2019_2020学年新教材高中数学第二章等式与不等式2.2.3一元二次不等式的解法应用案巩固提升新人教B版必修第一册.doc

2.2.3 一元二次不等式的解法

[A　基础达标]
1．不等式x(2－x)>0的解集为(　　)
A．(0，＋∞)　　　　　　　 B．(－∞，2)
C．(－∞，0)∪(2，＋∞) D．(0，2)
解析：选D.原不等式化为x(x－2)<0，故0<x<2.
2．设a<－1，则关于x的不等式a(x－a)<0的解集为(　　)
A. B．{x|x>a}
C. D.
解析：选A.因为a<－1，所以a(x－a)<0⇔(x－a)>0.又a<－1，所以>a，所以x>或x<a.
3．使代数式有意义的x的取值范围是(　　)
A．[－7，1] B．(－7，1)
C．(－∞，－7]∪[1，＋∞) D．(－∞，－7)∪(1，＋∞)
解析：选B.由7－6x－x2>0，得x2＋6x－7<0，即(x＋7)(x－1)<0，所以－7<x<1，故选B.
4．在R上定义运算⊙：a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足x⊙(x－2)<0的实数x的取值范围为(　　)
A．(0，2) B．(－2，1)
C．(－∞，－2)∪(1，＋∞) D．(－1，2)
解析：选B.由a⊙b＝ab＋2a＋b，得x⊙(x－2)＝x(x－2)＋2x＋x－2＝x2＋x－2<0，
所以－2<x<1.
5．不等式(x－1)(2－x)≥0的解集为________．
解析：由(x－1)(2－x)≥0可知，(x－2)(x－1)≤0，所以不等式的解集为[1，2]．
答案：[1，2]
6．不等式>1的解集为________．
解析：>1⇒－1>0
⇒>0
⇒>0
⇒(x－8)(x＋5)>0
⇒x>8或x<－5.
答案：(－∞，－5)∪(8，＋∞)
7．若0<a<1，则不等式(a－x)>0的解集是________．
解析：原不等式即(x－a)<0，
由0<a<1，得a<，所以a<x<.
所以不等式的解集为.
答案：
8．解下列不等式：
(1)2＋3x－2x2>0；
(2)x(3－x)≤x(x＋2)－1；
(3)x2－2x＋3>0.
解：(1)原不等式可化为2x2－3x－2<0，
所以(2x＋1)(x－2)<0，
故原不等式的解集是.
(2)原不等式可化为2x2－x－1≥0.
所以(2x＋1)(x－1)≥0，
故原不等式的解集为.
(3)因为Δ＝(－2)2－4×3＝－8<0，
故原不等式的解集是R.
9．解关于x的不等式x2＋3ax－4a2<0(a∈R)．
解：由于x2＋3ax－4a2<0可化为(x－a)(x＋4a)<0，且方程(x－a)(x＋4a)＝0的两个根分别是a和－4a.
当a＝－4a，即a＝0时，不等式的解集为∅；
当a>－4a，即a>0时，解不等式得－4a<x<a；
当a<－4a，即a<0时，解不等式得a<x<－4a.
综上所述，当a＝0时，不等式的解集为∅；当a>0时，不等式的解集为{x|－4a<x<a}；当a<0时，不等式的解集为{x|a<x<－4a}．
[B　能力提升]
10．若0<a<1，则不等式x2－3(a＋a2)x＋9a3≤0的解集为(　　)
A．{x|3a2≤x≤3a} B．{x|3a≤x≤3a2}
C．{x|x≤3a2或x≥3a} D．{x|x≤3a或x≥3a2}
解析：选A.因为0<a<1，所以0<3a2<3a，而方程x2－3(a＋a2)x＋9a3＝0的两个根分别为3a和3a2，所以不等式的解集为{x|3a2≤x≤3a}．
11．已知A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x2－2ax＋a2－1<0}，若A⊆B，则a的取值范围是________．
解析：方程x2－2ax＋a2－1＝0的两根为a＋1，a－1，且a＋1>a－1，所以B＝{x|a－1<x<a＋1}．因为A⊆B，所以，解得1≤a≤2.
答案：1≤a≤2
12．对于实数x，规定[x]表示不大于x的最大整数，那么不等式4[x]2－36[x]＋45<0的解集为________．
解析：由题意解得<[x]<，又[x]表示不大于x的最大整数，所以[x]的取值为2，3，4，5，6，7，故2≤x<8.
答案：2≤x<8
13．已知条件p：2x2－3x＋1≤0，条件q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0.若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
解：由2x2－3x＋1≤0，得≤x≤1.
所以条件p对应的集合P＝.
由x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，得a≤x≤a＋1，
所以条件q对应的集合为Q＝{x|a≤x≤a＋1}．
因为p是q的充分不必要条件．
所以p⇒q，q p，即PQ⇔或
解得0≤a≤.
所以实数a的取值范围为.
[C　拓展探究]
14．已知M是关于x的不等式2x2＋(3a－7)x＋3＋a－2a2<0的解集，且M中的一个元素是0，求实数a的取值范围，并用a表示出该不等式的解集．
解：原不等式可化为(2x－a－1)(x＋2a－3)<0，
由x＝0适合不等式得(a＋1)(2a－3)>0，
所以a<－1或a>.
若a<－1，则－2a＋3－＝(－a＋1)>5，
所以3－2a>，
此时不等式的解集是；
若a>，由－2a＋3－＝(－a＋1)<－，
所以3－2a<，
此时不等式的解集是.
综上，当a<－1时，原不等式的解集为；
当a>时，原不等式的解集为.

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