(1)至少有一个为正．因为f(0)＋f(1)＝c＋(a＋b＋c)＝a＋b＋2c＝a＋b＋＝a>0，所以f(0)，f(1)至少有一个为正，则
f(0)·f<0或f·f(1)<0.
由零点的性质可知，函数f(x)至少有一个零点在区间(0,1)上，即方程f(x)＝0至少有一个根在区间(0，1)上．
21．(本小题满分12分)通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间：讲授开始时，学生的兴趣激增；中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态；随后学生的注意力开始分散．分析结果和实验表明，用f(x)表示学生掌握和接受概念的能力(f(x)的值越大，表示学生的接受能力越强)，x表示提出和讲授概念的时间(单位：min)，可用以下公式：
f(x)＝
(1)讲课开始后5 min和讲课开始后20 min比较，何时学生的注意力更集中？
(2)讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中，能持续多久？
(3)一道数学难题，需要讲解13 min，并且要求学生的注意力至少达到55，那么老师能否在学生达到所需状态下讲授完这道题目？请说明理由．
解　(1)f(5)＝53.5，f(20)＝47<53.5，所以讲课开始后5 min学生的注意力更集中．
(2)当0<x≤10时，f(x)＝－0.1(x－13)2＋59.9，
所以f(x)max＝f(10)＝59，
当16<x≤30时，f(x)<f(16)＝59，
所以，讲课开始后10 min注意力最集中，能持续6 min.
(3)当0<x≤10时，令f(x)＝55，则x＝6，
当16<x≤30时，令f(x)＝55，则x＝，所以学生能达到55的接受能力的时间为－6＝<13，所以，老师讲不完．
22．(本小题满分12分)小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产x万件，需另投入流动成本为W(x)万元．在年产量不足8万件时，W(x)＝x2＋x(万元)；在年产量不小于8万件时，W(x)＝6x＋－38(万元)．每件产品售价为5元．通过市场分析，小王生产的商品当年能全部售完．
(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式．(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本)
(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？
解　(1)因为每件产品售价为5元，则x万件产品的销售收入为5x万元，依题意得，
当0<x<8时，
L(x)＝5x－－3＝－x2＋4x－3.
当x≥8时，
L(x)＝5x－－3＝35－.
所以L(x)＝
(2)当0<x<8时，
L(x)＝－(x－6)2＋9，
此时，当x＝6时，L(x)取得最大值L(6)＝9(万元)．
当x≥8时，
L(x)＝35－≤35－2
＝35－20＝15(万元)．
此时，当且仅当x＝，即x＝10时，L(x)取得最大值15万元．
因为9<15，所以当年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润为15万元．

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